पिरामिड एक स्थानिक पॉलीहेड्रॉन या पॉलीहेड्रॉन है, जो ज्यामितीय समस्याओं में होता है। इस आकृति के मुख्य गुण इसका आयतन और सतह क्षेत्र हैं, जिनकी गणना इसकी किन्हीं दो रैखिक विशेषताओं के ज्ञान से की जाती है। इन विशेषताओं में से एक पिरामिड का एपोथेम है। इस पर लेख में चर्चा की जाएगी।
पिरामिड आकार
पिरामिड के एपोटेम की परिभाषा देने से पहले, आइए स्वयं आकृति से परिचित हों। पिरामिड एक बहुफलक है, जो एक n-गोनल आधार और n त्रिभुजों द्वारा बनता है जो आकृति की पार्श्व सतह बनाते हैं।
हर पिरामिड का एक शीर्ष होता है - सभी त्रिभुजों का कनेक्शन बिंदु। इस शीर्ष से आधार तक खींचे गए लम्ब को ऊँचाई कहते हैं। यदि ऊँचाई आधार को ज्यामितीय केंद्र में काटती है, तो आकृति को एक सीधी रेखा कहा जाता है। एक समबाहु आधार वाले सीधे पिरामिड को नियमित पिरामिड कहा जाता है। आकृति एक हेक्सागोनल आधार के साथ एक पिरामिड दिखाती है, जिसे चेहरे और किनारे के किनारे से देखा जाता है।
सही पिरामिड का एपोथेम
उसे अपोतिमा भी कहा जाता है। इसे पिरामिड के शीर्ष से आकृति के आधार की ओर खींचे गए लंबवत के रूप में समझा जाता है। परिभाषा के अनुसार, यह लम्ब उस त्रिभुज की ऊँचाई से मेल खाता है जो पिरामिड का पार्श्व फलक बनाता है।
चूंकि हम एक n-गोनल आधार के साथ एक नियमित पिरामिड पर विचार कर रहे हैं, तो इसके लिए सभी n एपोथेम समान होंगे, क्योंकि इस तरह की आकृति की पार्श्व सतह के समद्विबाहु त्रिभुज हैं। ध्यान दें कि समान एपोथेम्स एक नियमित पिरामिड की संपत्ति हैं। एक सामान्य प्रकार की आकृति के लिए (अनियमित n-gon के साथ तिरछा), सभी n apothems भिन्न होंगे।
एक नियमित पिरामिड एपोथेम का एक अन्य गुण यह है कि यह एक साथ संबंधित त्रिभुज की ऊंचाई, माध्यिका और समद्विभाजक है। इसका अर्थ है कि वह इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है।
त्रिकोणीय पिरामिड और इसके एपोटेम को निर्धारित करने के सूत्र
किसी भी नियमित पिरामिड में, महत्वपूर्ण रैखिक विशेषताएँ इसके आधार के किनारे की लंबाई, किनारे के किनारे b, ऊँचाई h और एपोथेम hb हैं। ये मात्राएँ एक-दूसरे से संबंधित सूत्रों द्वारा संबंधित हैं, जिन्हें पिरामिड बनाकर और आवश्यक समकोण त्रिभुजों पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है।
एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में 4 त्रिकोणीय फलक होते हैं, और उनमें से एक (आधार) समबाहु होना चाहिए। शेष सामान्य स्थिति में समद्विबाहु हैं। एपोथेमत्रिकोणीय पिरामिड को निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके अन्य मात्राओं के संदर्भ में निर्धारित किया जा सकता है:
जबी=√(बी2- ए2/4);
जबी=(ए2/12 + एच2)
इनमें से पहला भाव किसी भी सही आधार वाले पिरामिड के लिए मान्य है। दूसरी अभिव्यक्ति केवल त्रिकोणीय पिरामिड के लिए विशेषता है। यह दर्शाता है कि एपोटेम हमेशा आकृति की ऊंचाई से बड़ा होता है।
पिरामिड के एपोथेम को पॉलीहेड्रॉन के साथ भ्रमित न करें। बाद के मामले में, एपोथेम एक लंबवत खंड है जो इसके केंद्र से पॉलीहेड्रॉन की तरफ खींचा जाता है। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज का एपोथेम √3/6a. है
एपोथेम टास्क
आधार पर एक त्रिभुज वाला एक नियमित पिरामिड दिया जाए। यदि यह ज्ञात हो कि इस त्रिभुज का क्षेत्रफल 34 सेमी2 है, और पिरामिड में ही 4 समान फलक हैं, तो इसके एपोथेम की गणना करना आवश्यक है।
समस्या की स्थिति के अनुसार, हम समबाहु त्रिभुजों वाले एक चतुष्फलक के साथ काम कर रहे हैं। एक फलक के क्षेत्रफल का सूत्र है:
एस=3/4a2
जहां हमें भुजा की लंबाई मिलती है:
ए=2√(एस/√3)
एपोथेम को निर्धारित करने के लिए एचबीहम साइड एज बी वाले सूत्र का उपयोग करते हैं। विचाराधीन मामले में, इसकी लंबाई आधार की लंबाई के बराबर है, हमारे पास है:
एचबी=√(बी2- ए2/4)=√3/2 ए
ए के माध्यम से एस के मूल्य को प्रतिस्थापित करना,हमें अंतिम सूत्र मिलता है:
जबी=3/22√(एस/√3)=√(एस√3)
हमें एक सरल सूत्र मिला है जिसमें पिरामिड का एपोटेम केवल उसके आधार के क्षेत्रफल पर निर्भर करता है। यदि हम समस्या की स्थिति से मान S को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें उत्तर मिलता है: hb≈ 7, 674 cm.
