कई लोगों के लिए, गणितीय विश्लेषण केवल समझ से बाहर होने वाली संख्याओं, चिह्नों और परिभाषाओं का एक समूह है जो वास्तविक जीवन से बहुत दूर हैं। हालाँकि, जिस दुनिया में हम मौजूद हैं, वह संख्यात्मक पैटर्न पर बनी है, जिसकी पहचान न केवल हमारे आसपास की दुनिया के बारे में जानने और इसकी जटिल समस्याओं को हल करने में मदद करती है, बल्कि रोजमर्रा के व्यावहारिक कार्यों को सरल बनाने में भी मदद करती है। एक गणितज्ञ का क्या अर्थ है जब वह कहता है कि एक संख्या अनुक्रम अभिसरण करता है? इस पर और विस्तार से चर्चा की जानी चाहिए।
अतिसूक्ष्म क्या है?
आइए मैत्रियोश्का गुड़िया की कल्पना करें जो एक के अंदर एक फिट बैठती हैं। उनके आकार, संख्याओं के रूप में लिखे जाते हैं, जो सबसे बड़े से शुरू होते हैं और उनमें से सबसे छोटे से समाप्त होते हैं, एक क्रम बनाते हैं। यदि आप ऐसी उज्ज्वल आकृतियों की अनंत संख्या की कल्पना करते हैं, तो परिणामी पंक्ति काल्पनिक रूप से लंबी होगी। यह एक अभिसारी संख्या अनुक्रम है। और यह शून्य हो जाता है, क्योंकि प्रत्येक बाद की घोंसले के शिकार गुड़िया का आकार, भयावह रूप से घट रहा है, धीरे-धीरे कुछ भी नहीं हो जाता है। तो यह आसान हैसमझाया जा सकता है: अतिसूक्ष्म क्या है।
एक ऐसा ही उदाहरण दूरी की ओर जाने वाली सड़क होगी। और प्रेक्षक से दूर जाने वाली कार के दृश्य आयाम, धीरे-धीरे सिकुड़ते हुए, एक बिंदु के समान आकारहीन धब्बे में बदल जाते हैं। इस प्रकार, मशीन, एक वस्तु की तरह, एक अज्ञात दिशा में दूर जाने पर, असीम रूप से छोटी हो जाती है। शब्द के शाब्दिक अर्थ में निर्दिष्ट निकाय के पैरामीटर कभी भी शून्य नहीं होंगे, लेकिन हमेशा अंतिम सीमा में इस मान की ओर रुख करते हैं। इसलिए, यह क्रम फिर से शून्य में परिवर्तित हो जाता है।
बूँद-बूंद सब कुछ गिनें
आइए अब एक सांसारिक स्थिति की कल्पना करें। डॉक्टर ने रोगी को दवा लेने के लिए निर्धारित किया, एक दिन में दस बूंदों से शुरू करके और हर अगले दिन दो जोड़ना। और इसलिए डॉक्टर ने दवा की शीशी की सामग्री, जिसकी मात्रा 190 बूँदें है, समाप्त होने तक जारी रखने का सुझाव दिया। यह पूर्वगामी से इस प्रकार है कि दिन के अनुसार निर्धारित की गई संख्या, निम्नलिखित संख्या श्रृंखला होगी: 10, 12, 14 और इसी तरह।
पूरे पाठ्यक्रम को पूरा करने के लिए समय और अनुक्रम के सदस्यों की संख्या कैसे पता करें? यहाँ, निश्चित रूप से, कोई आदिम तरीके से बूंदों की गिनती कर सकता है। लेकिन पैटर्न को देखते हुए, चरण d=2 के साथ अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र का उपयोग करना बहुत आसान है। और इस विधि का उपयोग करके पता लगाएं कि संख्या श्रृंखला के सदस्यों की संख्या 10 है। इस मामले में, ए10=28. लिंग संख्या दवा लेने के दिनों की संख्या को इंगित करती है, और 28 बूंदों की संख्या से मेल खाती है जो रोगी को चाहिएअंतिम दिन उपयोग करें। क्या यह क्रम अभिसरण करता है? नहीं, क्योंकि इस तथ्य के बावजूद कि यह नीचे से 10 और ऊपर से 28 तक सीमित है, पिछले उदाहरणों के विपरीत, ऐसी संख्या श्रृंखला की कोई सीमा नहीं है।
क्या अंतर है?
आइए अब स्पष्ट करने की कोशिश करते हैं: जब संख्या श्रृंखला एक अभिसरण अनुक्रम बन जाती है। इस तरह की परिभाषा, जैसा कि ऊपर से निष्कर्ष निकाला जा सकता है, सीधे एक सीमित सीमा की अवधारणा से संबंधित है, जिसकी उपस्थिति से मुद्दे का सार पता चलता है। तो पहले दिए गए उदाहरणों में मूलभूत अंतर क्या है? और उनमें से अंतिम में, संख्या 28 को संख्या श्रृंखला X =10 + 2(n-1) की सीमा क्यों नहीं माना जा सकता है?
इस प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए, नीचे दिए गए सूत्र द्वारा दिए गए एक अन्य अनुक्रम पर विचार करें, जहां n प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से संबंधित है।
सदस्यों का यह समुदाय सामान्य भिन्नों का एक समूह है, जिसका अंश 1 है और हर लगातार बढ़ रहा है: 1, ½ …
इसके अलावा, इस श्रृंखला का प्रत्येक प्रतिनिधि संख्या रेखा पर स्थान के संदर्भ में 0 से अधिक तक पहुंचता है और इसका मतलब है कि ऐसा पड़ोस दिखाई देता है जहां अंक शून्य के आसपास होते हैं, जो कि सीमा है। और वे इसके जितने करीब होते हैं, संख्या रेखा पर उनकी एकाग्रता उतनी ही घनी होती जाती है। और उनके बीच की दूरी भयावह रूप से कम हो जाती है, एक असीम में बदल जाती है। यह एक संकेत है कि अनुक्रम परिवर्तित हो रहा है।
समानइस प्रकार, आकृति में दिखाए गए बहु-रंगीन आयत, अंतरिक्ष में दूर जाने पर, दृष्टिगत रूप से अधिक भीड़भाड़ वाले होते हैं, काल्पनिक सीमा में नगण्य में बदल जाते हैं।
अनंत बड़े क्रम
एक अभिसरण अनुक्रम की परिभाषा का विश्लेषण करने के बाद, आइए प्रति-उदाहरणों पर चलते हैं। उनमें से कई प्राचीन काल से मनुष्य के लिए जाने जाते हैं। अपसारी अनुक्रमों का सबसे सरल रूप प्राकृतिक और सम संख्याओं की श्रृंखला है। उन्हें एक अलग तरीके से असीम रूप से बड़ा कहा जाता है, क्योंकि उनके सदस्य, लगातार बढ़ रहे हैं, तेजी से सकारात्मक अनंत की ओर बढ़ रहे हैं।
इसका एक उदाहरण अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति में से कोई भी हो सकता है, जिसमें क्रमशः चरण और हर, शून्य से अधिक हो। इसके अलावा, संख्यात्मक श्रृंखला को भिन्न अनुक्रम माना जाता है, जिसकी कोई सीमा नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक्स =(-2) -1.
फाइबोनैचि अनुक्रम
मानवता के लिए पहले बताई गई संख्या श्रृंखला के व्यावहारिक लाभ निर्विवाद हैं। लेकिन अनगिनत अन्य महान उदाहरण हैं। उनमें से एक फाइबोनैचि अनुक्रम है। इसके प्रत्येक सदस्य, जो एक से शुरू होते हैं, पिछले वाले का योग है। इसके पहले दो प्रतिनिधि 1 और 1 हैं। तीसरा 1+1=2, चौथा 1+2=3, पांचवां 2+3=5। इसके अलावा, उसी तर्क के अनुसार, संख्याएँ 8, 13, 21 इत्यादि का अनुसरण करती हैं।
संख्याओं की यह श्रंखला अनिश्चित काल के लिए बढ़ती है और इसमें कोई संख्या नहीं होती हैअंतिम सीमा। लेकिन इसकी एक और अद्भुत संपत्ति है। प्रत्येक पिछली संख्या का अगली संख्या से अनुपात 0.618 के मूल्य के करीब और करीब होता जा रहा है। यहां आप एक अभिसरण और भिन्न अनुक्रम के बीच के अंतर को समझ सकते हैं, क्योंकि यदि आप प्राप्त आंशिक विभाजनों की एक श्रृंखला बनाते हैं, तो संकेतित संख्यात्मक प्रणाली होगी 0.618 के बराबर एक परिमित सीमा है।
फाइबोनैचि अनुपात का अनुक्रम
उपरोक्त संकेतित संख्या श्रृंखला बाजारों के तकनीकी विश्लेषण के लिए व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। लेकिन यह उसकी क्षमताओं तक सीमित नहीं है, जिसे मिस्र और यूनानी जानते थे और प्राचीन काल में व्यवहार में लाने में सक्षम थे। यह उनके द्वारा बनाए गए पिरामिडों और पार्थेनन से सिद्ध होता है। आखिरकार, संख्या 0.618 सुनहरे खंड का एक निरंतर गुणांक है, जिसे पुराने दिनों में जाना जाता था। इस नियम के अनुसार, किसी भी मनमाने खंड को विभाजित किया जा सकता है ताकि उसके भागों के बीच का अनुपात सबसे बड़े खंडों और कुल लंबाई के अनुपात के साथ मेल खा सके।
आइए संकेतित संबंधों की एक श्रृंखला बनाते हैं और इस क्रम का विश्लेषण करने का प्रयास करते हैं। संख्या श्रृंखला इस प्रकार होगी: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 और इसी तरह। इस तरह जारी रखते हुए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि अभिसरण अनुक्रम की सीमा वास्तव में 0.618 होगी। हालांकि, इस नियमितता के अन्य गुणों पर ध्यान देना आवश्यक है। यहाँ संख्याएँ बेतरतीब ढंग से जाती हुई प्रतीत होती हैं, और आरोही या अवरोही क्रम में बिल्कुल नहीं। इसका मतलब है कि यह अभिसरण अनुक्रम एकरस नहीं है। ऐसा क्यों है इस पर आगे चर्चा की जाएगी।
एकरसता और सीमा
संख्या श्रृंखला के सदस्य बढ़ती संख्या के साथ स्पष्ट रूप से घट सकते हैं (यदि x1>x2>x3 >…>x >…) या बढ़ रहा है (यदि x1<x2<x 3<…<x <…). इस मामले में, अनुक्रम को सख्ती से मोनोटोनिक कहा जाता है। अन्य पैटर्न भी देखे जा सकते हैं, जहां संख्यात्मक श्रृंखला गैर-घटती और गैर-बढ़ती होगी (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… या x1≦x2≦x 3 …≦x ≦…), तो क्रमिक अभिसरण भी एकरस है, केवल सख्त अर्थों में नहीं। इनमें से पहले विकल्प का एक अच्छा उदाहरण निम्न सूत्र द्वारा दी गई संख्या श्रृंखला है।
इस श्रृंखला की संख्याओं को चित्रित करने के बाद, आप देख सकते हैं कि इसका कोई भी सदस्य, अनिश्चित काल के लिए 1 के करीब पहुंच रहा है, इस मूल्य से अधिक कभी नहीं होगा। इस मामले में, अभिसरण अनुक्रम को बाध्य कहा जाता है। ऐसा तब होता है जब कोई ऐसी धनात्मक संख्या M होती है, जो हमेशा श्रृंखला मॉड्यूल के किसी भी पद से बड़ी होती है। यदि एक संख्या श्रृंखला में एकरसता के संकेत हैं और इसकी एक सीमा है, और इसलिए अभिसरण होता है, तो यह आवश्यक रूप से ऐसी संपत्ति से संपन्न होता है। और इसके विपरीत सच होना जरूरी नहीं है। यह एक अभिसरण अनुक्रम के लिए बाउंडेडनेस प्रमेय द्वारा प्रमाणित है।
ऐसी टिप्पणियों को व्यवहार में लागू करना बहुत उपयोगी है। आइए अनुक्रम X =. के गुणों की जांच करके एक विशिष्ट उदाहरण देंn/n+1, और इसके अभिसरण को सिद्ध करें। यह दिखाना आसान है कि यह एक स्वर है, क्योंकि (x +1 – x) एक धनात्मक संख्या है किसी भी n मानों के लिए। अनुक्रम की सीमा संख्या 1 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त प्रमेय की सभी शर्तें, जिन्हें वीयरस्ट्रैस प्रमेय भी कहा जाता है, संतुष्ट हैं। अभिसारी अनुक्रम की सीमा पर प्रमेय में कहा गया है कि यदि इसकी एक सीमा है, तो किसी भी स्थिति में यह परिबद्ध हो जाती है। हालांकि, आइए निम्नलिखित उदाहरण लेते हैं। संख्या श्रंखला X =(-1) नीचे से -1 और ऊपर से 1 से परिबद्ध है। लेकिन यह क्रम मोनोटोनिक नहीं है, नहीं है सीमा, और इसलिए अभिसरण नहीं करता है। अर्थात्, एक सीमा और अभिसरण का अस्तित्व हमेशा सीमा से नहीं होता है। इसके लिए काम करने के लिए, निचली और ऊपरी सीमाओं का मिलान होना चाहिए, जैसा कि फाइबोनैचि अनुपात के मामले में होता है।
ब्रह्मांड की संख्या और नियम
एक अभिसरण और भिन्न अनुक्रम के सबसे सरल रूप शायद संख्यात्मक श्रृंखला X =n और X =1/n हैं। उनमें से पहला संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यह असीम रूप से बड़ा है। दूसरा अभिसरण अनुक्रम परिबद्ध है, और इसकी शर्तें परिमाण में अपरिमित के करीब हैं। इनमें से प्रत्येक सूत्र बहुआयामी ब्रह्मांड के पक्षों में से एक को व्यक्त करता है, जिससे किसी व्यक्ति को संख्याओं और संकेतों की भाषा में कुछ अज्ञात, दुर्गम, सीमित धारणा की कल्पना और गणना करने में मदद मिलती है।
ब्रह्मांड के नियम नगण्य से लेकर अविश्वसनीय रूप से बड़े तक, 0.618 के स्वर्णिम अनुपात को भी व्यक्त करते हैं।वे मानते हैं कि यह चीजों के सार का आधार है और प्रकृति द्वारा इसके भागों को बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। फाइबोनैचि श्रृंखला के अगले और पिछले सदस्यों के बीच संबंध, जिनका हम पहले ही उल्लेख कर चुके हैं, इस अनूठी श्रृंखला के अद्भुत गुणों के प्रदर्शन को पूरा नहीं करते हैं। यदि हम पिछले पद को अगले एक से एक से विभाजित करने के भागफल पर विचार करें, तो हमें 0.5 की एक श्रृंखला प्राप्त होती है; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 और इसी तरह। यह दिलचस्प है कि यह सीमित अनुक्रम अभिसरण करता है, यह नीरस नहीं है, लेकिन एक निश्चित सदस्य से चरम पड़ोसी संख्याओं का अनुपात हमेशा लगभग 0.382 के बराबर होता है, जिसका उपयोग वास्तुकला, तकनीकी विश्लेषण और अन्य उद्योगों में भी किया जा सकता है।
फाइबोनैचि श्रृंखला के अन्य दिलचस्प गुणांक हैं, वे सभी प्रकृति में एक विशेष भूमिका निभाते हैं, और मनुष्य द्वारा व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए भी उपयोग किया जाता है। गणितज्ञों को यकीन है कि ब्रह्मांड एक निश्चित "सुनहरे सर्पिल" के अनुसार विकसित होता है, जो संकेतित गुणांक से बनता है। उनकी मदद से, पृथ्वी और अंतरिक्ष में होने वाली कई घटनाओं की गणना करना संभव है, जिसमें कुछ जीवाणुओं की संख्या में वृद्धि से लेकर दूर के धूमकेतुओं की गति तक शामिल हैं। जैसा कि यह पता चला है, डीएनए कोड समान कानूनों का पालन करता है।
ज्यामितीय प्रगति में गिरावट
एक प्रमेय है जो अभिसारी अनुक्रम की सीमा की विशिष्टता का दावा करता है। इसका अर्थ है कि इसकी दो या अधिक सीमाएँ नहीं हो सकती हैं, जो निस्संदेह इसकी गणितीय विशेषताओं को खोजने के लिए महत्वपूर्ण है।
आइए कुछ नजर डालते हैंमामले शून्य चरण वाले मामले को छोड़कर, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों से बनी कोई भी संख्यात्मक श्रृंखला भिन्न होती है। यह एक ज्यामितीय प्रगति पर लागू होता है, जिसका हर 1 से अधिक है। ऐसी संख्यात्मक श्रृंखला की सीमाएं अनंत के "प्लस" या "माइनस" हैं। यदि हर -1 से कम है, तो कोई सीमा नहीं है। अन्य विकल्प संभव हैं।
सूत्र X =(1/4) -1 द्वारा दी गई संख्या श्रृंखला पर विचार करें. पहली नज़र में, यह देखना आसान है कि यह अभिसरण अनुक्रम बाध्य है क्योंकि यह सख्ती से घट रहा है और किसी भी तरह से नकारात्मक मान लेने में सक्षम नहीं है।
आइए इसके कई सदस्यों को एक पंक्ति में लिखते हैं।
यह निकलेगा: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 और इसी तरह। यह समझने के लिए काफी सरल गणनाएं पर्याप्त हैं कि यह ज्यामितीय प्रगति कितनी जल्दी हर 0<q<1 से घटती है। जबकि पदों का हर अनिश्चित काल तक बढ़ता है, वे स्वयं अपरिमित हो जाते हैं। इसका अर्थ है कि संख्या श्रृंखला की सीमा 0 है। यह उदाहरण एक बार फिर अभिसारी अनुक्रम की सीमित प्रकृति को प्रदर्शित करता है।
मौलिक अनुक्रम
फ्रांसीसी वैज्ञानिक ऑगस्टिन लुइस कॉची ने गणितीय विश्लेषण से संबंधित कई कार्यों का दुनिया के सामने खुलासा किया। उन्होंने अंतर, अभिन्न, सीमा और निरंतरता जैसी अवधारणाओं की परिभाषा दी। उन्होंने अभिसरण अनुक्रमों के मूल गुणों का भी अध्ययन किया। उनके विचारों के सार को समझने के लिए,कुछ महत्वपूर्ण विवरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है।
लेख की शुरुआत में, यह दिखाया गया था कि ऐसे अनुक्रम हैं जिनके लिए एक पड़ोस है जहां वास्तविक रेखा पर एक निश्चित श्रृंखला के सदस्यों का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु क्लस्टर होने लगते हैं, अधिक से अधिक लाइनिंग करते हैं घना। उसी समय, उनके बीच की दूरी कम हो जाती है क्योंकि अगले प्रतिनिधि की संख्या बढ़ती है, असीम रूप से छोटे में बदल जाती है। इस प्रकार, यह पता चला है कि किसी दिए गए पड़ोस में दी गई श्रृंखला के प्रतिनिधियों की एक अनंत संख्या को समूहीकृत किया जाता है, जबकि इसके बाहर उनकी सीमित संख्या होती है। ऐसे अनुक्रमों को मौलिक कहा जाता है।
फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा बनाया गया प्रसिद्ध कॉची मानदंड स्पष्ट रूप से इंगित करता है कि इस तरह की संपत्ति की उपस्थिति यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि अनुक्रम अभिसरण करता है। उलटा भी सच है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि फ्रांसीसी गणितज्ञ का यह निष्कर्ष ज्यादातर विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक हित का है। व्यवहार में इसका अनुप्रयोग एक जटिल मामला माना जाता है, इसलिए, श्रृंखला के अभिसरण को स्पष्ट करने के लिए, अनुक्रम के लिए एक सीमित सीमा के अस्तित्व को साबित करना अधिक महत्वपूर्ण है। अन्यथा, इसे भिन्न माना जाता है।
समस्याओं को हल करते समय, अभिसरण अनुक्रमों के मूल गुणों को भी ध्यान में रखना चाहिए। वे नीचे दिखाए गए हैं।
अनंत राशि
पुरातन काल के ऐसे प्रसिद्ध वैज्ञानिकों जैसे आर्किमिडीज, यूक्लिड, यूडोक्सस ने वक्रों की लंबाई, पिंडों के आयतन की गणना के लिए अनंत संख्या श्रृंखला के योगों का उपयोग कियाऔर आंकड़ों के क्षेत्र। विशेष रूप से, इस तरह से परवलयिक खंड के क्षेत्र का पता लगाना संभव था। इसके लिए, q=1/4 के साथ एक ज्यामितीय प्रगति की संख्यात्मक श्रृंखला के योग का उपयोग किया गया था। अन्य मनमाना आकृतियों के आयतन और क्षेत्रफल इसी प्रकार पाए गए। इस विकल्प को "थकावट" विधि कहा जाता था। विचार यह था कि अध्ययन किया गया शरीर, आकार में जटिल, भागों में टूट गया था, जो आसानी से मापे गए मापदंडों के साथ आंकड़े थे। इस कारण से, उनके क्षेत्रों और मात्राओं की गणना करना मुश्किल नहीं था, और फिर उन्होंने जोड़ा।
वैसे, इसी तरह के कार्य आधुनिक स्कूली बच्चों से बहुत परिचित हैं और USE कार्यों में पाए जाते हैं। दूर के पूर्वजों द्वारा खोजी गई अनूठी विधि, अब तक का सबसे सरल उपाय है। यहां तक कि अगर केवल दो या तीन भाग हैं जिनमें संख्यात्मक आंकड़े विभाजित हैं, उनके क्षेत्रों का योग अभी भी संख्या श्रृंखला का योग है।
प्राचीन यूनानी वैज्ञानिकों की तुलना में बहुत बाद में लाइबनिज और न्यूटन ने अपने बुद्धिमान पूर्ववर्तियों के अनुभव के आधार पर अभिन्न गणना के पैटर्न सीखे। अनुक्रमों के गुणों के ज्ञान ने उन्हें विभेदक और बीजीय समीकरणों को हल करने में मदद की। वर्तमान में, कई पीढ़ियों के प्रतिभाशाली वैज्ञानिकों के प्रयासों से बनाई गई श्रृंखला का सिद्धांत, बड़ी संख्या में गणितीय और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने का मौका देता है। और संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन इसकी स्थापना के बाद से गणितीय विश्लेषण द्वारा हल की जाने वाली मुख्य समस्या रही है।
