भौतिकी का वह भाग जो द्रव माध्यम की गति की विशेषताओं का अध्ययन करता है, जलगतिकी कहलाता है। हाइड्रोडायनामिक्स के मुख्य गणितीय अभिव्यक्तियों में से एक आदर्श तरल पदार्थ के लिए बर्नौली समीकरण है। लेख इसी विषय को समर्पित है।
आदर्श द्रव क्या है?
बहुत से लोग जानते हैं कि एक तरल पदार्थ पदार्थ की एक ऐसी समग्र अवस्था है जो निरंतर बाहरी परिस्थितियों में आयतन बनाए रखता है, लेकिन उस पर थोड़े से प्रभाव पर अपना आकार बदल लेता है। एक आदर्श द्रव एक तरल पदार्थ है जिसमें कोई चिपचिपापन नहीं होता है और यह असम्पीडित होता है। ये दो मुख्य गुण हैं जो इसे वास्तविक तरल पदार्थ से अलग करते हैं।
ध्यान दें कि लगभग सभी वास्तविक तरल पदार्थों को असंपीड्य माना जा सकता है, क्योंकि उनके आयतन में एक छोटे से बदलाव के लिए एक बड़े बाहरी दबाव की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि आप 5 वायुमंडल (500 kPa) का दबाव बनाते हैं, तो पानी अपने घनत्व में केवल 0.024% की वृद्धि करेगा। चिपचिपाहट के मुद्दे के लिए, कई व्यावहारिक समस्याओं के लिए, जब पानी को काम करने वाले तरल पदार्थ के रूप में माना जाता है, तो इसे उपेक्षित किया जा सकता है। पूर्णता के लिए, हम ध्यान दें कि20 oC पर पानी की गतिशील चिपचिपाहट 0.001 Pas2 है, जो शहद के लिए इस मान (>2000) की तुलना में बहुत कम है।
आदर्श द्रव और आदर्श गैस की अवधारणाओं को भ्रमित नहीं करना महत्वपूर्ण है, क्योंकि गैस आसानी से संकुचित हो जाती है।
निरंतरता समीकरण
हाइड्रोडायनामिक्स में, एक आदर्श द्रव की गति को उसके प्रवाह की निरंतरता के समीकरण के अध्ययन से माना जाने लगता है। मुद्दे के सार को समझने के लिए, पाइप के माध्यम से द्रव की गति पर विचार करना आवश्यक है। कल्पना कीजिए कि इनलेट में पाइप का एक अनुभागीय क्षेत्र A1 है, और आउटलेट A2।
अब मान लीजिए कि पाइप की शुरुआत में तरल गति v1 के साथ बहती है, इसका मतलब है कि समय में t सेक्शन A1 के माध्यम सेप्रवाह मात्रा V1=A1v1t. चूंकि तरल आदर्श है, अर्थात, असंपीड्य, ठीक उसी मात्रा में पानी को समय t में पाइप के अंत से बाहर निकलना चाहिए, हमें मिलता है: V2=A2 वी2टी. वॉल्यूम V1 और V2 की समानता से, एक आदर्श द्रव के प्रवाह की निरंतरता के लिए समीकरण इस प्रकार है:
A1v1=A2v2.
परिणामी समीकरण से यह इस प्रकार है कि यदि A1>A2, तो v1 वी2 से कम होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, पाइप के क्रॉस सेक्शन को कम करके, हम इसे छोड़ने वाले द्रव प्रवाह की गति को बढ़ाते हैं। जाहिर है, यह प्रभाव उनके जीवन में प्रत्येक व्यक्ति द्वारा देखा गया था, जिन्होंने कम से कम एक बार फूलों की क्यारियों को एक नली या से सींचा थाबाग़, तो नली के छेद को अपनी उँगली से ढँककर, आप देख सकते हैं कि उसमें से निकलने वाली जलधारा कैसे मज़बूत होती है।
शाखित पाइप के लिए निरंतरता समीकरण
एक पाइप के माध्यम से एक आदर्श तरल पदार्थ की गति के मामले पर विचार करना दिलचस्प है जिसमें एक नहीं, बल्कि दो या दो से अधिक निकास होते हैं, अर्थात यह शाखित होता है। उदाहरण के लिए, इनलेट पर एक पाइप का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र A1 है, और आउटलेट की ओर यह दो पाइपों में खंड A2 के साथ शाखा करता हैऔर ए3 । आइए हम प्रवाह दर निर्धारित करें v2 और v3, यदि यह ज्ञात हो कि पानी एक गति से प्रवेश द्वार में प्रवेश करता है v 1.
निरंतरता समीकरण का उपयोग करते हुए, हमें व्यंजक मिलता है: A1v1=A2 v 2 + A3v3। अज्ञात गति के लिए इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि आउटलेट पर, जिस भी पाइप में प्रवाह है, वह उसी गति से चलता है, अर्थात v2=v 3। इस तथ्य को सहजता से समझा जा सकता है। यदि आउटलेट पाइप को किसी विभाजन द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाता है, तो प्रवाह दर नहीं बदलेगी। इस तथ्य को देखते हुए, हमें समाधान मिलता है: v2=v3 =A1v1/(ए2 + ए3).
एक आदर्श द्रव के लिए बर्नौली का समीकरण
डैनियल बर्नौली, एक स्विस भौतिक विज्ञानी और डच मूल के गणितज्ञ, ने अपने काम "हाइड्रोडायनामिक्स" (1734) में अपनी गति का वर्णन करते हुए एक आदर्श तरल पदार्थ के लिए एक समीकरण प्रस्तुत किया। यह निम्नलिखित रूप में लिखा गया है:
P+ ρv2/2 + gh=कास्ट.
यह व्यंजक द्रव प्रवाह के मामले में ऊर्जा संरक्षण के नियम को दर्शाता है। तो, पहला पद (P) द्रव विस्थापन वेक्टर के साथ निर्देशित दबाव है, जो प्रवाह के कार्य का वर्णन करता है, दूसरा पद (ρv
/2) गतिज है द्रव पदार्थ की ऊर्जा, और तीसरा पद (ρgh) इसकी स्थितिज ऊर्जा है।
याद रखें कि यह समीकरण एक आदर्श द्रव के लिए मान्य है। वास्तव में, पाइप की दीवारों के खिलाफ और उसके आयतन के अंदर तरल पदार्थ का हमेशा घर्षण होता है, इसलिए, उपरोक्त बर्नौली समीकरण में एक अतिरिक्त शब्द पेश किया जाता है जो इन ऊर्जा हानियों का वर्णन करता है।
बर्नौली समीकरण का उपयोग करना
कुछ आविष्कारों का हवाला देना दिलचस्प है जो बर्नौली समीकरण से कटौती का उपयोग करते हैं:
- चिमनी और हुड। समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि द्रव पदार्थ की गति जितनी अधिक होगी, उसका दबाव उतना ही कम होगा। चिमनी के शीर्ष पर हवा की गति उसके आधार की तुलना में अधिक होती है, इसलिए दबाव के अंतर के कारण धुएं का प्रवाह हमेशा ऊपर की ओर जाता है।
- पानी के पाइप। समीकरण यह समझने में मदद करता है कि पाइप में पानी का दबाव कैसे बदलेगा यदि बाद के व्यास को बदल दिया जाए।
- हवाई जहाज और फॉर्मूला 1. एक विमान के पंखों का कोण और एक F1 पंख पंख के ऊपर और नीचे हवा के दबाव में अंतर प्रदान करता है, जो क्रमशः लिफ्ट और डाउन बल बनाता है।
द्रव प्रवाह के तरीके
बर्नौली का समीकरण नहीं हैद्रव गति मोड को ध्यान में रखता है, जो दो प्रकार का हो सकता है: लामिना और अशांत। लामिना का प्रवाह एक शांत प्रवाह की विशेषता है, जिसमें द्रव की परतें अपेक्षाकृत चिकनी प्रक्षेपवक्र के साथ चलती हैं और एक दूसरे के साथ मिश्रित नहीं होती हैं। द्रव गति का अशांत मोड प्रत्येक अणु के अराजक आंदोलन की विशेषता है जो प्रवाह बनाता है। अशांत शासन की एक विशेषता एडी की उपस्थिति है।
तरल किस तरह से बहेगा यह कई कारकों पर निर्भर करता है (सिस्टम की विशेषताएं, उदाहरण के लिए, पाइप की आंतरिक सतह पर खुरदरापन की उपस्थिति या अनुपस्थिति, पदार्थ की चिपचिपाहट और इसकी गति आंदोलन)। गति के माने गए तरीकों के बीच संक्रमण का वर्णन रेनॉल्ड्स संख्याओं द्वारा किया गया है।
लामिनार प्रवाह का एक उल्लेखनीय उदाहरण चिकनी रक्त वाहिकाओं के माध्यम से रक्त की धीमी गति है। एक अशांत प्रवाह का एक उदाहरण एक नल से पानी का एक मजबूत दबाव है।
