मैट्रिसेस का गुणनफल कैसे खोजें। मैट्रिक्स गुणा। मैट्रिक्स का स्केलर उत्पाद। तीन मैट्रिक्स का उत्पाद

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

मैट्रिसेस (संख्यात्मक तत्वों वाली टेबल) का उपयोग विभिन्न गणनाओं के लिए किया जा सकता है। उनमें से कुछ एक संख्या, एक वेक्टर, एक अन्य मैट्रिक्स, कई मैट्रिक्स से गुणा कर रहे हैं। उत्पाद कभी-कभी गलत होता है। एक गलत परिणाम कम्प्यूटेशनल क्रियाओं को करने के नियमों की अज्ञानता का परिणाम है। आइए जानें कि गुणा कैसे करें।

मैट्रिक्स और नंबर

आइए सबसे सरल चीज़ से शुरू करते हैं - एक विशिष्ट मान से एक तालिका को संख्याओं से गुणा करना। उदाहरण के लिए, हमारे पास तत्वों के साथ एक मैट्रिक्स ए है _ij (मैं पंक्ति संख्याएं हैं और जे कॉलम संख्याएं हैं) और संख्या ई। संख्या e द्वारा मैट्रिक्स का गुणनफल b_ij तत्वों के साथ मैट्रिक्स B होगा, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:

b_ij=e × a_ij.

टी. ई। तत्व प्राप्त करने के लिए बी₁₁ आपको तत्व लेने की जरूरत है ए₁₁ और इसे वांछित संख्या से गुणा करें, बी_{12 प्राप्त करने के लिए} तत्व a₁₂ और संख्या e, आदि का गुणनफल ज्ञात करना आवश्यक है।

आइए चित्र में प्रस्तुत समस्या संख्या 1 का समाधान करते हैं। मैट्रिक्स बी प्राप्त करने के लिए, बस ए से तत्वों को 3:

से गुणा करें

1. a₁₁ × 3=18. हम इस मान को मैट्रिक्स B में उस स्थान पर लिखते हैं जहां कॉलम नंबर 1 और पंक्ति नंबर 1 प्रतिच्छेद करते हैं।
2. a₂₁ × 3=15. हमें तत्व b₂₁ मिला है।
3. a₁₂ × 3=-6. हमें तत्व b₁₂ प्राप्त हुआ। हम इसे मैट्रिक्स B में उस स्थान पर लिखते हैं जहाँ कॉलम 2 और पंक्ति 1 प्रतिच्छेद करते हैं।
4. a₂₂ × 3=9. यह परिणाम तत्व b₂₂ है।
5. a₁₃ × 3=12. इस संख्या को तत्व b₁₃ के स्थान पर मैट्रिक्स में दर्ज करें।
6. a₂₃ × 3=-3. प्राप्त अंतिम संख्या तत्व b₂₃ है।

इस प्रकार, हमें संख्यात्मक तत्वों के साथ एक आयताकार सरणी मिली।

18	–6	12
15	9	–3

मैट्रिसेस के उत्पाद के अस्तित्व के लिए सदिश और शर्त

गणितीय विषयों में, "वेक्टर" जैसी कोई चीज होती है। यह शब्द एक ₁ से तक मूल्यों के एक क्रमबद्ध सेट को संदर्भित करता है। उन्हें सदिश स्थान निर्देशांक कहा जाता है और उन्हें एक स्तंभ के रूप में लिखा जाता है। "ट्रांसपोज़्ड वेक्टर" शब्द भी है। इसके घटकों को एक स्ट्रिंग के रूप में व्यवस्थित किया जाता है।

वेक्टर को मैट्रिसेस कहा जा सकता है:

• कॉलम वेक्टर एक कॉलम से निर्मित मैट्रिक्स है;
• पंक्ति वेक्टर एक मैट्रिक्स है जिसमें केवल एक पंक्ति शामिल है।

जब हो गयागुणन संक्रियाओं के आव्यूहों पर, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि उत्पाद के अस्तित्व के लिए एक शर्त है। गणनात्मक क्रिया A × B केवल तभी की जा सकती है जब तालिका A में स्तंभों की संख्या तालिका B में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। गणना के परिणामस्वरूप परिणामी मैट्रिक्स में हमेशा तालिका A में पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या होती है तालिका बी में

गुणा करते समय, मैट्रिक्स (गुणक) को पुनर्व्यवस्थित करने की अनुशंसा नहीं की जाती है। उनका उत्पाद आमतौर पर गुणन के कम्यूटेटिव (विस्थापन) कानून के अनुरूप नहीं होता है, यानी ऑपरेशन ए × बी का परिणाम ऑपरेशन बी × ए के परिणाम के बराबर नहीं होता है। इस विशेषता को उत्पाद की गैर-कम्यूटेटिविटी कहा जाता है मैट्रिक्स कुछ मामलों में, गुणन A × B का परिणाम गुणन B × A के परिणाम के बराबर होता है, अर्थात गुणन क्रमविनिमेय होता है। जिन आव्यूहों के लिए समानता A × B=B × A धारण करती है, क्रमचय आव्यूह कहलाती है। नीचे ऐसी तालिकाओं के उदाहरण देखें।

स्तंभ वेक्टर से गुणा

एक कॉलम वेक्टर द्वारा मैट्रिक्स को गुणा करते समय, हमें उत्पाद के अस्तित्व की स्थिति को ध्यान में रखना चाहिए। तालिका में कॉलम (एन) की संख्या वेक्टर बनाने वाले निर्देशांक की संख्या से मेल खाना चाहिए। गणना का परिणाम रूपांतरित वेक्टर है। इसके निर्देशांकों की संख्या तालिका से रेखाओं (m) की संख्या के बराबर है।

यदि मैट्रिक्स A और सदिश x है तो वेक्टर y के निर्देशांकों की गणना कैसे की जाती है? गणना के लिए बनाए गए सूत्र:

y₁=ए₁₁x₁ + ए_{12 x}2 _{+ … + ए}1 _x , y₂=ए₂₁x₁ + ए₂₂x₂ + … + ए 2एन_x ,

…………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

जहां x₁, …, x x-वेक्टर से निर्देशांक हैं, m मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या और संख्या है नए y- वेक्टर में निर्देशांकों का, n मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या और x-वेक्टर में निर्देशांकों की संख्या है, a₁₁, a_{12,…, a}mn- मैट्रिक्स के तत्व A.

इस प्रकार, नए वेक्टर के i-वें घटक को प्राप्त करने के लिए, अदिश उत्पाद का प्रदर्शन किया जाता है। i-वें पंक्ति वेक्टर मैट्रिक्स A से लिया गया है, और इसे उपलब्ध वेक्टर x से गुणा किया जाता है।

आइए समस्या हल करते हैं 2। आप एक मैट्रिक्स और एक वेक्टर का गुणनफल पा सकते हैं क्योंकि A में 3 कॉलम हैं और x में 3 निर्देशांक हैं। नतीजतन, हमें 4 निर्देशांक के साथ एक कॉलम वेक्टर प्राप्त करना चाहिए। आइए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करें:

1. गणना y₁। 1 × 4 + (-1) × 2 + 0 × (-4)। अंतिम मान 2 है।
2. गणना y₂। 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (-4)। गणना करते समय, हमें 0.

मिलता है।

3. गणना y₃। 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (-4)। संकेतित कारकों के उत्पादों का योग 6.

है

4. गणना y₄। (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (-4)। निर्देशांक -8 है।

पंक्ति वेक्टर-मैट्रिक्स गुणन

आप एक मैट्रिक्स को एक से अधिक कॉलम वाले रो वेक्टर से गुणा नहीं कर सकते। ऐसे मामलों में, कार्य के अस्तित्व की शर्त संतुष्ट नहीं होती है। लेकिन एक मैट्रिक्स द्वारा एक पंक्ति वेक्टर का गुणन संभव है। यहकम्प्यूटेशनल ऑपरेशन तब किया जाता है जब वेक्टर में निर्देशांक की संख्या और तालिका में पंक्तियों की संख्या मेल खाती है। एक वेक्टर और एक मैट्रिक्स के उत्पाद का परिणाम एक नई पंक्ति वेक्टर है। इसके निर्देशांकों की संख्या मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।

नए वेक्टर के पहले निर्देशांक की गणना में पंक्ति वेक्टर और तालिका से पहले कॉलम वेक्टर को गुणा करना शामिल है। दूसरे निर्देशांक की गणना इसी तरह से की जाती है, लेकिन पहले कॉलम वेक्टर के बजाय दूसरा कॉलम वेक्टर लिया जाता है। यहाँ निर्देशांक की गणना के लिए सामान्य सूत्र है:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx एम,

जहां y_k y-वेक्टर से एक निर्देशांक है, (k 1 और n के बीच है), m मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या और निर्देशांक की संख्या है x-वेक्टर में, n मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या और y-वेक्टर में निर्देशांक की संख्या है, a अल्फ़ान्यूमेरिक सूचकांकों के साथ मैट्रिक्स A के तत्व हैं।

आयताकार आव्यूह का गुणनफल

यह गणना जटिल लग सकती है। हालांकि, गुणा आसानी से किया जाता है। आइए एक परिभाषा के साथ शुरू करते हैं। एम पंक्तियों और एन कॉलम के साथ एक मैट्रिक्स ए का उत्पाद और एन पंक्तियों और पी कॉलम के साथ एक मैट्रिक्स बी एम पंक्तियों और पी कॉलम के साथ एक मैट्रिक्स सी है, जिसमें तत्व c_ij है तत्वों के गुणनफल का योग तालिका A से i-वें और तालिका B से j-वें स्तंभ। सरल शब्दों में, तत्व c_ij i-वें पंक्ति का अदिश गुणनफल है टेबल ए से वेक्टर और टेबल बी से जे-वें कॉलम वेक्टर।

अब आइए व्यावहारिक रूप से समझें कि आयताकार आव्यूहों का गुणनफल कैसे ज्ञात किया जाता है। आइए इसके लिए समस्या संख्या 3 को हल करें। उत्पाद के अस्तित्व की शर्त संतुष्ट है। आइए तत्वों की गणना शुरू करें c_ij:

1. मैट्रिक्स सी में 2 पंक्तियाँ और 3 कॉलम होंगे।
2. तत्व c₁₁ की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स ए से पंक्ति संख्या 1 और मैट्रिक्स बी से कॉलम नंबर 1 के स्केलर उत्पाद का प्रदर्शन करते हैं। c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. फिर हम इसी तरह से आगे बढ़ते हैं, केवल पंक्तियों, स्तंभों को बदलते हुए (तत्व सूचकांक के आधार पर)।
3. सी₁₂=12.
4. सी₁₃=9.
5. सी₂₁=31.
6. सी₂₂=18.
7. सी₂₃=36.

तत्वों की गणना की जाती है। अब यह केवल प्राप्त संख्याओं का एक आयताकार खंड बनाने के लिए रह गया है।

16	12	9
31	18	36

तीन आव्यूहों का गुणन: सैद्धांतिक भाग

क्या आप तीन आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कर सकते हैं? यह कम्प्यूटेशनल ऑपरेशन संभव है। परिणाम कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 वर्ग टेबल हैं (एक ही क्रम के) - ए, बी और सी। उत्पाद की गणना करने के लिए, आप कर सकते हैं:

1. पहले A और B का गुणा करें। फिर परिणाम को C से गुणा करें।
2. पहले B और C का गुणनफल ज्ञात करें। फिर परिणाम से मैट्रिक्स A को गुणा करें।

यदि आपको आयताकार मैट्रिक्स को गुणा करने की आवश्यकता है, तो पहले आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि यह कम्प्यूटेशनल ऑपरेशन संभव है। चाहिएउत्पाद A × B और B × C मौजूद हैं।

वृद्धिशील गुणन कोई गलती नहीं है। "मैट्रिक्स गुणन की संबद्धता" जैसी कोई चीज होती है। यह शब्द समानता (ए × बी) × सी=ए × (बी × सी) को संदर्भित करता है।

तीन मैट्रिक्स गुणन अभ्यास

वर्ग मैट्रिसेस

छोटे वर्ग मैट्रिक्स को गुणा करके प्रारंभ करें। नीचे दिया गया चित्र समस्या संख्या 4 को दर्शाता है, जिसे हमें हल करना है।

हम संबद्धता गुण का उपयोग करेंगे। पहले हम या तो ए और बी, या बी और सी को गुणा करते हैं। हमें केवल एक चीज याद है: आप कारकों को स्वैप नहीं कर सकते हैं, यानी आप बी × ए या सी × बी गुणा नहीं कर सकते हैं। इस गुणा के साथ, हमें एक मिलेगा गलत परिणाम।

निर्णय की प्रगति।

एक कदम। उभयनिष्ठ गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम पहले A को B से गुणा करते हैं। दो आव्यूहों को गुणा करते समय, हम ऊपर उल्लिखित नियमों द्वारा निर्देशित होंगे। तो, ए और बी को गुणा करने का परिणाम 2 पंक्तियों और 2 स्तंभों के साथ एक मैट्रिक्स डी होगा, यानी एक आयताकार सरणी में 4 तत्व शामिल होंगे। आइए गणना करके उन्हें खोजें:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

इंटरमीडिएट का रिजल्ट तैयार।

30	10
15	16

चरण दो। अब मैट्रिक्स D को मैट्रिक्स C से गुणा करते हैं। परिणाम 2 पंक्तियों और 2 स्तंभों के साथ एक वर्ग मैट्रिक्स G होना चाहिए। तत्वों की गणना करें:

• जी₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

इस प्रकार, वर्ग मैट्रिसेस के गुणनफल का परिणाम परिकलित तत्वों के साथ एक तालिका G है।

250	180
136	123

आयताकार मैट्रिक्स

नीचे दिया गया आंकड़ा समस्या संख्या 5 दिखाता है। आयताकार मैट्रिक्स को गुणा करने और समाधान खोजने की आवश्यकता है।

आइए जांचते हैं कि उत्पाद ए × बी और बी × सी के अस्तित्व की शर्त संतुष्ट है या नहीं। संकेतित मैट्रिक्स के आदेश हमें गुणा करने की अनुमति देते हैं। आइए समस्या का समाधान शुरू करें।

निर्णय की प्रगति।

एक कदम। D प्राप्त करने के लिए B को C से गुणा करें। मैट्रिक्स B में 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ हैं, और मैट्रिक्स C में 4 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ हैं। इसका मतलब है कि हमें 3 पंक्तियों और 2 स्तंभों के साथ एक मैट्रिक्स डी मिलेगा। आइए तत्वों की गणना करें। यहाँ 2 गणना उदाहरण हैं:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

हम समस्या का समाधान करना जारी रखते हैं। आगे की गणना के परिणामस्वरूप, हम मान पाते हैं d₂₁, d₂ 2, डी₃₁ और डी₃₂। ये तत्व क्रमशः 0, 19, 1 और 11 हैं। आइए पाए गए मानों को एक आयताकार सरणी में लिखें।

0	7
0	19
1	11

चरण दो। अंतिम मैट्रिक्स F प्राप्त करने के लिए A को D से गुणा करें। इसमें 2 पंक्तियाँ और 2 कॉलम होंगे। तत्वों की गणना करें:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

एक आयताकार सरणी बनाएं, जो तीन मैट्रिक्स को गुणा करने का अंतिम परिणाम है।

1	139
3	52

प्रत्यक्ष कार्य का परिचय

मैट्रिसेस का क्रोनकर उत्पाद सामग्री को समझना काफी मुश्किल है। इसका एक अतिरिक्त नाम भी है - प्रत्यक्ष कार्य। इस शब्द का क्या अर्थ है? मान लीजिए कि हमारे पास क्रम m × n की तालिका A और क्रम p × q की तालिका B है। मैट्रिक्स A और मैट्रिक्स B का प्रत्यक्ष गुणनफल mp × nq कोटि का मैट्रिक्स है।

हमारे पास 2 वर्गाकार आव्यूह A, B हैं, जो चित्र में दिखाए गए हैं। पहले वाले में 2 स्तंभ और 2 पंक्तियाँ हैं, और दूसरे में 3 स्तंभ और 3 पंक्तियाँ हैं। हम देखते हैं कि प्रत्यक्ष उत्पाद से उत्पन्न मैट्रिक्स में 6 पंक्तियाँ होती हैं और ठीक उसी संख्या में कॉलम होते हैं।

नए मैट्रिक्स के तत्वों की गणना प्रत्यक्ष उत्पाद में कैसे की जाती है? यदि आप चित्र का विश्लेषण करें तो इस प्रश्न का उत्तर खोजना बहुत आसान है। सबसे पहले पहली पंक्ति भरें। तालिका A की शीर्ष पंक्ति से पहला तत्व लें और क्रमिक रूप से पहली पंक्ति के तत्वों से गुणा करेंतालिका B से। अगला, तालिका A की पहली पंक्ति का दूसरा तत्व लें और तालिका B की पहली पंक्ति के तत्वों से क्रमिक रूप से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को भरने के लिए, तालिका A की पहली पंक्ति से पहले तत्व को फिर से लें और इसे तालिका B की दूसरी पंक्ति के तत्वों से गुणा करें।

प्रत्यक्ष उत्पाद द्वारा प्राप्त अंतिम मैट्रिक्स को ब्लॉक मैट्रिक्स कहा जाता है। यदि हम फिर से आंकड़े का विश्लेषण करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि हमारे परिणाम में 4 ब्लॉक हैं। उन सभी में मैट्रिक्स बी के तत्व शामिल हैं। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक ब्लॉक के एक तत्व को मैट्रिक्स ए के एक विशिष्ट तत्व से गुणा किया जाता है। पहले ब्लॉक में, सभी तत्वों को ₁₁ से गुणा किया जाता है। दूसरा - a_{12से, तीसरे में - a}21 _{पर, चौथे में - a}22 _पर।

उत्पाद निर्धारक

मैट्रिक्स गुणन के विषय पर विचार करते समय, "मैट्रिसेस के उत्पाद के निर्धारक" के रूप में इस तरह के शब्द पर विचार करना उचित है। एक निर्धारक क्या है? यह एक वर्ग मैट्रिक्स की एक महत्वपूर्ण विशेषता है, एक निश्चित मान जो इस मैट्रिक्स को सौंपा गया है। निर्धारक का शाब्दिक पदनाम है det.

एक मैट्रिक्स ए के लिए जिसमें दो कॉलम और दो पंक्तियाँ हैं, सारणिक खोजना आसान है। एक छोटा सूत्र है जो विशिष्ट तत्वों के उत्पादों के बीच का अंतर है:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁ ।

आइए दूसरे क्रम की तालिका के लिए सारणिक की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। एक मैट्रिक्स A है जिसमें a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 और a 22_{=1. सारणिक की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 - 15=-13.

3 × 3 मैट्रिक्स के लिए, सारणिक की गणना अधिक जटिल सूत्र का उपयोग करके की जाती है। इसे मैट्रिक्स A के लिए नीचे प्रस्तुत किया गया है:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} - ए₁₃ए₂₂ए₃₁ - ए₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ ए₃₃.

सूत्र को याद करने के लिए, हम त्रिभुज नियम लेकर आए हैं, जो चित्र में दिखाया गया है। सबसे पहले, मुख्य विकर्ण के तत्वों को गुणा किया जाता है। लाल भुजाओं वाले त्रिभुजों के कोणों द्वारा दर्शाए गए उन तत्वों के गुणनफल को प्राप्त मान में जोड़ा जाता है। इसके बाद, द्वितीयक विकर्ण के तत्वों का गुणनफल घटाया जाता है और नीले पक्षों वाले त्रिभुजों के कोनों द्वारा दर्शाए गए उन तत्वों के गुणनफल घटाए जाते हैं।

अब बात करते हैं आव्यूह के गुणनफल के निर्धारक के बारे में। एक प्रमेय है जो कहता है कि यह सूचक गुणक तालिकाओं के निर्धारकों के गुणनफल के बराबर है। आइए इसे एक उदाहरण से सत्यापित करें। हमारे पास प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स ए है₁₁=2, ए₁₂=3, ए₂₁=1 और ए22_{=1 और मैट्रिक्स B प्रविष्टियों के साथ b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 और b}22_{=2. आव्यूह A और B, गुणनफल A × B और इस गुणनफल के सारणिक के लिए सारणिक ज्ञात कीजिए।}

निर्णय की प्रगति।

एक कदम। A के लिए सारणिक की गणना करें: det A=2 × 1 - 3 × 1=-1। इसके बाद, B के लिए सारणिक की गणना करें: det B=4 × 2 - 5 × 1=3.

चरण दो। हमे पता करने देंउत्पाद ए × बी। अक्षर सी द्वारा नए मैट्रिक्स को निरूपित करें। इसके तत्वों की गणना करें:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

चरण तीन। C के लिए सारणिक की गणना करें: det C=11 × 7 - 16 × 5=-3। उस मान से तुलना करें जो मूल आव्यूह के सारणिकों को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। संख्याएँ समान हैं। उपरोक्त प्रमेय सत्य है।

उत्पाद रैंक

मैट्रिक्स की रैंक एक विशेषता है जो रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की अधिकतम संख्या को दर्शाती है। रैंक की गणना करने के लिए, मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन किए जाते हैं:

• दो समानांतर पंक्तियों की व्यवस्था;
• तालिका से एक निश्चित पंक्ति के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
• तत्वों की एक पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति से जोड़ना, एक विशिष्ट संख्या से गुणा करना।

प्राथमिक परिवर्तनों के बाद, गैर-शून्य स्ट्रिंग्स की संख्या देखें। उनकी संख्या मैट्रिक्स की रैंक है। पिछले उदाहरण पर विचार करें। इसने 2 मैट्रिक्स प्रस्तुत किए: ए तत्वों के साथ ए₁₁=2, ए₁₂=3, ए₂₁=1 और a₂₂ =1 और B तत्वों के साथ b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 और b}22_{=2. हम गुणन के परिणामस्वरूप प्राप्त मैट्रिक्स C का भी उपयोग करेंगे। यदि हम प्राथमिक परिवर्तन करते हैं, तो सरलीकृत मैट्रिक्स में कोई शून्य पंक्तियाँ नहीं होंगी। इसका अर्थ है कि तालिका A की रैंक, और तालिका B की रैंक, और रैंक. दोनोंटेबल सी 2 है।}

अब मैट्रिसेस के गुणनफल की रैंक पर विशेष ध्यान दें। एक प्रमेय है जो कहता है कि संख्यात्मक तत्वों वाली तालिकाओं के उत्पाद की रैंक किसी भी कारक के रैंक से अधिक नहीं होती है। यह सिद्ध किया जा सकता है। मान लीजिए कि A एक k × s आव्यूह है और B एक s × m आव्यूह है। A और B का गुणनफल C के बराबर है।

आइए ऊपर की तस्वीर का अध्ययन करें। यह मैट्रिक्स C का पहला कॉलम और उसका सरलीकृत नोटेशन दिखाता है। यह कॉलम मैट्रिक्स ए में शामिल कॉलम का एक रैखिक संयोजन है। इसी तरह, कोई भी आयताकार सरणी सी से किसी भी अन्य कॉलम के बारे में कह सकता है। इस प्रकार, तालिका सी के कॉलम वैक्टर द्वारा गठित उप-स्थान किसके द्वारा गठित उप-स्थान में है तालिका ए के कॉलम वैक्टर। इसलिए, उप-स्थान संख्या 1 का आयाम उप-स्थान संख्या 2 के आयाम से अधिक नहीं है। इसका तात्पर्य है कि तालिका सी के कॉलम में रैंक तालिका ए के कॉलम में रैंक से अधिक नहीं है, यानी, आर (सी) आर (ए)। अगर हम इसी तरह से बहस करते हैं, तो हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि मैट्रिक्स सी की पंक्तियां मैट्रिक्स बी की पंक्तियों के रैखिक संयोजन हैं। इसका मतलब असमानता आर (सी) ≦ आर (बी) है।

मैट्रिसेस का गुणनफल कैसे खोजें यह एक जटिल विषय है। इसमें आसानी से महारत हासिल की जा सकती है, लेकिन ऐसा परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको सभी मौजूदा नियमों और प्रमेयों को याद करने में काफी समय देना होगा।