ज्यामिति में कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में स्थानिक आंकड़ों की मात्रा की गणना करने की क्षमता महत्वपूर्ण है। सबसे आम आकृतियों में से एक पिरामिड है। इस लेख में, हम पिरामिड के आयतन के फ़ार्मुलों पर विचार करेंगे, दोनों पूर्ण और काटे गए।
पिरामिड एक त्रि-आयामी आकृति के रूप में
मिस्र के पिरामिडों के बारे में सभी जानते हैं, इसलिए उन्हें इस बात का अच्छा अंदाजा है कि किस आकृति की चर्चा की जाएगी। हालांकि, मिस्र की पत्थर की संरचनाएं पिरामिडों के एक विशाल वर्ग का केवल एक विशेष मामला हैं।
सामान्य स्थिति में मानी जाने वाली ज्यामितीय वस्तु एक बहुभुज आधार है, जिसका प्रत्येक शीर्ष अंतरिक्ष में किसी बिंदु से जुड़ा होता है जो आधार तल से संबंधित नहीं होता है। यह परिभाषा एक n-gon और n त्रिभुजों से मिलकर बनी आकृति की ओर ले जाती है।
किसी भी पिरामिड में n+1 फलक, 2n किनारे और n+1 शीर्ष होते हैं। चूंकि विचाराधीन आंकड़ा एक पूर्ण बहुफलक है, चिह्नित तत्वों की संख्या यूलर समानता का पालन करती है:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
आधार पर बना बहुभुज पिरामिड का नाम देता है,उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय, पंचकोणीय, और इसी तरह। नीचे दी गई तस्वीर में विभिन्न आधारों वाले पिरामिडों का एक सेट दिखाया गया है।
वह बिंदु जिस पर आकृति के n त्रिभुज जुड़े होते हैं, पिरामिड का शीर्ष कहलाता है। यदि एक लंब को इसमें से आधार तक कम किया जाता है और यह इसे ज्यामितीय केंद्र में काटता है, तो ऐसी आकृति को एक सीधी रेखा कहा जाएगा। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो एक झुका हुआ पिरामिड होता है।
एक सीधी आकृति जिसका आधार एक समबाहु (समकोणीय) n-gon से बनता है, नियमित कहलाती है।
पिरामिड आयतन सूत्र
पिरामिड का आयतन निकालने के लिए हम समाकलन का प्रयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम आधार के समानांतर छेदक विमानों द्वारा आकृति को अनंत पतली परतों में विभाजित करते हैं। नीचे दिया गया आंकड़ा एक चतुर्भुज पिरामिड को ऊंचाई h और भुजा की लंबाई L के साथ दिखाता है, जिसमें खंड की एक पतली परत एक चतुर्भुज के साथ चिह्नित है।
ऐसी प्रत्येक परत के क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
ए(जेड)=ए0(एच-जेड)2/एच2।
यहाँ A0 आधार का क्षेत्रफल है, z ऊर्ध्वाधर निर्देशांक का मान है। यह देखा जा सकता है कि यदि z=0 है, तो सूत्र A0 मान देता है।
पिरामिड के आयतन का सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको आकृति की संपूर्ण ऊँचाई पर समाकलन की गणना करनी चाहिए, अर्थात:
वी=∫एच0(ए(जेड)डीजेड)।
निर्भरता A(z) को प्रतिस्थापित करते हुए और प्रतिअवकलन की गणना करते हुए, हम व्यंजक पर पहुंचते हैं:
वी=-A0(h-z)3/(3h2)| एच0=1/3ए0ज.
पिरामिड के आयतन का सूत्र हमें मिला। V का मान ज्ञात करने के लिए, यह आधार के क्षेत्रफल से आकृति की ऊँचाई को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और फिर परिणाम को तीन से विभाजित करें।
ध्यान दें कि परिणामी व्यंजक एक मनमाना प्रकार के पिरामिड के आयतन की गणना के लिए मान्य है। यानी यह झुक सकता है, और इसका आधार एक मनमाना n-gon हो सकता है।
सही पिरामिड और उसका आयतन
उपरोक्त पैराग्राफ में प्राप्त आयतन के सामान्य सूत्र को सही आधार वाले पिरामिड के मामले में परिष्कृत किया जा सकता है। ऐसे आधार के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
यहाँ L, n शीर्षों वाले एक नियमित बहुभुज की भुजा की लंबाई है। प्रतीक पीआई संख्या पीआई है।
ए0 के व्यंजक को सामान्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक नियमित पिरामिड का आयतन प्राप्त होता है:
वी=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 एल2एचसीटीजी(पीआई/एन).
उदाहरण के लिए, एक त्रिभुजाकार पिरामिड के लिए, यह सूत्र निम्नलिखित व्यंजक की ओर ले जाता है:
वी3=3/12एल2एचसीटीजी(60ओ)=3/12एल2एच.
एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के लिए, आयतन सूत्र बन जाता है:
वी4=4/12एल2एचसीटीजी(45ओ)=1/3एल2एच.
नियमित पिरामिडों का आयतन निर्धारित करने के लिए उनके आधार के किनारे और आकृति की ऊंचाई जानने की आवश्यकता होती है।
छोटा पिरामिड
मान लीजिए हमने लियाएक मनमाना पिरामिड और शीर्ष युक्त इसकी पार्श्व सतह के एक हिस्से को काट दिया। शेष आकृति को एक छोटा पिरामिड कहा जाता है। इसमें पहले से ही दो एन-गोनल बेस और एन ट्रेपेज़ॉइड होते हैं जो उन्हें जोड़ते हैं। यदि काटने वाला विमान आकृति के आधार के समानांतर था, तो समानांतर समान आधारों के साथ एक काटे गए पिरामिड का निर्माण होता है। अर्थात्, उनमें से एक की भुजाओं की लंबाई दूसरे की लंबाई को किसी गुणांक k से गुणा करके प्राप्त की जा सकती है।
उपरोक्त चित्र एक छोटा नियमित हेक्सागोनल पिरामिड दिखाता है। यह देखा जा सकता है कि इसका ऊपरी आधार, निचले वाले की तरह, एक नियमित षट्भुज द्वारा बनता है।
एक काटे गए पिरामिड के आयतन का सूत्र, जिसे दिए गए के समान एक अभिन्न कलन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:
वी=1/3एच(ए0+ ए1+ √(ए0 ए1)).
जहाँ A0 और A1 क्रमशः निचले (बड़े) और ऊपरी (छोटे) आधारों के क्षेत्र हैं। चर h काटे गए पिरामिड की ऊंचाई है।
चेप्स के पिरामिड का आयतन
मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड के अंदर मौजूद आयतन के निर्धारण की समस्या को हल करना दिलचस्प है।
1984 में, ब्रिटिश मिस्र के वैज्ञानिक मार्क लेहनेर और जॉन गुडमैन ने चेप्स पिरामिड के सटीक आयामों की स्थापना की। इसकी मूल ऊंचाई 146.50 मीटर (वर्तमान में लगभग 137 मीटर) थी। संरचना के चारों किनारों में से प्रत्येक की औसत लंबाई 230.363 मीटर थी।पिरामिड का आधार उच्च सटीकता के साथ वर्गाकार है।
आइए दिए गए आंकड़ों का उपयोग करके इस विशाल पत्थर का आयतन ज्ञात करें। चूंकि पिरामिड एक नियमित चतुर्भुज है, तो इसके लिए सूत्र मान्य है:
वी4=1/3एल2एच.
संख्याओं को प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है:
वी4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 मी 3.
चेप्स पिरामिड का आयतन लगभग 2.6 मिलियन मी3 है। तुलना के लिए, हम ध्यान दें कि ओलंपिक पूल की मात्रा 2.5 हजार m3 है। यानी पूरे चेप्स पिरामिड को भरने के लिए इनमें से 1000 से ज्यादा पूलों की जरूरत होगी!
