यहां तक कि स्कूल में भी, हम में से प्रत्येक ने समीकरणों का और निश्चित रूप से, समीकरणों के सिस्टम का अध्ययन किया। लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि इसे हल करने के कई तरीके हैं। आज हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए सभी विधियों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, जिसमें दो से अधिक समानताएं शामिल हैं।
इतिहास
आज यह ज्ञात है कि समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने की कला की उत्पत्ति प्राचीन बेबीलोन और मिस्र में हुई थी। हालांकि, समानताएं अपने सामान्य रूप में समान चिह्न "=" की उपस्थिति के बाद दिखाई दीं, जिसे 1556 में अंग्रेजी गणितज्ञ रिकॉर्ड द्वारा पेश किया गया था। वैसे, इस चिन्ह को एक कारण के लिए चुना गया था: इसका अर्थ है दो समानांतर समान खंड। वास्तव में समानता का इससे अच्छा उदाहरण कोई नहीं हो सकता।
अज्ञात और डिग्री के संकेतों के आधुनिक अक्षर पदनामों के संस्थापक फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस वियत हैं। हालाँकि, उनके पद आज के पदनाम से काफी भिन्न थे। उदाहरण के लिए, उन्होंने एक अज्ञात संख्या के वर्ग को अक्षर Q (lat. "quadratus"), और घन को अक्षर C (lat. "क्यूबस") के साथ निरूपित किया। ये पदनाम अब असुविधाजनक लगते हैं, लेकिन तबयह रैखिक बीजीय समीकरणों के सिस्टम लिखने का सबसे समझने योग्य तरीका था।
हालांकि, समाधान के तत्कालीन तरीकों का नुकसान यह था कि गणितज्ञ केवल सकारात्मक जड़ों को ही मानते थे। शायद यह इस तथ्य के कारण है कि नकारात्मक मूल्यों का कोई व्यावहारिक उपयोग नहीं था। एक तरह से या किसी अन्य, यह इतालवी गणितज्ञ निकोलो टार्टाग्लिया, गेरोलामो कार्डानो और राफेल बॉम्बेली थे जो 16 वीं शताब्दी में नकारात्मक जड़ों पर विचार करने वाले पहले व्यक्ति थे। और आधुनिक रूप, द्विघात समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि (विभेदक के माध्यम से) केवल 17 वीं शताब्दी में डेसकार्टेस और न्यूटन के काम की बदौलत बनाई गई थी।
18वीं शताब्दी के मध्य में, स्विस गणितज्ञ गेब्रियल क्रैमर ने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को आसान बनाने के लिए एक नया तरीका खोजा। इस पद्धति का नाम बाद में उनके नाम पर रखा गया और आज तक हम इसका उपयोग करते हैं। लेकिन हम क्रैमर विधि के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे, लेकिन अभी के लिए हम रैखिक समीकरणों और उन्हें सिस्टम से अलग हल करने के तरीकों पर चर्चा करेंगे।
रैखिक समीकरण
रैखिक समीकरण वेरिएबल के साथ सरलतम समानताएं हैं। उन्हें बीजगणितीय के रूप में वर्गीकृत किया गया है। रैखिक समीकरण सामान्य रूप में इस प्रकार लिखे जाते हैं: 2+…a x =b. सिस्टम और मैट्रिसेस को आगे संकलित करते समय हमें इस रूप में उनके प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होगी।
रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय
इस शब्द की परिभाषा यह है: यह समीकरणों का एक समूह है जिसमें सामान्य अज्ञात और एक सामान्य समाधान होता है। एक नियम के रूप में, स्कूल में सब कुछ सिस्टम द्वारा तय किया गया थादो या तीन समीकरणों के साथ। लेकिन चार या अधिक घटकों वाले सिस्टम हैं। आइए पहले समझें कि उन्हें कैसे लिखना है ताकि बाद में उन्हें हल करना सुविधाजनक हो। सबसे पहले, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के सिस्टम बेहतर दिखेंगे यदि सभी चर को उपयुक्त सूचकांक के साथ x के रूप में लिखा जाए: 1, 2, 3, और इसी तरह। दूसरे, सभी समीकरणों को विहित रूप में कम किया जाना चाहिए: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
इन सभी चरणों के बाद, हम इस बारे में बात करना शुरू कर सकते हैं कि रैखिक समीकरणों के सिस्टम का हल कैसे खोजा जाए। इसके लिए मैट्रिसेस बहुत उपयोगी होंगे।
मैट्रिसेस
एक मैट्रिक्स एक तालिका है जिसमें पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं, और इसके तत्व उनके चौराहे पर स्थित होते हैं। ये या तो विशिष्ट मान या चर हो सकते हैं। अक्सर, तत्वों को नामित करने के लिए, सबस्क्रिप्ट उनके नीचे रखे जाते हैं (उदाहरण के लिए, a11 या a23)। पहली अनुक्रमणिका का अर्थ है पंक्ति संख्या और दूसरी एक स्तंभ संख्या। मैट्रिक्स पर, साथ ही किसी अन्य गणितीय तत्व पर, आप विभिन्न ऑपरेशन कर सकते हैं। तो आप कर सकते हैं:
1) समान आकार के टेबल घटाएं और जोड़ें।
2) किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या या वेक्टर से गुणा करें।
3) स्थानान्तरित करें: मैट्रिक्स पंक्तियों को स्तंभों में और स्तंभों को पंक्तियों में बदलें।
4) मैट्रिक्स गुणा करें यदि उनमें से एक की पंक्तियों की संख्या दूसरे के स्तंभों की संख्या के बराबर है।
हम इन सभी तकनीकों पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे, क्योंकि ये भविष्य में हमारे लिए उपयोगी होंगी। मैट्रिक्स को घटाना और जोड़ना बहुत आसान है। इसलिएजैसा कि हम एक ही आकार के मैट्रिक्स लेते हैं, तो एक तालिका का प्रत्येक तत्व दूसरे के प्रत्येक तत्व से मेल खाता है। इस प्रकार, हम इन दो तत्वों को जोड़ते हैं (घटाना) (यह महत्वपूर्ण है कि वे अपने मैट्रिक्स में एक ही स्थान पर हों)। किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या या वेक्टर से गुणा करते समय, आपको बस मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उस संख्या (या वेक्टर) से गुणा करना होगा। स्थानांतरण एक बहुत ही रोचक प्रक्रिया है। कभी-कभी इसे वास्तविक जीवन में देखना बहुत दिलचस्प होता है, उदाहरण के लिए, जब किसी टैबलेट या फोन का ओरिएंटेशन बदलते हैं। डेस्कटॉप पर आइकन एक मैट्रिक्स होते हैं, और जब आप स्थिति बदलते हैं, तो यह स्थानांतरित हो जाता है और चौड़ा हो जाता है, लेकिन ऊंचाई में घट जाती है।
आइए मैट्रिक्स गुणन जैसी प्रक्रिया पर एक और नज़र डालते हैं। हालांकि यह हमारे लिए उपयोगी नहीं होगा, फिर भी इसे जानना उपयोगी होगा। आप दो आव्यूहों को तभी गुणा कर सकते हैं जब एक तालिका में स्तंभों की संख्या दूसरी तालिका में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। अब एक आव्यूह की एक पंक्ति के अवयव और दूसरे के संगत स्तंभ के अवयव लेते हैं। हम उन्हें एक दूसरे से गुणा करते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं (अर्थात, उदाहरण के लिए, तत्वों का गुणन a11 और a12 by b 12और b22 इसके बराबर होंगे: a11b12 + a 12 बी22)। इस प्रकार, तालिका का एक तत्व प्राप्त होता है, और इसे आगे इसी तरह की विधि से भर दिया जाता है।
अब हम यह देखना शुरू कर सकते हैं कि रैखिक समीकरणों के निकाय को कैसे हल किया जाता है।
गॉस विधि
यह विषय स्कूल में भी पास होने लगता है। हम "दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली" की अवधारणा को अच्छी तरह से जानते हैं और उन्हें हल करना जानते हैं।लेकिन क्या होगा यदि समीकरणों की संख्या दो से अधिक हो? गॉस विधि इसमें हमारी सहायता करेगी।
बेशक, यदि आप सिस्टम से एक मैट्रिक्स बनाते हैं तो इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है। लेकिन आप इसे बदल नहीं सकते और इसे इसके शुद्धतम रूप में हल नहीं कर सकते।
तो यह विधि रैखिक गाऊसी समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करती है? वैसे, हालांकि इस पद्धति का नाम उनके नाम पर रखा गया है, यह प्राचीन काल में खोजा गया था। गॉस निम्नलिखित का प्रस्ताव करता है: अंत में पूरे सेट को एक चरणबद्ध रूप में कम करने के लिए समीकरणों के साथ संचालन करने के लिए। अर्थात् यह आवश्यक है कि ऊपर से नीचे (यदि सही ढंग से रखा जाए) पहले समीकरण से अंतिम तक, एक अज्ञात घटता है। दूसरे शब्दों में, हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि हमें तीन समीकरण मिलते हैं: पहले में - तीन अज्ञात, दूसरे में - दो, तीसरे में - एक। फिर अंतिम समीकरण से हम पहला अज्ञात पाते हैं, इसके मान को दूसरे या पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, और फिर शेष दो चर ज्ञात करते हैं।
क्रैमर विधि
इस पद्धति में महारत हासिल करने के लिए, जोड़, घटाव के कौशल में महारत हासिल करना महत्वपूर्ण है, और आपको निर्धारकों को खोजने में भी सक्षम होना चाहिए। इसलिए, यदि आप यह सब खराब तरीके से करते हैं या बिल्कुल नहीं जानते हैं, तो आपको सीखना और अभ्यास करना होगा।
इस पद्धति का सार क्या है, और इसे कैसे बनाया जाए ताकि रैखिक क्रैमर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जा सके? सब कुछ बहुत सरल है। हमें रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के संख्यात्मक (लगभग हमेशा) गुणांक से एक मैट्रिक्स का निर्माण करना है। ऐसा करने के लिए, बस अज्ञात के सामने नंबर लें और उन्हें व्यवस्थित करेंतालिका में जिस क्रम में वे सिस्टम में दर्ज किए गए हैं। यदि संख्या से पहले "-" चिन्ह है, तो हम एक ऋणात्मक गुणांक लिखते हैं। इसलिए, हमने अज्ञात के गुणांक से पहला मैट्रिक्स संकलित किया है, समान संकेतों के बाद संख्याओं को शामिल नहीं किया है (स्वाभाविक रूप से, समीकरण को विहित रूप में घटाया जाना चाहिए, जब केवल संख्या दाईं ओर हो, और सभी अज्ञात के साथ बाईं ओर गुणांक)। फिर आपको कई और मैट्रिक्स बनाने की जरूरत है - प्रत्येक चर के लिए एक। ऐसा करने के लिए, हम पहले मैट्रिक्स में गुणांक के साथ प्रत्येक कॉलम को बराबर चिह्न के बाद संख्याओं के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, हम कई मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं और फिर उनके सारणिक पाते हैं।
निर्धारक मिल जाने के बाद बात छोटी है। हमारे पास एक प्रारंभिक मैट्रिक्स है, और कई परिणामी मैट्रिक्स हैं जो विभिन्न चर के अनुरूप हैं। प्रणाली के समाधान प्राप्त करने के लिए, हम परिणामी तालिका के सारणिक को प्रारंभिक तालिका के सारणिक से विभाजित करते हैं। परिणामी संख्या एक चर का मान है। इसी तरह, हम सभी अज्ञात पाते हैं।
अन्य तरीके
रैखिक समीकरणों के सिस्टम का हल निकालने के लिए और भी कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, तथाकथित गॉस-जॉर्डन विधि, जिसका उपयोग द्विघात समीकरणों की प्रणाली के समाधान खोजने के लिए किया जाता है और यह मैट्रिक्स के उपयोग से भी जुड़ा होता है। रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक जैकोबी विधि भी है। यह कंप्यूटर के अनुकूल होना सबसे आसान है और कंप्यूटिंग में इसका उपयोग किया जाता है।
मुश्किल मामले
जटिलता आमतौर पर तब होती है जब समीकरणों की संख्या चर की संख्या से कम होती है। तब हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि या तो प्रणाली असंगत है (अर्थात, इसकी कोई जड़ नहीं है), या इसके समाधानों की संख्या अनंत तक जाती है। यदि हमारे पास दूसरा मामला है, तो हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली के सामान्य समाधान को लिखना होगा। इसमें कम से कम एक वेरिएबल होगा।
निष्कर्ष
यहाँ हम अंत में आते हैं। संक्षेप में: हमने विश्लेषण किया है कि एक प्रणाली और एक मैट्रिक्स क्या हैं, हमने सीखा है कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य समाधान कैसे खोजा जाए। इसके अलावा अन्य विकल्पों पर विचार किया गया। हमने पाया कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल किया जाता है: गॉस विधि और क्रैमर विधि। हमने मुश्किल मामलों और समाधान खोजने के अन्य तरीकों के बारे में बात की।
वास्तव में, यह विषय बहुत अधिक व्यापक है, और यदि आप इसे बेहतर ढंग से समझना चाहते हैं, तो हम आपको अधिक विशिष्ट साहित्य पढ़ने की सलाह देते हैं।
