मैट्रिक्स गणित में एक विशेष वस्तु है। इसे एक निश्चित संख्या में पंक्तियों और स्तंभों से बना एक आयताकार या वर्गाकार तालिका के रूप में दर्शाया गया है। गणित में, विभिन्न प्रकार के आव्यूह होते हैं, जो आकार या सामग्री में भिन्न होते हैं। इसकी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को आदेश कहा जाता है। इन वस्तुओं का उपयोग गणित में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के लेखन को व्यवस्थित करने और उनके परिणामों को आसानी से खोजने के लिए किया जाता है। मैट्रिक्स का उपयोग करने वाले समीकरणों को कार्ल गॉस, गेब्रियल क्रैमर, माइनर और बीजीय जोड़, और कई अन्य तरीकों का उपयोग करके हल किया जाता है। मैट्रिक्स के साथ काम करते समय बुनियादी कौशल उन्हें एक मानक रूप में लाना है। हालांकि, पहले, आइए जानें कि गणितज्ञ किस प्रकार के आव्यूहों में अंतर करते हैं।
शून्य प्रकार
इस प्रकार के मैट्रिक्स के सभी घटक शून्य होते हैं। इस बीच, इसकी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या पूरी तरह से अलग है।
वर्ग प्रकार
इस प्रकार के मैट्रिक्स के कॉलम और रो की संख्या समान होती है। दूसरे शब्दों में, यह एक "वर्ग" आकार की तालिका है। इसके स्तंभों (या पंक्तियों) की संख्या को क्रम कहते हैं। विशेष मामले दूसरे क्रम (मैट्रिक्स 2x2), चौथे क्रम (4x4), दसवें (10x10), सत्रहवें (17x17) और इसी तरह के मैट्रिक्स का अस्तित्व हैं।
स्तंभ वेक्टर
यह सबसे सरल प्रकार के मैट्रिक्स में से एक है, जिसमें केवल एक कॉलम होता है, जिसमें तीन संख्यात्मक मान शामिल होते हैं। यह रैखिक समीकरणों की प्रणालियों में मुक्त पदों (चरों से स्वतंत्र संख्या) की एक श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है।
पंक्ति वेक्टर
पिछले वाले के समान देखें। तीन संख्यात्मक तत्वों से मिलकर बनता है, बदले में एक पंक्ति में व्यवस्थित।
विकर्ण प्रकार
मुख्य विकर्ण के केवल घटक (हरे रंग में हाइलाइट किए गए) मैट्रिक्स के विकर्ण रूप में संख्यात्मक मान लेते हैं। मुख्य विकर्ण क्रमशः ऊपरी बाएं कोने में तत्व से शुरू होता है और निचले दाएं तत्व के साथ समाप्त होता है। शेष घटक शून्य हैं। विकर्ण प्रकार किसी क्रम का केवल एक वर्ग मैट्रिक्स है। विकर्ण रूप के आव्यूहों के बीच, कोई एक अदिश को एकल कर सकता है। इसके सभी घटक समान मान लेते हैं।
पहचान मैट्रिक्स
विकर्ण मैट्रिक्स की एक उप-प्रजाति। इसके सभी संख्यात्मक मान इकाइयाँ हैं। एक ही प्रकार की मैट्रिक्स टेबल का उपयोग करके, इसके मूल परिवर्तन करें या मूल के विपरीत एक मैट्रिक्स खोजें।
विहित प्रकार
मैट्रिक्स के विहित रूप को मुख्य में से एक माना जाता है; इसे कास्टिंग करने के लिए अक्सर काम करने की आवश्यकता होती है। विहित मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या भिन्न होती है, यह जरूरी नहीं कि वर्ग प्रकार से संबंधित हो। यह कुछ हद तक पहचान मैट्रिक्स के समान है, हालांकि, इसके मामले में, मुख्य विकर्ण के सभी घटक एक के बराबर मान नहीं लेते हैं। दो या चार मुख्य विकर्ण इकाइयाँ हो सकती हैं (यह सब मैट्रिक्स की लंबाई और चौड़ाई पर निर्भर करता है)। या कोई इकाई नहीं हो सकती है (तब इसे शून्य माना जाता है)। विहित प्रकार के शेष घटक, साथ ही विकर्ण और पहचान के तत्व, शून्य के बराबर हैं।
त्रिकोण प्रकार
मैट्रिक्स के सबसे महत्वपूर्ण प्रकारों में से एक, इसका उपयोग इसके निर्धारक की खोज करते समय और सरल संचालन करते समय किया जाता है। त्रिकोणीय प्रकार विकर्ण प्रकार से आता है, इसलिए मैट्रिक्स भी वर्ग है। मैट्रिक्स का त्रिकोणीय दृश्य ऊपरी त्रिकोणीय और निचले त्रिकोणीय में विभाजित है।
ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (चित्र 1) में, केवल मुख्य विकर्ण के ऊपर वाले तत्व शून्य के बराबर मान लेते हैं। स्वयं विकर्ण के घटकों और उसके नीचे के मैट्रिक्स के भाग में संख्यात्मक मान होते हैं।
निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स (चित्र 2) में, इसके विपरीत, मैट्रिक्स के निचले हिस्से में स्थित तत्व शून्य के बराबर हैं।
स्टेप मैट्रिक्स
दृश्य मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए आवश्यक है, साथ ही उन पर प्राथमिक संचालन के लिए (त्रिकोणीय प्रकार के साथ)। चरण मैट्रिक्स का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसमें शून्य के विशिष्ट "चरण" शामिल हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। चरणबद्ध प्रकार में, शून्य का एक विकर्ण बनता है (जरूरी नहीं कि मुख्य एक), और इस विकर्ण के तहत सभी तत्वों का मान भी शून्य के बराबर होता है। एक पूर्वापेक्षा निम्नलिखित है: यदि चरण मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति है, तो उसके नीचे की शेष पंक्तियों में भी संख्यात्मक मान नहीं होते हैं।
इस प्रकार, हमने उनके साथ काम करने के लिए आवश्यक सबसे महत्वपूर्ण प्रकार के मैट्रिक्स पर विचार किया है। अब एक मैट्रिक्स को आवश्यक रूप में बदलने के कार्य से निपटते हैं।
त्रिकोणीय रूप में कमी
मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में कैसे लाया जाए? अक्सर, असाइनमेंट में, आपको इसके निर्धारक को खोजने के लिए एक मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है, अन्यथा इसे निर्धारक कहा जाता है। इस प्रक्रिया को करते समय, मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण को "संरक्षित" करना अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक इसके मुख्य विकर्ण के घटकों का उत्पाद है। मैं आपको सारणिक ज्ञात करने की वैकल्पिक विधियों के बारे में भी याद दिलाता हूँ। वर्ग-प्रकार का निर्धारक विशेष सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है। उदाहरण के लिए, आप त्रिभुज विधि का उपयोग कर सकते हैं। अन्य मैट्रिक्स के लिए, पंक्ति, स्तंभ या उनके तत्वों द्वारा अपघटन की विधि का उपयोग किया जाता है। आप आव्यूह के अवयस्कों और बीजगणितीय पूरकों की विधि भी लागू कर सकते हैं।
विवरणआइए कुछ कार्यों के उदाहरणों का उपयोग करके मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाने की प्रक्रिया का विश्लेषण करें।
कार्य 1
प्रस्तुत मैट्रिक्स के सारणिक को त्रिभुजाकार रूप में लाने की विधि द्वारा ज्ञात करना आवश्यक है।
हमें दिया गया मैट्रिक्स तीसरे क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है। इसलिए, इसे त्रिकोणीय रूप में बदलने के लिए, हमें पहले कॉलम के दो घटकों और दूसरे के एक घटक को रद्द करना होगा।
इसे त्रिकोणीय रूप में लाने के लिए, मैट्रिक्स के निचले बाएँ कोने से - संख्या 6 से परिवर्तन शुरू करें। इसे शून्य करने के लिए, पहली पंक्ति को तीन से गुणा करें और इसे अंतिम पंक्ति से घटाएँ।
महत्वपूर्ण! शीर्ष रेखा नहीं बदलती है, लेकिन मूल मैट्रिक्स की तरह ही रहती है। आपको मूल से चार बार एक स्ट्रिंग लिखने की आवश्यकता नहीं है। लेकिन स्ट्रिंग्स के मान जिनके घटकों को निरस्त करने की आवश्यकता है, वे लगातार बदल रहे हैं।
अगला, आइए अगले मान से निपटें - पहले कॉलम की दूसरी पंक्ति का तत्व, संख्या 8। पहली पंक्ति को चार से गुणा करें और दूसरी पंक्ति से घटाएं। हमें शून्य मिलता है।
केवल अंतिम मान रहता है - दूसरे कॉलम की तीसरी पंक्ति का तत्व। यह संख्या (-1) है। इसे शून्य करने के लिए, पहली पंक्ति से दूसरी घटाएँ।
जांचें:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
तो टास्क का जवाब है -22.
कार्य 2
हमें मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाकर उसके निर्धारक को खोजने की जरूरत है।
प्रतिनिधित्व मैट्रिक्सवर्ग प्रकार के अंतर्गत आता है और चौथे क्रम का एक मैट्रिक्स है। इसका मतलब है कि पहले कॉलम के तीन घटक, दूसरे कॉलम के दो घटक और तीसरे कॉलम के एक घटक को शून्य किया जाना चाहिए।
आइए इसकी कमी निचले बाएं कोने में स्थित तत्व से शुरू करते हैं - संख्या 4 से। हमें इस संख्या को शून्य में बदलने की आवश्यकता है। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका शीर्ष पंक्ति को चार से गुणा करना और फिर चौथी पंक्ति से घटाना है। आइए परिवर्तन के पहले चरण के परिणाम को लिखें।
तो, चौथी पंक्ति का घटक शून्य पर सेट है। आइए तीसरी पंक्ति के पहले तत्व पर चलते हैं, संख्या 3 पर। हम एक समान ऑपरेशन करते हैं। पहली पंक्ति को तीन से गुणा करें, तीसरी पंक्ति से घटाएं और परिणाम लिखें।
अगला, हम दूसरी पंक्ति में संख्या 2 देखते हैं। हम ऑपरेशन दोहराते हैं: शीर्ष पंक्ति को दो से गुणा करें और इसे दूसरे से घटाएं।
हम इस वर्ग मैट्रिक्स के पहले कॉलम के सभी घटकों को शून्य पर सेट करने में कामयाब रहे, संख्या 1 को छोड़कर, मुख्य विकर्ण का तत्व जिसे परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। अब परिणामी शून्य रखना महत्वपूर्ण है, इसलिए हम पंक्तियों के साथ परिवर्तन करेंगे, स्तंभों से नहीं। आइए प्रस्तुत मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम पर चलते हैं।
चलो फिर से नीचे से शुरू करते हैं - अंतिम पंक्ति के दूसरे कॉलम के तत्व से। यह संख्या (-7) है। हालांकि, इस मामले में संख्या (-1) से शुरू करना अधिक सुविधाजनक है - तीसरी पंक्ति के दूसरे कॉलम का तत्व। इसे शून्य करने के लिए, तीसरी पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाएँ। फिर हम दूसरी पंक्ति को सात से गुणा करते हैं और चौथे से घटाते हैं। दूसरे स्तम्भ की चौथी पंक्ति में स्थित तत्व के स्थान पर हमें शून्य प्राप्त हुआ। अब तीसरे पर चलते हैंकॉलम।
इस कॉलम में, हमें केवल एक नंबर - 4 को शून्य करने की आवश्यकता है। यह करना आसान है: केवल तीसरी पंक्ति को अंतिम पंक्ति में जोड़ें और वह शून्य देखें जिसकी हमें आवश्यकता है।
सभी परिवर्तनों के बाद, हम प्रस्तावित मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाए। अब, इसके सारणिक को खोजने के लिए, आपको केवल मुख्य विकर्ण के परिणामी तत्वों को गुणा करना होगा। हम पाते हैं: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160। इसलिए, समाधान संख्या 160 है।
तो, अब मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाने का सवाल आपके लिए मुश्किल नहीं बनाएगा।
स्टेप्ड फॉर्म में कमी
मैट्रिसेस पर प्राथमिक संचालन में, त्रिकोणीय एक की तुलना में चरणबद्ध रूप कम "मांग" होता है। यह आमतौर पर एक मैट्रिक्स के रैंक (यानी, इसकी गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या) को खोजने के लिए या रैखिक रूप से निर्भर और स्वतंत्र पंक्तियों को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है। हालाँकि, स्टेप्ड मैट्रिक्स व्यू अधिक बहुमुखी है, क्योंकि यह न केवल वर्ग प्रकार के लिए, बल्कि अन्य सभी के लिए उपयुक्त है।
एक मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करने के लिए, आपको सबसे पहले इसके निर्धारक को खोजने की जरूरत है। इसके लिए उपरोक्त विधियाँ उपयुक्त हैं। सारणिक को खोजने का उद्देश्य यह पता लगाना है कि क्या इसे एक चरण मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है। यदि निर्धारक शून्य से अधिक या कम है, तो आप सुरक्षित रूप से कार्य के लिए आगे बढ़ सकते हैं। यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करने के लिए काम नहीं करेगा। इस मामले में, आपको यह जांचना होगा कि रिकॉर्ड में या मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्मेशन में कोई त्रुटि है या नहीं। यदि ऐसी कोई अशुद्धि नहीं है, तो कार्य हल नहीं किया जा सकता।
आइए देखते हैं कैसेकई कार्यों के उदाहरणों का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाएं।
कार्य 1. दी गई मैट्रिक्स तालिका की रैंक ज्ञात कीजिए।
हमारे सामने तीसरे क्रम (3x3) का एक वर्ग मैट्रिक्स है। हम जानते हैं कि रैंक खोजने के लिए, इसे चरणबद्ध रूप में कम करना आवश्यक है। इसलिए, हमें पहले मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने की जरूरत है। त्रिभुज विधि का उपयोग करना: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
निर्धारक=12. यह शून्य से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में कम किया जा सकता है। आइए इसके रूपांतरण शुरू करें।
आइए इसे तीसरी पंक्ति के बाएं कॉलम के तत्व से शुरू करते हैं - संख्या 2। शीर्ष पंक्ति को दो से गुणा करें और इसे तीसरे से घटाएं। इस ऑपरेशन के लिए धन्यवाद, दोनों तत्व जो हमें चाहिए और संख्या 4 - तीसरी पंक्ति के दूसरे कॉलम का तत्व - शून्य में बदल गया।
अगला, पहले कॉलम की दूसरी पंक्ति के तत्व को शून्य करें - संख्या 3। ऐसा करने के लिए, शीर्ष पंक्ति को तीन से गुणा करें और इसे दूसरे से घटाएं।
हम देखते हैं कि कमी के परिणामस्वरूप त्रिकोणीय मैट्रिक्स बन गया। हमारे मामले में, परिवर्तन जारी नहीं रखा जा सकता है, क्योंकि शेष घटकों को शून्य में नहीं बदला जा सकता है।
इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इस मैट्रिक्स (या इसके रैंक) में संख्यात्मक मान वाली पंक्तियों की संख्या 3 है। कार्य का उत्तर: 3.
कार्य 2. इस मैट्रिक्स की रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या निर्धारित करें।
हमें ऐसे तार खोजने होंगे जिन्हें किसी भी परिवर्तन द्वारा उलट नहीं किया जा सकता हैशून्य करने के लिए। वास्तव में, हमें गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या, या प्रतिनिधित्व मैट्रिक्स के रैंक को खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आइए इसे सरल करें।
हम एक मैट्रिक्स देखते हैं जो वर्ग प्रकार से संबंधित नहीं है। इसका आयाम 3x4 है। आइए निचले बाएँ कोने के तत्व - संख्या (-1) से भी कास्ट शुरू करें।
पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें। इसके बाद, संख्या 5 को शून्य करने के लिए इसमें से दूसरा घटाएं।
आगे परिवर्तन असंभव हैं। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इसमें रैखिक रूप से स्वतंत्र रेखाओं की संख्या और कार्य का उत्तर है 3.
अब मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में लाना आपके लिए असंभव कार्य नहीं है।
इन कार्यों के उदाहरणों पर, हमने एक मैट्रिक्स के त्रिकोणीय रूप और एक चरणबद्ध रूप में कमी का विश्लेषण किया। मैट्रिक्स तालिकाओं के वांछित मूल्यों को कम करने के लिए, कुछ मामलों में कल्पना दिखाने और उनके कॉलम या पंक्तियों को सही ढंग से बदलने की आवश्यकता होती है। गणित में गुड लक और मैट्रिसेस के साथ काम करना!
