स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम को दो बड़े वर्गों में विभाजित किया गया है: योजनामिति और ठोस ज्यामिति। स्टीरियोमेट्री स्थानिक आंकड़ों और उनकी विशेषताओं का अध्ययन करती है। इस लेख में, हम देखेंगे कि एक सीधा प्रिज्म क्या है और इसके गुणों का वर्णन करने वाले सूत्र देंगे जैसे कि विकर्ण लंबाई, आयतन और सतह क्षेत्र।
प्रिज्म क्या है?
जब स्कूली बच्चों से प्रिज्म की परिभाषा के बारे में पूछा जाता है, तो वे जवाब देते हैं कि यह आकृति दो समान समानांतर बहुभुज हैं, जिनकी भुजाएँ समांतर चतुर्भुज द्वारा जुड़ी हुई हैं। यह परिभाषा यथासंभव सामान्य है, क्योंकि यह बहुभुजों के आकार पर, समानांतर विमानों में उनकी पारस्परिक व्यवस्था पर शर्तों को लागू नहीं करती है। इसके अलावा, इसका तात्पर्य समांतर चतुर्भुजों को जोड़ने की उपस्थिति से है, जिसके वर्ग में एक वर्ग, एक समचतुर्भुज और एक आयत भी शामिल है। नीचे आप देख सकते हैं कि चतुष्कोणीय प्रिज्म क्या होता है।
हम देखते हैं कि एक प्रिज्म एक बहुफलक (बहुफलक) होता है जिसमें n + 2 होता हैभुजाएँ, 2 × n शीर्ष और 3 × n किनारे, जहाँ n किसी एक बहुभुज की भुजाओं (शीर्षों) की संख्या है।
दोनों बहुभुजों को आमतौर पर आकृति का आधार कहा जाता है, अन्य फलक प्रिज्म की भुजाएं हैं।
सीधे प्रिज्म की अवधारणा
प्रिज्म विभिन्न प्रकार के होते हैं। इसलिए, वे नियमित और अनियमित आकृतियों के बारे में बात करते हैं, त्रिकोणीय, पंचकोणीय और अन्य प्रिज्मों के बारे में, उत्तल और अवतल आकृतियाँ हैं, और अंत में, वे झुकी हुई और सीधी हैं। आइए बाद के बारे में अधिक विस्तार से बात करते हैं।
एक समकोण बहुफलक के अध्ययनित वर्ग की एक ऐसी आकृति है, जिसके सभी भुजाओं के चतुर्भुज समकोण होते हैं। ऐसे चतुर्भुज केवल दो प्रकार के होते हैं - एक आयत और एक वर्ग।
आकृति के विचारित रूप का एक महत्वपूर्ण गुण है: एक सीधे प्रिज्म की ऊंचाई उसके पार्श्व किनारे की लंबाई के बराबर होती है। ध्यान दें कि आकृति के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं। जहां तक पार्श्व चेहरों का संबंध है, सामान्य स्थिति में वे एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। उनकी समानता तभी संभव है, जब प्रिज्म के सीधे होने के साथ-साथ सही भी हो।
नीचे दी गई आकृति एक पंचकोणीय आधार के साथ एक सीधी आकृति दिखाती है। यह देखा जा सकता है कि इसके सभी पार्श्व फलक आयत हैं।
प्रिज्म के विकर्ण और उसके रैखिक पैरामीटर
किसी भी प्रिज्म की मुख्य रैखिक विशेषताएँ उसकी ऊँचाई h और उसके आधार की भुजाओं की लंबाई ai, जहाँ i=1,…, n है। यदि आधार एक नियमित बहुभुज है, तो इसके गुणों का वर्णन करने के लिए एक भुजा की लंबाई जानना पर्याप्त है। चिह्नित रैखिक मापदंडों को जानना हमें स्पष्ट रूप से अनुमति देता हैकिसी आकृति के ऐसे गुणों को उसके आयतन या सतह के रूप में परिभाषित करें।
सीधे प्रिज्म के विकर्ण ऐसे खंड होते हैं जो किन्हीं दो गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ते हैं। ऐसे विकर्ण तीन प्रकार के हो सकते हैं:
- आधार विमानों में झूठ बोलना;
- साइड आयतों के तल में स्थित;
- मात्रा से संबंधित आंकड़े।
आधार से संबंधित उन विकर्णों की लंबाई n-gon के प्रकार के आधार पर निर्धारित की जानी चाहिए।
साइड आयतों के विकर्णों की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
d1i=(ai2+ h2).
आयतन के विकर्णों को निर्धारित करने के लिए, आपको संबंधित आधार विकर्ण और ऊंचाई की लंबाई का मान जानना होगा। यदि आधार के कुछ विकर्ण को अक्षर d0i द्वारा दर्शाया जाता है, तो आयतन विकर्ण d2i की गणना इस प्रकार की जाती है:
डी2i=√(डी0i2+ एच2).
उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के मामले में, आयतन के विकर्ण की लंबाई होगी:
d2=(2 × a2+ h2)।
ध्यान दें कि एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म में तीन नामित प्रकार के विकर्णों में से केवल एक होता है: पार्श्व विकर्ण।
शिक्षित वर्ग की आकृतियों की सतह
पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी आकृति के सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। सभी चेहरों की कल्पना करने के लिए, आपको प्रिज्म का स्कैन करना चाहिए। एक उदाहरण के रूप में, एक पंचकोणीय आकृति के लिए ऐसा स्वीप नीचे दिखाया गया है।
हम देखते हैं कि समतल आकृतियों की संख्या n + 2 है, और n आयत हैं। पूरे स्वीप के क्षेत्र की गणना करने के लिए, दो समान आधारों के क्षेत्रों और सभी आयतों के क्षेत्रों को जोड़ें। तब संबंधित सूत्र इस तरह दिखेगा:
S=2 × So+ h × i=1n (एमैं).
यह समानता दर्शाती है कि अध्ययन किए गए प्रकार के प्रिज्मों के लिए पार्श्व सतह क्षेत्र आकृति की ऊंचाई और उसके आधार की परिधि के गुणनफल के बराबर है।
So के आधार क्षेत्र की गणना उपयुक्त ज्यामितीय सूत्र को लागू करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि एक समकोण प्रिज्म का आधार एक समकोण त्रिभुज है, तो हमें प्राप्त होता है:
एसओ=ए1 × ए2 / 2.
जहाँ a1 और a2 त्रिभुज के पैर हैं।
यदि आधार समान कोणों और भुजाओं वाला n-gon है, तो निम्न सूत्र उचित होगा:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2।
वॉल्यूम फॉर्मूला
किसी भी प्रकार के प्रिज्म का आयतन ज्ञात करना कोई कठिन कार्य नहीं है यदि उसका आधार क्षेत्र So और ऊँचाई h ज्ञात हो। इन मानों को एक साथ गुणा करने पर, हमें आकृति का आयतन V प्राप्त होता है, जो है:
वी=एसओ × एच।
चूंकि एक सीधे प्रिज्म का पैरामीटर एच पार्श्व किनारे की लंबाई के बराबर है, इसलिए वॉल्यूम की गणना करने की पूरी समस्या क्षेत्र So की गणना करने के लिए नीचे आती है। ऊपर हमपहले ही कुछ शब्द कह चुके हैं और So निर्धारित करने के लिए कुछ सूत्र दिए हैं। यहां हम केवल ध्यान दें कि एक मनमाना आकार के आधार के मामले में, आपको इसे सरल खंडों (त्रिकोण, आयत) में तोड़ना चाहिए, प्रत्येक के क्षेत्र की गणना करनी चाहिए, और फिर S प्राप्त करने के लिए सभी क्षेत्रों को जोड़ना चाहिए। ओ.
