त्रिकोणीय पिरामिड और उसका क्षेत्रफल निर्धारित करने के सूत्र

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

पिरामिड एक ज्यामितीय स्थानिक आकृति है, जिसकी विशेषताओं का अध्ययन हाई स्कूल में ठोस ज्यामिति के दौरान किया जाता है। इस लेख में, हम एक त्रिकोणीय पिरामिड, उसके प्रकार, साथ ही इसके सतह क्षेत्र की गणना के लिए सूत्रों पर विचार करेंगे।

हम किस पिरामिड की बात कर रहे हैं?

एक त्रिभुजाकार पिरामिड एक ऐसी आकृति है जिसे एक मनमाना त्रिभुज के सभी शीर्षों को एक एकल बिंदु से जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है जो इस त्रिभुज के तल में नहीं है। इस परिभाषा के अनुसार, विचाराधीन पिरामिड में एक प्रारंभिक त्रिभुज होना चाहिए, जिसे आकृति का आधार कहा जाता है, और तीन पार्श्व त्रिभुज जिनका आधार के साथ एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है और एक बिंदु पर एक दूसरे से जुड़े होते हैं। उत्तरार्द्ध को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है।

उपरोक्त तस्वीर एक मनमाना त्रिकोणीय पिरामिड दिखाती है।

विचाराधीन आकृति तिरछी या सीधी हो सकती है। बाद के मामले में, पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक गिराए गए लंबवत को इसे ज्यामितीय केंद्र पर काटना चाहिए। किसी का ज्यामितीय केंद्रत्रिभुज अपनी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। भौतिकी में ज्यामितीय केंद्र आकृति के द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है।

यदि एक नियमित (समबाहु) त्रिभुज एक सीधे पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो इसे एक नियमित त्रिभुज कहा जाता है। एक नियमित पिरामिड में, सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं और समबाहु त्रिभुज होते हैं।

यदि एक नियमित पिरामिड की ऊंचाई इस प्रकार है कि उसके पार्श्व त्रिभुज समबाहु हो जाते हैं, तो इसे चतुष्फलक कहते हैं। एक चतुष्फलक में, चारों फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक को आधार माना जा सकता है।

पिरामिड तत्व

इन तत्वों में एक आकृति के चेहरे या भुजाएँ, उसके किनारे, कोने, ऊँचाई और एपोथेम्स शामिल हैं।

जैसा दिखाया गया है, एक त्रिभुजाकार पिरामिड की सभी भुजाएँ त्रिभुज होती हैं। उनकी संख्या 4 (3 भुजा और आधार पर एक) है।

शीर्ष तीन त्रिभुजाकार भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि विचाराधीन पिरामिड के लिए उनमें से 4 हैं (3 आधार से संबंधित हैं और 1 पिरामिड के शीर्ष पर हैं)।

किनारों को उन रेखाओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो दो त्रिभुजाकार भुजाओं को प्रतिच्छेद करती हैं, या उन रेखाओं के रूप में जो प्रत्येक दो शीर्षों को जोड़ती हैं। किनारों की संख्या आधार शीर्षों की संख्या के दोगुने से मेल खाती है, अर्थात, एक त्रिकोणीय पिरामिड के लिए यह 6 है (3 किनारे आधार के हैं और 3 किनारे पार्श्व फलकों द्वारा बनते हैं)।

ऊंचाई, जैसा कि ऊपर बताया गया है, पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक खींचे गए लंबवत की लंबाई है। यदि हम इस शीर्ष से त्रिभुजाकार आधार की प्रत्येक भुजा की ऊँचाई खींचते हैं,तब वे एपोटेम्स (या एपोथेम्स) कहलाएंगे। इस प्रकार, त्रिकोणीय पिरामिड में एक ऊंचाई और तीन एपोथेम हैं। एक नियमित पिरामिड के लिए उत्तरार्द्ध एक दूसरे के बराबर हैं।

पिरामिड का आधार और उसका क्षेत्रफल

चूंकि विचाराधीन आकृति का आधार आम तौर पर एक त्रिभुज है, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए इसकी ऊंचाई h_o और आधार की भुजा की लंबाई ज्ञात करना पर्याप्त है ए, जिस पर इसे उतारा जाता है। आधार के क्षेत्र S_o के लिए सूत्र है:

एस_ओ=1/2ज_ओए

यदि आधार का त्रिभुज समबाहु है, तो त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एस_ओ=3/4a²

अर्थात, क्षेत्र S_o विशिष्ट रूप से त्रिभुजाकार आधार की भुजा a की लंबाई से निर्धारित होता है।

आकृति का पार्श्व और कुल क्षेत्रफल

त्रिकोणीय पिरामिड के क्षेत्रफल पर विचार करने से पहले उसका विकास दिखाना उपयोगी होता है। वह नीचे चित्रित है।

चार त्रिभुजों से बनी इस झाडू का क्षेत्रफल पिरामिड का कुल क्षेत्रफल है। त्रिभुजों में से एक आधार से मेल खाता है, जिसके माने जाने वाले मूल्य का सूत्र ऊपर लिखा गया था। तीन पार्श्व त्रिभुजाकार फलक मिलकर आकृति का पार्श्व क्षेत्रफल बनाते हैं। इसलिए, इस मान को निर्धारित करने के लिए, उनमें से प्रत्येक के लिए एक मनमाना त्रिभुज के लिए उपरोक्त सूत्र को लागू करने के लिए पर्याप्त है, और फिर तीन परिणाम जोड़ें।

पिरामिड सही है तो हिसाबपार्श्व सतह क्षेत्र को सुगम बनाया गया है, क्योंकि सभी पार्श्व फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं। निरूपित करें h_bएपोथेम की लंबाई, फिर पार्श्व सतह का क्षेत्रफल S_b निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:

एस_बी=3/2एएच_बी

यह सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सामान्य व्यंजक का अनुसरण करता है। अंक 3 अंक में इस तथ्य के कारण प्रकट हुआ कि पिरामिड के तीन पक्ष फलक हैं।

एपोटेमा h_b एक नियमित पिरामिड में गणना की जा सकती है यदि आकृति h की ऊंचाई ज्ञात हो। पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

ज_बी=(एच²+ ए²/12)

जाहिर है, आकृति की सतह का कुल क्षेत्रफल S इसकी भुजा और आधार क्षेत्रों के योग के बराबर है:

एस=एस_ओ+ एस_बी

एक नियमित पिरामिड के लिए, सभी ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें सूत्र मिलता है:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

त्रिकोणीय पिरामिड का क्षेत्रफल केवल उसके आधार के किनारे की लंबाई और ऊंचाई पर निर्भर करता है।

उदाहरण समस्या

यह ज्ञात है कि एक त्रिभुजाकार पिरामिड का पार्श्व किनारा 7 सेमी है, और आधार का किनारा 5 सेमी है। यदि आप जानते हैं कि पिरामिड नियमित है।

सामान्य समानता का उपयोग करें:

एस=एस_ओ+ एस_बी

क्षेत्र S_o के बराबर है:

एस_ओ=3/4a² =3/45^{2 ≈10, 825सेमी}2.

पार्श्व सतह क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, आपको एपोटेमा खोजने की जरूरत है। यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि किनारे के किनारे की लंबाई के माध्यम से a_b यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: