हर हाई स्कूल का छात्र गेंद, बेलन, शंकु, पिरामिड और प्रिज्म जैसी स्थानिक आकृतियों के बारे में जानता है। इस लेख से आप सीखेंगे कि त्रिकोणीय प्रिज्म क्या है और इसकी विशेषता क्या है।
लेख में हम किस आंकड़े पर विचार करेंगे?
त्रिकोणीय प्रिज्म प्रिज्म के वर्ग का सबसे सरल प्रतिनिधि है, जिसमें किसी भी अन्य समान स्थानिक आकृति की तुलना में कम पक्ष, कोने और किनारे होते हैं। यह प्रिज्म दो त्रिभुजों से बनता है, जिनका एक मनमाना आकार हो सकता है, लेकिन जो आवश्यक रूप से एक दूसरे के बराबर होना चाहिए और अंतरिक्ष में समानांतर विमानों में होना चाहिए, और तीन समांतर चतुर्भुज, जो सामान्य मामले में एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। स्पष्टता के लिए, वर्णित चित्र नीचे दिखाया गया है।
मैं त्रिकोणीय प्रिज्म कैसे प्राप्त कर सकता हूं? यह बहुत आसान है: आपको एक त्रिभुज लेना चाहिए और इसे अंतरिक्ष में किसी सदिश में स्थानांतरित करना चाहिए। फिर दो त्रिभुजों के समान शीर्षों को खंडों से जोड़ दें। तो हमें आकृति का फ्रेम मिलता है। यदि अब हम कल्पना करें कि यह फ्रेम ठोस पक्षों को सीमित करता है, तो हम प्राप्त करते हैंत्रि-आयामी आकृति को दर्शाया गया है।
अध्ययन के तहत प्रिज्म किन तत्वों से मिलकर बनता है?
एक त्रिभुजाकार प्रिज्म एक बहुफलक है, अर्थात यह कई प्रतिच्छेदित फलकों या भुजाओं से बनता है। ऊपर बताया गया था कि इसकी पाँच ऐसी भुजाएँ हैं (दो त्रिभुजाकार और तीन चतुर्भुज)। त्रिकोणीय भुजाओं को आधार कहा जाता है, जबकि समांतर चतुर्भुज पार्श्व फलक होते हैं।
किसी भी बहुफलक की तरह, अध्ययन किए गए प्रिज्म में शीर्ष होते हैं। पिरामिड के विपरीत, किसी भी प्रिज्म के शीर्ष बराबर होते हैं। त्रिकोणीय आकृति में उनमें से छह हैं। ये सभी दोनों आधारों के हैं। दो आधार किनारों और एक तरफ के किनारे प्रत्येक शीर्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं।
यदि हम आकृति की भुजाओं की संख्या में शीर्षों की संख्या जोड़ते हैं, और फिर परिणामी मान से संख्या 2 घटाते हैं, तो हमें इस प्रश्न का उत्तर मिलेगा कि विचाराधीन प्रिज्म के कितने किनारे हैं. उनमें से नौ हैं: छह आधारों को सीमित करते हैं, और शेष तीन समांतर चतुर्भुज को एक दूसरे से अलग करते हैं।
आकृति के प्रकार
पिछले पैराग्राफ में दिए गए त्रिकोणीय प्रिज्म का पर्याप्त रूप से विस्तृत विवरण कई प्रकार के आंकड़ों से मेल खाता है। उनके वर्गीकरण पर विचार करें।
पढ़ा हुआ प्रिज्म झुका और सीधा हो सकता है। उनके बीच का अंतर पार्श्व चेहरों के प्रकार में निहित है। एक सीधे प्रिज्म में वे आयत होते हैं, और एक झुके हुए प्रिज्म में वे सामान्य समांतर चतुर्भुज होते हैं। त्रिकोणीय आधारों वाले दो प्रिज्म नीचे दिखाए गए हैं, एक सीधा और एक तिरछा।
एक झुके हुए प्रिज्म के विपरीत, एक सीधे प्रिज्म में आधारों के बीच सभी डायहेड्रल कोण होते हैं औरभुजाएँ 90° हैं। अंतिम तथ्य का क्या अर्थ है? कि एक त्रिभुजाकार प्रिज्म की ऊँचाई, अर्थात् उसके आधारों के बीच की दूरी, एक सीधी आकृति में, किसी भी पार्श्व किनारे की लंबाई के बराबर होती है। एक तिरछी आकृति के लिए, ऊंचाई हमेशा उसके किसी भी किनारे की लंबाई से कम होती है।
त्रिकोणीय आधार वाला प्रिज्म अनियमित और सही हो सकता है। यदि इसके आधार समान भुजाओं वाले त्रिभुज हों, और आकृति स्वयं सीधी हो, तो इसे नियमित कहा जाता है। एक नियमित प्रिज्म में काफी उच्च समरूपता होती है, जिसमें परावर्तन तल और रोटेशन की कुल्हाड़ियां शामिल होती हैं। एक नियमित प्रिज्म के लिए, इसके आयतन और फलकों के सतह क्षेत्र की गणना के सूत्र नीचे दिए जाएंगे। तो, क्रम में।
त्रिकोणीय प्रिज्म का क्षेत्रफल
संबंधित सूत्र प्राप्त करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, आइए सही प्रिज्म को प्रकट करें।
यह स्पष्ट है कि एक आकृति के क्षेत्रफल की गणना समान आयतों के तीन क्षेत्रों और समान भुजाओं वाले समान त्रिभुजों के दो क्षेत्रों को जोड़कर की जा सकती है। आइए प्रिज्म की ऊंचाई को अक्षर h से और उसके त्रिकोणीय आधार के किनारे को अक्षर a से निरूपित करें। फिर त्रिभुज S3 के क्षेत्रफल के लिए हमारे पास है:
एस3=√3/4ए2
यह व्यंजक त्रिभुज की ऊंचाई को उसके आधार से गुणा करके और फिर परिणाम को 2 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
आयत एस के क्षेत्रफल के लिए4हमें मिलता है:
एस4=एएच
सभी पक्षों के क्षेत्रफलों को जोड़ने पर हमें आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्राप्त होता है:
एस=2एस3+ 3एस4=3/2ए2+ 3एएच
यहां पहला पद आधारों के क्षेत्रफल को दर्शाता है, और दूसरा त्रिभुजाकार प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है।
याद रखें कि यह फॉर्मूला सिर्फ एक रेगुलर फिगर के लिए ही वैलिड होता है। गलत प्रिज्म के मामले में, क्षेत्र की गणना चरणों में की जानी चाहिए: पहले आधारों के क्षेत्र का निर्धारण करें, और फिर - पार्श्व सतह। बाद वाला पार्श्व किनारे के गुणनफल और पार्श्व फलकों के लंबवत कट की परिधि के बराबर होगा।
आकृति का आयतन
एक त्रिकोणीय प्रिज्म के आयतन की गणना इस वर्ग के सभी आंकड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। ऐसा लगता है:
वी=एसओ एच
एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के मामले में, यह सूत्र निम्नलिखित विशिष्ट रूप लेगा:
वी=√3/4ए2 एच
अगर प्रिज्म अनियमित है, लेकिन सीधा है, तो आपको आधार के क्षेत्रफल के स्थान पर त्रिभुज के लिए संबंधित क्षेत्र को स्थानापन्न करना चाहिए। यदि प्रिज्म झुका हुआ है, तो आधार के क्षेत्र को निर्धारित करने के अलावा, इसकी ऊंचाई की गणना भी की जानी चाहिए। एक नियम के रूप में, इसके लिए त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग किया जाता है, यदि पक्षों और आधारों के बीच के डायहेड्रल कोण ज्ञात हों।
