आज की दुनिया में, हम तेजी से विभिन्न प्रकार की कारों और गैजेट्स का उपयोग कर रहे हैं। और न केवल जब शाब्दिक रूप से अमानवीय शक्ति को लागू करना आवश्यक है: भार को स्थानांतरित करें, इसे ऊंचाई तक उठाएं, एक लंबी और गहरी खाई खोदें, आदि। कारों को आज रोबोट द्वारा इकट्ठा किया जाता है, भोजन मल्टीक्यूकर द्वारा तैयार किया जाता है, और प्राथमिक अंकगणितीय गणनाएं हैं कैलकुलेटर द्वारा किया जाता है। अधिक से अधिक बार हम "बूलियन बीजगणित" अभिव्यक्ति सुनते हैं। शायद यह रोबोट बनाने में मनुष्य की भूमिका और न केवल गणितीय, बल्कि तार्किक समस्याओं को हल करने की मशीनों की क्षमता को समझने का समय है।
तर्क
ग्रीक से अनुवादित, तर्क सोच की एक क्रमबद्ध प्रणाली है जो दी गई स्थितियों के बीच संबंध बनाती है और आपको परिसर और मान्यताओं के आधार पर निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है। अक्सर हम एक दूसरे से पूछते हैं: "क्या यह तार्किक है?" प्राप्त उत्तर हमारी धारणाओं की पुष्टि करता है या विचार की ट्रेन की आलोचना करता है। लेकिन प्रक्रिया रुकती नहीं है: हम तर्क करना जारी रखते हैं।
कभी-कभी स्थितियों की संख्या (परिचयात्मक) इतनी अधिक होती है, और उनके बीच संबंध इतने जटिल और जटिल होते हैं कि मानव मस्तिष्क एक ही बार में सब कुछ "पचा" नहीं पाता है। क्या हो रहा है यह समझने में एक महीने (सप्ताह, वर्ष) से अधिक समय लग सकता है। लेकिनआधुनिक जीवन हमें निर्णय लेने के लिए इतना समय अंतराल नहीं देता है। और हम कंप्यूटर की मदद का सहारा लेते हैं। और यहीं पर तर्क का बीजगणित प्रकट होता है, अपने स्वयं के नियमों और गुणों के साथ। सभी प्रारंभिक डेटा को डाउनलोड करके, हम कंप्यूटर को सभी रिश्तों को पहचानने, विरोधाभासों को खत्म करने और एक संतोषजनक समाधान खोजने की अनुमति देते हैं।
गणित और तर्क
प्रसिद्ध गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज ने "गणितीय तर्क" की अवधारणा तैयार की, जिसकी समस्याओं को केवल वैज्ञानिकों के एक संकीर्ण दायरे के लिए समझा जा सकता था। इस दिशा में कोई विशेष रुचि नहीं थी, और 19वीं शताब्दी के मध्य तक, गणितीय तर्क के बारे में बहुत कम लोग जानते थे।
वैज्ञानिक समुदाय में अत्यधिक रुचि ने एक विवाद का कारण बना जिसमें अंग्रेज जॉर्ज बूले ने गणित की एक ऐसी शाखा बनाने के अपने इरादे की घोषणा की जिसका बिल्कुल कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं है। जैसा कि हम इतिहास से याद करते हैं, उस समय औद्योगिक उत्पादन सक्रिय रूप से विकसित हो रहा था, सभी प्रकार की सहायक मशीनें और मशीन टूल्स विकसित किए जा रहे थे, यानी सभी वैज्ञानिक खोजों पर व्यावहारिक ध्यान केंद्रित था।
आगे देखते हुए, मान लें कि आधुनिक दुनिया में बूलियन बीजगणित गणित का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला हिस्सा है। तो बैल ने अपना तर्क खो दिया।
जॉर्ज बुहल
लेखक का व्यक्तित्व विशेष ध्यान देने योग्य है। यह देखते हुए भी कि अतीत में लोग हमारे सामने बड़े हुए थे, यह अभी भी असंभव नहीं है कि 16 साल की उम्र में, जे। बुहल ने एक गाँव के स्कूल में पढ़ाया, और 20 साल की उम्र तक उन्होंने लिंकन में अपना स्कूल खोला। गणितज्ञ पांच विदेशी भाषाओं में पारंगत था, और अपने खाली समय में वह काम पढ़ता थान्यूटन और लैग्रेंज। और यह सब एक साधारण कार्यकर्ता के बेटे के बारे में है!
1839 में Boole ने सबसे पहले अपने वैज्ञानिक पेपर कैम्ब्रिज मैथमेटिकल जर्नल को सौंपे। वैज्ञानिक 24 साल के हैं। बूले के काम में रॉयल सोसाइटी के इतने इच्छुक सदस्य थे कि 1844 में उन्हें गणितीय विश्लेषण के विकास में उनके योगदान के लिए एक पदक मिला। कई और प्रकाशित रचनाएँ, जिन्होंने गणितीय तर्क के तत्वों का वर्णन किया, ने युवा गणितज्ञ को कॉर्क काउंटी कॉलेज में प्रोफेसर का पद लेने की अनुमति दी। स्मरण करो कि बुहल ने स्वयं कोई शिक्षा नहीं ली थी।
विचार
सिद्धांत रूप में, बूलियन बीजगणित बहुत सरल है। ऐसे कथन (तार्किक भाव) हैं, जिन्हें गणित की दृष्टि से केवल दो शब्दों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है: "सत्य" या "झूठा"। उदाहरण के लिए, वसंत में पेड़ खिलते हैं - सच है, गर्मियों में यह गिर जाता है - झूठ। इस गणित की खूबी यह है कि केवल संख्याओं का उपयोग करने की कोई सख्त आवश्यकता नहीं है। स्पष्ट अर्थ वाला कोई भी कथन निर्णय के बीजगणित के लिए काफी उपयुक्त है।
इस प्रकार, तर्क के बीजगणित का उपयोग हर जगह शाब्दिक रूप से किया जा सकता है: शेड्यूलिंग और निर्देशों को लिखने में, घटनाओं के बारे में परस्पर विरोधी जानकारी का विश्लेषण करने और क्रियाओं के क्रम को निर्धारित करने में। सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि यह पूरी तरह से महत्वहीन है कि हम कथन की सच्चाई या असत्य का निर्धारण कैसे करते हैं। इन "कैसे" और "क्यों" को दूर करने की आवश्यकता है। केवल तथ्य का बयान मायने रखता है: सच-झूठा।
बेशक, प्रोग्रामिंग के लिए, तर्क के बीजगणित के कार्य महत्वपूर्ण हैं, जो संबंधित द्वारा लिखे गए हैंसंकेत और प्रतीक। और उन्हें सीखने का मतलब है एक नई विदेशी भाषा में महारत हासिल करना। कुछ भी असंभव नहीं है।
मूल अवधारणाएं और परिभाषाएं
गहराई में जाए बिना, आइए शब्दावली से निपटें। तो बूलियन बीजगणित मानता है:
- बयान;
- तार्किक संचालन;
- कार्य और कानून।
कथन ऐसे सकारात्मक भाव हैं जिनकी अस्पष्ट व्याख्या नहीं की जा सकती है। उन्हें संख्याओं (5 > 3) के रूप में लिखा जाता है या परिचित शब्दों में तैयार किया जाता है (हाथी सबसे बड़ा स्तनपायी है)। साथ ही, वाक्यांश "जिराफ़ की कोई गर्दन नहीं है" को भी अस्तित्व का अधिकार है, केवल बूलियन बीजगणित इसे "झूठी" के रूप में परिभाषित करेगा।
सभी कथन स्पष्ट होने चाहिए, लेकिन वे प्राथमिक और मिश्रित हो सकते हैं। बाद वाले तार्किक संयोजकों का उपयोग करते हैं। अर्थात् निर्णयों के बीजगणित में तार्किक संक्रियाओं के माध्यम से प्रारंभिक कथनों को जोड़कर यौगिक कथनों का निर्माण किया जाता है।
बूलियन बीजगणित संचालन
हमें पहले से ही याद है कि निर्णय के बीजगणित में संचालन तार्किक होते हैं। जिस तरह संख्या बीजगणित संख्याओं को जोड़ने, घटाने या तुलना करने के लिए अंकगणित का उपयोग करता है, गणितीय तर्क के तत्व आपको जटिल कथन बनाने, नकारने या अंतिम परिणाम की गणना करने की अनुमति देते हैं।
औपचारिकता और सरलता के लिए तार्किक संचालन अंकगणित में हमारे परिचित सूत्रों द्वारा लिखे गए हैं। बूलियन बीजगणित के गुण समीकरणों को लिखना और अज्ञात की गणना करना संभव बनाते हैं। तार्किक संचालन आमतौर पर एक सत्य तालिका का उपयोग करके लिखा जाता है। इसके स्तंभगणना के तत्वों और उन पर किए जाने वाले संचालन को परिभाषित करें, और रेखाएं गणना का परिणाम दिखाती हैं।
बुनियादी तार्किक क्रियाएं
बूलियन बीजगणित में सबसे आम संचालन निषेध (नहीं) और तार्किक AND और OR हैं। निर्णयों के बीजगणित में लगभग सभी क्रियाओं का वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है। आइए तीनों संक्रियाओं में से प्रत्येक का अधिक विस्तार से अध्ययन करें।
निषेध (नहीं) केवल एक तत्व (संकार्य) पर लागू होता है। इसलिए, नकारात्मक कार्रवाई को यूनरी कहा जाता है। "नहीं ए" की अवधारणा लिखने के लिए निम्नलिखित प्रतीकों का उपयोग करें: A, A¯¯¯ या !A। सारणीबद्ध रूप में यह इस तरह दिखता है:
नकारात्मक कार्य निम्नलिखित कथन द्वारा विशेषता है: यदि A सत्य है, तो B गलत है। उदाहरण के लिए, चंद्रमा पृथ्वी के चारों ओर घूमता है - सच; पृथ्वी चंद्रमा के चारों ओर चक्कर लगाती है - झूठा।
तार्किक गुणा और जोड़
तार्किक AND को संयुग्मन संक्रिया कहते हैं। इसका क्या मतलब है? सबसे पहले, कि इसे दो ऑपरेंड पर लागू किया जा सकता है, अर्थात और एक बाइनरी ऑपरेशन है। दूसरे, केवल दोनों ऑपरेंड (ए और बी दोनों) के सत्य के मामले में अभिव्यक्ति ही सत्य है। कहावत "धैर्य और काम सब कुछ पीस देगा" बताती है कि केवल दोनों कारक ही व्यक्ति को कठिनाइयों से निपटने में मदद करेंगे।
लिखने के लिए प्रयुक्त प्रतीक: A∧B, A⋅B या A&&B.
संयोजन अंकगणित में गुणन के समान है। कभी-कभी वे कहते हैं कि - तार्किक गुणन। यदि हम तालिका पंक्ति के तत्वों को पंक्ति से गुणा करते हैं, तो हमें तार्किक तर्क के समान परिणाम मिलता है।
डिसजंक्शन एक लॉजिकल OR ऑपरेशन है। यह सत्य का मूल्य लेता हैजब कम से कम एक कथन सत्य हो (या तो A या B)। इसे इस तरह लिखा जाता है: A∨B, A+B या A||B। इन कार्यों के लिए सत्य सारणी हैं:
डिसजंक्शन अंकगणितीय जोड़ की तरह है। तार्किक जोड़ ऑपरेशन की केवल एक सीमा है: 1+1=1. लेकिन हमें याद है कि डिजिटल प्रारूप में, गणितीय तर्क 0 और 1 तक सीमित है (जहाँ 1 सत्य है, 0 गलत है)। उदाहरण के लिए, कथन "एक संग्रहालय में आप एक उत्कृष्ट कृति देख सकते हैं या एक दिलचस्प वार्ताकार से मिल सकते हैं" का अर्थ है कि आप कला के कार्यों को देख सकते हैं, या आप एक दिलचस्प व्यक्ति से मिल सकते हैं। वहीं, दोनों घटनाओं के एक साथ होने की संभावना से इंकार नहीं किया जा सकता।
कार्य और कानून
तो, हम पहले से ही जानते हैं कि बूलियन बीजगणित किन तार्किक संक्रियाओं का उपयोग करता है। फ़ंक्शंस गणितीय तर्क के तत्वों के सभी गुणों का वर्णन करते हैं और आपको समस्याओं की जटिल यौगिक स्थितियों को सरल बनाने की अनुमति देते हैं। सबसे अधिक समझने योग्य और सरल संपत्ति व्युत्पन्न संचालन की अस्वीकृति प्रतीत होती है। डेरिवेटिव अनन्य या, निहितार्थ और तुल्यता हैं। चूँकि हमने केवल मूल संक्रियाओं का अध्ययन किया है, हम उनके गुणों पर भी विचार करेंगे।
सहयोगिता का अर्थ है कि "और ए, और बी, और सी" जैसे बयानों में ऑपरेंड का क्रम मायने नहीं रखता। सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:
(ए∧बी)∧वी=ए∧(बी∧वी)=ए∧बी∧वी, (ए∨बी)∨सी=ए∨(बी∨सी)=ए∨बी∨सी.
जैसा कि आप देख सकते हैं, यह न केवल संयोजन की, बल्कि वियोजन की भी विशेषता है।
कम्यूटेटिविटी बताती है कि परिणामसंयोजन या वियोग इस बात पर निर्भर नहीं करता कि किस तत्व को पहले माना गया था:
ए∧बी=बी∧ए; ए∨बी=बी∨ए.
वितरणता जटिल तार्किक अभिव्यक्तियों में कोष्ठकों का विस्तार करने की अनुमति देती है। नियम बीजगणित में गुणन और योग में कोष्ठक खोलने के समान हैं:
ए∧(बी∨सी)=ए∧बी∨ए∧बी; ए∨बी∧बी=(ए∨बी)∧(ए∨बी)।
एक और शून्य के गुण, जो ऑपरेंड में से एक हो सकते हैं, शून्य या एक से बीजगणितीय गुणन और एक के साथ जोड़ के समान हैं:
ए∧0=0, ए∧1=ए; ए∨0=ए, ए∨1=1.
Idempotency हमें बताती है कि यदि, दो समान ऑपरेंड के संबंध में, एक ऑपरेशन का परिणाम समान हो जाता है, तो हम तर्क के पाठ्यक्रम को जटिल बनाने वाले अतिरिक्त ऑपरेंड को "फेंक" सकते हैं। संयोजन और वियोजन दोनों ही निष्क्रिय संचालन हैं।
बी∧बी=बी; बी∨बी=बी.
अवशोषण हमें समीकरणों को सरल बनाने की भी अनुमति देता है। अवशोषण बताता है कि जब एक ही तत्व के साथ एक और ऑपरेशन एक ऑपरेंड के साथ एक अभिव्यक्ति पर लागू होता है, तो परिणाम अवशोषित ऑपरेशन से ऑपरेंड होता है।
ए∧बी∨बी=बी; (ए∨बी)∧बी=बी.
ऑपरेशन का क्रम
ऑपरेशन के क्रम का कोई छोटा महत्व नहीं है। दरअसल, बीजगणित के लिए, बूलियन बीजगणित का उपयोग करने वाले कार्यों की प्राथमिकता है। सूत्रों का सरलीकरण तभी किया जा सकता है जब संचालन के महत्व को देखा जाए। सबसे महत्वपूर्ण से कम से कम की रैंकिंग, हमें निम्नलिखित क्रम मिलता है:
1. इनकार।
2. संयोजन।
3. विच्छेदन, अनन्यया.
4. निहितार्थ, तुल्यता।
जैसा कि आप देख सकते हैं, केवल निषेध और संयोजन की समान पूर्वता नहीं होती है। और डिसजंक्शन और एक्सओआर की प्राथमिकता समान है, साथ ही निहितार्थ और समानता की प्राथमिकताएं भी हैं।
निहितार्थ और तुल्यता कार्य
जैसा कि हमने पहले ही कहा है, बुनियादी तार्किक संचालन के अलावा, गणितीय तर्क और एल्गोरिदम के सिद्धांत डेरिवेटिव का उपयोग करते हैं। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले निहितार्थ और तुल्यता हैं।
निहितार्थ, या तार्किक परिणाम, एक कथन है जिसमें एक क्रिया एक शर्त है, और दूसरी इसके कार्यान्वयन का परिणाम है। दूसरे शब्दों में, यह पूर्वसर्ग के साथ एक वाक्य है "अगर … तो।" "यदि आप सवारी करना पसंद करते हैं, तो स्लेज ले जाना पसंद करते हैं।" यानी स्कीइंग के लिए आपको पहाड़ी पर स्लेज को कसने की जरूरत है। यदि पहाड़ से नीचे जाने की कोई इच्छा नहीं है, तो आपको स्लेज ले जाने की आवश्यकता नहीं है। इसे इस तरह लिखा जाता है: A→B या A⇒B.
तुल्यता मानती है कि परिणामी क्रिया तभी होती है जब दोनों ऑपरेंड सत्य हों। उदाहरण के लिए, रात दिन में बदल जाती है जब (और केवल तभी) सूरज क्षितिज पर उगता है। गणितीय तर्क की भाषा में यह कथन इस प्रकार लिखा गया है: A≡B, A⇔B, A==B.
बूलियन बीजगणित के अन्य नियम
निर्णय का बीजगणित विकसित हो रहा है, और कई इच्छुक वैज्ञानिकों ने नए कानून तैयार किए हैं। स्कॉटिश गणितज्ञ ओ डी मॉर्गन के अभिधारणाओं को सबसे प्रसिद्ध माना जाता है। उन्होंने ऐसे गुणों को देखा और परिभाषित किया जैसे कि निकट निषेध, पूरक और दोहरा निषेध।
बंद निषेध का अर्थ है कि कोष्ठक से पहले कोई निषेध नहीं है:नहीं (ए या बी)=नहीं ए या नहीं बी।
जब किसी ऑपरेंड को नकार दिया जाता है, तो इसके मूल्य की परवाह किए बिना, एक पूरक की बात करता है:
बी∧¬बी=0; बी∨¬बी=1.
और अंत में, दोहरा नकार खुद के लिए क्षतिपूर्ति करता है। वे। या तो ऑपरेंड से पहले निषेध गायब हो जाता है, या केवल एक ही रहता है।
परीक्षाओं को कैसे हल करें
गणितीय तर्क में दिए गए समीकरणों का सरलीकरण शामिल है। बीजगणित की तरह, आपको पहले स्थिति को यथासंभव आसान बनाना चाहिए (जटिल इनपुट और उनके साथ संचालन से छुटकारा पाएं), और फिर सही उत्तर की तलाश शुरू करें।
सरल बनाने के लिए क्या किया जा सकता है? सभी व्युत्पन्न कार्यों को सरल में बदलें। फिर सभी कोष्ठक खोलें (या इसके विपरीत, इस तत्व को छोटा करने के लिए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें)। अगला कदम बूलियन बीजगणित के गुणों को व्यवहार में लागू करना होना चाहिए (अवशोषण, शून्य और एक के गुण, आदि)।
आखिरकार, समीकरण में सरल संक्रियाओं द्वारा संयुक्त अज्ञात की न्यूनतम संख्या होनी चाहिए। समाधान खोजने का सबसे आसान तरीका बड़ी संख्या में करीबी नकारात्मक प्राप्त करना है। फिर जवाब ऐसे आ जाएगा जैसे खुद ही।
