प्रत्यक्ष त्रिकोणीय प्रिज्म। आयतन और सतह क्षेत्र के लिए सूत्र। एक ज्यामितीय समस्या का समाधान

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

हाई स्कूल में, समतल पर आकृतियों के गुणों का अध्ययन करने के बाद, वे प्रिज्म, गोले, पिरामिड, सिलेंडर और शंकु जैसी स्थानिक ज्यामितीय वस्तुओं पर विचार करते हैं। इस लेख में, हम एक सीधे त्रिकोणीय प्रिज्म का सबसे पूर्ण विवरण देंगे।

त्रिकोणीय प्रिज्म क्या है?

आइए लेख की शुरुआत आकृति की परिभाषा से करते हैं, जिस पर आगे चर्चा की जाएगी। ज्यामिति के दृष्टिकोण से एक प्रिज्म समानांतर विमानों में स्थित दो समान n-gons द्वारा गठित अंतरिक्ष में एक आकृति है, जिसके समान कोण सीधी रेखा खंडों से जुड़े होते हैं। इन खंडों को पार्श्व पसली कहा जाता है। आधार के पक्षों के साथ, वे एक पार्श्व सतह बनाते हैं, जिसे आम तौर पर समांतर चतुर्भुज द्वारा दर्शाया जाता है।

दो n-gons आकृति के आधार हैं। यदि पार्श्व किनारे उनके लंबवत हैं, तो वे एक सीधे प्रिज्म की बात करते हैं। तदनुसार, यदि आधारों पर बहुभुज की n भुजाओं की संख्या तीन है, तो ऐसी आकृति त्रिभुजाकार प्रिज्म कहलाती है।

त्रिकोणीय सीधा प्रिज्म ऊपर चित्र में दिखाया गया है। इस आकृति को नियमित भी कहा जाता है, क्योंकि इसके आधार समबाहु त्रिभुज हैं। आकृति में h अक्षर द्वारा दर्शाई गई आकृति के पार्श्व किनारे की लंबाई इसकी ऊंचाई कहलाती है।

आकृति दर्शाती है कि त्रिकोणीय आधार वाला एक प्रिज्म पांच फलकों से बनता है, जिनमें से दो समबाहु त्रिभुज हैं, और तीन समरूप आयत हैं। फलकों के अलावा, प्रिज्म के आधारों पर छह शीर्ष और नौ किनारे होते हैं। यूलर प्रमेय द्वारा माने गए तत्वों की संख्या एक दूसरे से संबंधित हैं:

किनारों की संख्या=शीर्षों की संख्या + भुजाओं की संख्या - 2.

एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म का क्षेत्रफल

हमें ऊपर पता चला कि विचाराधीन आकृति दो प्रकार के पांच फलकों (दो त्रिभुज, तीन आयत) से बनी है। ये सभी फलक प्रिज्म की पूर्ण सतह का निर्माण करते हैं। इनका कुल क्षेत्रफल आकृति का क्षेत्रफल है। नीचे एक त्रिभुजाकार प्रिज्म खुला है, जिसे पहले आकृति से दो आधारों को काटकर, और फिर एक किनारे को काटकर और पार्श्व सतह को खोलकर प्राप्त किया जा सकता है।

आइए इस झाडू का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र देते हैं। आइए एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधारों से प्रारंभ करें। चूँकि वे त्रिभुजों को निरूपित करते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल S_{3 निम्नानुसार पाया जा सकता है:}

एस₃=1/2एएच_ए।

यहाँ a त्रिभुज की भुजा है, h_{a त्रिभुज के शीर्ष से इस भुजा तक की ऊँचाई है।}

यदि त्रिभुज समबाहु (नियमित) है, तो S_{3 का सूत्र केवल एक पैरामीटर a पर निर्भर करता है। ऐसा लगता है:}

एस₃=√3/4a^2.

यह व्यंजक खंड a, a/2, h_{a से बने एक समकोण त्रिभुज पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है।}

एक नियमित आकृति के लिए आधार S_o का क्षेत्रफल S_{3: के मान का दोगुना है}

एस_ओ=2एस₃=3/2a^2।

पार्श्व सतह क्षेत्र S_{b के लिए, इसकी गणना करना मुश्किल नहीं है। ऐसा करने के लिए, पक्षों द्वारा गठित एक आयत के क्षेत्र को तीन से गुणा करने के लिए पर्याप्त है ए और एच। संबंधित सूत्र है:}

एस_{बी=3एएच.}

इस प्रकार, एक त्रिभुजाकार आधार वाले एक नियमित प्रिज्म का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

एस=एस_ओ+ एस_बी=3/2a^{2+ 3 एज.}

अगर प्रिज्म सीधा लेकिन अनियमित है, तो उसका क्षेत्रफल निकालने के लिए आपको उन आयतों के क्षेत्रफलों को अलग से जोड़ना चाहिए जो एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।

एक आकृति का आयतन निर्धारित करना

एक प्रिज्म के आयतन को उसकी भुजाओं (चेहरे) द्वारा सीमित स्थान के रूप में समझा जाता है। एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म के आयतन की गणना उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना की तुलना में बहुत आसान है। ऐसा करने के लिए, आधार के क्षेत्र और आकृति की ऊंचाई को जानना पर्याप्त है। चूंकि एक सीधी आकृति की ऊंचाई h उसके पार्श्व किनारे की लंबाई है, और आधार क्षेत्र की गणना कैसे करें, हमने पिछले में दिया हैबिंदु, फिर वांछित मात्रा प्राप्त करने के लिए इन दो मूल्यों को एक दूसरे से गुणा करना बाकी है। इसका सूत्र बन जाता है:

वी=एस_3एच.

ध्यान दें कि एक आधार और ऊंचाई के क्षेत्रफल का गुणनफल न केवल एक सीधे प्रिज्म का आयतन देगा, बल्कि एक तिरछी आकृति और यहां तक कि एक बेलन भी देगा।

समस्या का समाधान

कांच के त्रिकोणीय प्रिज्म का उपयोग प्रकाशिकी में फैलाव की घटना के कारण विद्युत चुम्बकीय विकिरण के स्पेक्ट्रम का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। यह ज्ञात है कि एक नियमित कांच के प्रिज्म के आधार की लंबाई 10 सेमी और किनारे की लंबाई 15 सेमी होती है। इसके कांच के चेहरों का क्षेत्रफल क्या है, और इसमें कितना आयतन होता है?

क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए हम लेख में लिखे सूत्र का प्रयोग करेंगे। हमारे पास है:

एस=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536.6 सेमी^2.

वॉल्यूम V निर्धारित करने के लिए, हम उपरोक्त सूत्र का भी उपयोग करते हैं:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649.5 सेमी}3^।

इस तथ्य के बावजूद कि प्रिज्म के किनारे 10 सेमी और 15 सेमी लंबे हैं, आकृति का आयतन केवल 0.65 लीटर है (10 सेमी की भुजा वाले घन का आयतन 1 लीटर है)।