अंतरिक्ष में ज्यामितीय आंकड़े स्टीरियोमेट्री के अध्ययन की वस्तु हैं, जिसका पाठ्यक्रम स्कूली बच्चों द्वारा हाई स्कूल में पारित किया जाता है। यह लेख प्रिज्म के रूप में इस तरह के एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन को समर्पित है। आइए हम प्रिज्म के गुणों पर अधिक विस्तार से विचार करें और उन्हें मात्रात्मक रूप से वर्णित करने के लिए सूत्र दें।
प्रिज्म क्या है?
हर कोई सोचता है कि बॉक्स या क्यूब कैसा दिखता है। दोनों आकृतियाँ प्रिज्म हैं। हालाँकि, प्रिज्म का वर्ग बहुत अधिक विविध है। ज्यामिति में, इस आकृति को निम्नलिखित परिभाषा दी गई है: एक प्रिज्म अंतरिक्ष में कोई भी बहुफलक है, जो दो समानांतर और समान बहुभुज पक्षों और कई समांतर चतुर्भुजों द्वारा बनता है। किसी आकृति के समांतर समांतर फलकों को उसका आधार (ऊपरी और निचला) कहा जाता है। समांतर चतुर्भुज आकृति के पार्श्व फलक होते हैं, जो आधार की भुजाओं को एक दूसरे से जोड़ते हैं।
यदि आधार को एन-गॉन द्वारा दर्शाया जाता है, जहां n एक पूर्णांक है, तो आकृति में 2+n फलक, 2n शीर्ष और 3n किनारे होंगे। चेहरे और किनारों का उल्लेख हैदो प्रकारों में से एक: या तो वे पार्श्व सतह से संबंधित हैं, या आधारों से संबंधित हैं। जहां तक शीर्षों का संबंध है, वे सभी समान हैं और प्रिज्म के आधारों से संबंधित हैं।
अध्ययनाधीन कक्षा के आंकड़ों के प्रकार
प्रिज्म के गुणों का अध्ययन करते हुए, आपको इस आकृति के संभावित प्रकारों की सूची बनानी चाहिए:
- उत्तल और अवतल। उनके बीच का अंतर बहुभुज आधार के आकार में निहित है। यदि यह अवतल है, तो यह त्रि-आयामी आकृति भी होगी, और इसके विपरीत।
- सीधे और तिरछे। एक सीधे प्रिज्म के लिए, पार्श्व फलक या तो आयत या वर्ग होते हैं। एक तिरछी आकृति में, पार्श्व फलक एक सामान्य प्रकार या समचतुर्भुज के समांतर चतुर्भुज होते हैं।
- गलत और सही। आकृति का अध्ययन करने के लिए सही होने के लिए, यह सीधा होना चाहिए और सही आधार होना चाहिए। उत्तरार्द्ध का एक उदाहरण एक समबाहु त्रिभुज या एक वर्ग जैसे समतल आंकड़े हैं।
प्रिज्म का नाम सूचीबद्ध वर्गीकरण को ध्यान में रखकर बनाया गया है। उदाहरण के लिए, ऊपर उल्लिखित समकोण समांतर चतुर्भुज या घन को नियमित चतुर्भुज प्रिज्म कहा जाता है। नियमित प्रिज्म, उनकी उच्च समरूपता के कारण, अध्ययन के लिए सुविधाजनक होते हैं। उनके गुण विशिष्ट गणितीय सूत्रों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।
प्रिज्म क्षेत्र
किसी प्रिज्म के ऐसे गुण को अपना क्षेत्रफल मानने पर उनका अर्थ उसके सभी फलकों का कुल क्षेत्रफल होता है। इस मूल्य की कल्पना करना सबसे आसान है यदि आप आकृति को प्रकट करते हैं, अर्थात सभी चेहरों को एक विमान में विस्तारित करें। नीचेयह आंकड़ा दो प्रिज्मों के झाडू का उदाहरण दिखाता है।
मनमाने प्रिज्म के लिए सामान्य रूप में इसके झाडू के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:
S=2So+ bPsr।
आइए नोटेशन की व्याख्या करते हैं। मान So एक आधार का क्षेत्रफल है, b किनारे के किनारे की लंबाई है, Psr कट परिधि है, जो आकृति के पार्श्व समांतर चतुर्भुज के लंबवत है।
लिखित सूत्र का प्रयोग प्रायः झुकाव वाले प्रिज्मों के क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। एक नियमित प्रिज्म के मामले में, S के लिए व्यंजक एक विशिष्ट रूप लेगा:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
व्यंजक में पहला पद एक नियमित प्रिज्म के दो आधारों के क्षेत्रफल को दर्शाता है, दूसरा पद पार्श्व आयतों का क्षेत्रफल है। यहाँ a नियमित n-gon की भुजा की लंबाई है। ध्यान दें कि एक नियमित प्रिज्म के लिए किनारे के किनारे की लंबाई भी इसकी ऊंचाई h है, इसलिए सूत्र में b को h से बदला जा सकता है।
आकृति के आयतन की गणना कैसे करें?
प्रिज्म उच्च समरूपता वाला अपेक्षाकृत सरल बहुफलक है। इसलिए, इसकी मात्रा निर्धारित करने के लिए, एक बहुत ही सरल सूत्र है। यह इस तरह दिखता है:
वी=एसओएच.
तिरछी अनियमित आकृति को देखते हुए आधार क्षेत्र और ऊंचाई की गणना करना मुश्किल हो सकता है। इस समस्या को अनुक्रमिक ज्यामितीय विश्लेषण का उपयोग करके हल किया जाता है जिसमें पार्श्व समांतर चतुर्भुज और आधार के बीच के डायहेड्रल कोणों के बारे में जानकारी शामिल होती है।
प्रिज्म सही है तोवी के लिए सूत्र काफी ठोस हो जाता है:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक नियमित प्रिज्म के लिए क्षेत्र एस और वॉल्यूम वी विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है यदि इसके दो रैखिक पैरामीटर ज्ञात हैं।
त्रिकोणीय नियमित प्रिज्म
आइए एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के गुणों पर विचार करके लेख को समाप्त करते हैं। यह पाँच फलकों से बनता है, जिनमें से तीन आयत (वर्ग) हैं, और दो समबाहु त्रिभुज हैं। एक प्रिज्म में छह शीर्ष और नौ किनारे होते हैं। इस प्रिज्म के लिए आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र नीचे लिखे गए हैं:
एस3=3/2a2+ 3ha
वी3=3/4a2h.
इन गुणों के अलावा, आकृति के आधार के एपोथेम के लिए एक सूत्र देना भी उपयोगी है, जो एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ha है:
जए=3/2ए.
प्रिज्म की भुजाएँ समरूप आयत हैं। उनके विकर्णों की लंबाई d हैं:
d=√(a2+ h2)।
त्रिकोणीय प्रिज्म के ज्यामितीय गुणों का ज्ञान न केवल सैद्धांतिक बल्कि व्यावहारिक रुचि का भी है। तथ्य यह है कि ऑप्टिकल ग्लास से बनी इस आकृति का उपयोग पिंडों के विकिरण स्पेक्ट्रम का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
कांच के प्रिज्म से गुजरते हुए, फैलाव घटना के परिणामस्वरूप प्रकाश कई घटक रंगों में विघटित हो जाता है, जो विद्युत चुम्बकीय प्रवाह की वर्णक्रमीय संरचना का अध्ययन करने के लिए स्थितियां बनाता है।
