एक यांत्रिक प्रणाली जिसमें एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक अविभाज्य भारहीन धागे पर लटका हुआ एक भौतिक बिंदु (शरीर) होता है (इसका द्रव्यमान शरीर के वजन की तुलना में नगण्य होता है) गणितीय पेंडुलम कहलाता है (दूसरा नाम है एक थरथरानवाला)। इस उपकरण के अन्य प्रकार भी हैं। धागे के स्थान पर भारहीन छड़ का प्रयोग किया जा सकता है। एक गणितीय पेंडुलम कई दिलचस्प घटनाओं के सार को स्पष्ट रूप से प्रकट कर सकता है। दोलन के एक छोटे आयाम के साथ, इसकी गति को हार्मोनिक कहा जाता है।
यांत्रिक प्रणाली सिंहावलोकन
इस लोलक के दोलन काल का सूत्र डच वैज्ञानिक ह्यूजेन्स (1629-1695) द्वारा प्राप्त किया गया था। आई. न्यूटन के इस समकालीन को इस यांत्रिक प्रणाली का बहुत शौक था। 1656 में उन्होंने पहली पेंडुलम घड़ी बनाई। उन्होंने असाधारण के साथ समय को मापाउस समय सटीकता के लिए। यह आविष्कार भौतिक प्रयोगों और व्यावहारिक गतिविधियों के विकास में एक प्रमुख मील का पत्थर बन गया है।
यदि लोलक संतुलन में है (ऊर्ध्वाधर लटका हुआ है), तो गुरुत्वाकर्षण बल धागे के तनाव के बल से संतुलित होगा। एक अविभाज्य धागे पर एक फ्लैट पेंडुलम एक प्रणाली है जिसमें एक कनेक्शन के साथ दो डिग्री स्वतंत्रता होती है। जब आप केवल एक घटक को बदलते हैं, तो उसके सभी भागों की विशेषताएं बदल जाती हैं। इसलिए, यदि धागे को एक छड़ से बदल दिया जाता है, तो इस यांत्रिक प्रणाली में केवल 1 डिग्री की स्वतंत्रता होगी। गणितीय पेंडुलम के गुण क्या हैं? इस सरलतम प्रणाली में, एक आवधिक गड़बड़ी के प्रभाव में अराजकता उत्पन्न होती है। मामले में जब निलंबन बिंदु नहीं चलता है, लेकिन दोलन करता है, तो पेंडुलम में एक नई संतुलन स्थिति होती है। तेजी से ऊपर और नीचे दोलनों के साथ, यह यांत्रिक प्रणाली एक स्थिर उल्टा स्थिति प्राप्त करती है। उसका अपना नाम भी है। इसे कपित्जा का लोलक कहते हैं।
पेंडुलम गुण
गणितीय लोलक में बहुत ही रोचक गुण होते हैं। उन सभी की पुष्टि ज्ञात भौतिक नियमों द्वारा की जाती है। किसी अन्य लोलक के दोलन की अवधि विभिन्न परिस्थितियों पर निर्भर करती है, जैसे कि शरीर का आकार और आकार, निलंबन बिंदु और गुरुत्वाकर्षण केंद्र के बीच की दूरी, इस बिंदु के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण। इसलिए फांसी के फंदे की अवधि निर्धारित करना काफी मुश्किल काम है। गणितीय पेंडुलम की अवधि की गणना करना बहुत आसान है, जिसका सूत्र नीचे दिया जाएगा। इसी तरह की टिप्पणियों के परिणामस्वरूपमैकेनिकल सिस्टम निम्नलिखित पैटर्न स्थापित कर सकते हैं:
• अगर लोलक की लंबाई समान रखते हुए हम अलग-अलग बाट लटकाते हैं, तो उनके दोलनों की अवधि समान होगी, हालांकि उनके द्रव्यमान बहुत भिन्न होंगे। इसलिए, ऐसे लोलक की अवधि भार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।
• सिस्टम शुरू करते समय, यदि लोलक बहुत बड़े नहीं, बल्कि विभिन्न कोणों से विक्षेपित होता है, तो यह समान अवधि के साथ, लेकिन विभिन्न आयामों के साथ दोलन करना शुरू कर देगा। जब तक संतुलन के केंद्र से विचलन बहुत बड़े नहीं होते, तब तक उनके रूप में दोलन हार्मोनिक के काफी करीब होंगे। ऐसे लोलक की अवधि किसी भी प्रकार से दोलन आयाम पर निर्भर नहीं करती है। इस यांत्रिक प्रणाली की इस संपत्ति को समकालिकता (ग्रीक "क्रोनोस" से अनुवादित - समय, "आइसो" - बराबर) कहा जाता है।
गणितीय लोलक की अवधि
यह सूचक प्राकृतिक दोलनों की अवधि को दर्शाता है। जटिल शब्दों के बावजूद, प्रक्रिया ही बहुत सरल है। यदि एक गणितीय लोलक के धागे की लंबाई L है, और मुक्त रूप से गिरने का त्वरण g है, तो यह मान है:
टी=2π√एल/जी
छोटे प्राकृतिक दोलनों की अवधि किसी भी तरह से पेंडुलम के द्रव्यमान और दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है। इस मामले में, लोलक कम लंबाई के साथ गणितीय लोलक की तरह गति करता है।
गणितीय लोलक के झूले
एक गणितीय लोलक दोलन करता है, जिसे एक साधारण अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
x + 2 पाप x=0, जहाँ x (t) एक अज्ञात फलन है (यह नीचे से विचलन का कोण हैरेडियन में व्यक्त समय t पर संतुलन की स्थिति); ω एक धनात्मक स्थिरांक है, जो लोलक के प्राचलों से निर्धारित होता है (ω=g/L, जहाँ g मुक्त पतन त्वरण है और L गणितीय लोलक (निलंबन) की लंबाई है।
संतुलन स्थिति (हार्मोनिक समीकरण) के पास छोटे उतार-चढ़ाव का समीकरण इस तरह दिखता है:
x + ω2 पाप x=0
लोलक की दोलकीय गति
एक गणितीय पेंडुलम जो छोटे-छोटे दोलन करता है, एक साइनसॉइड के साथ चलता है। दूसरे क्रम का अंतर समीकरण ऐसी गति की सभी आवश्यकताओं और मापदंडों को पूरा करता है। प्रक्षेपवक्र निर्धारित करने के लिए, आपको गति और समन्वय निर्दिष्ट करना होगा, जिससे स्वतंत्र स्थिरांक निर्धारित किए जाते हैं:
x=एक पाप (θ0 + ωt), जहाँ θ0 प्रारंभिक चरण है, A दोलन आयाम है, ω गति के समीकरण से निर्धारित चक्रीय आवृत्ति है।
गणितीय लोलक (बड़े आयामों के सूत्र)
यह यांत्रिक प्रणाली, जो एक महत्वपूर्ण आयाम के साथ अपने दोलन करती है, गति के अधिक जटिल नियमों का पालन करती है। ऐसे पेंडुलम के लिए, उनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
पाप x/2=यूएसएन(ωt/u), जहाँ sn जैकोबी साइन है, जो u < 1 के लिए एक आवर्त फलन है, और छोटे u के लिए यह एक साधारण त्रिकोणमितीय ज्या के साथ मेल खाता है। u का मान निम्नलिखित व्यंजक द्वारा निर्धारित किया जाता है:
यू=(ε + ω2)/2ω2, जहाँ ε=E/mL2 (mL2 लोलक की ऊर्जा है)।
एक गैर-रैखिक पेंडुलम की दोलन अवधि का निर्धारणसूत्र के अनुसार किया गया:
टी=2π/Ω, जहां Ω=π/2ω/2K(u), K अण्डाकार समाकल है, π - 3, 14.
सेपरेट्रिक्स के साथ पेंडुलम की गति
एक सेपरेट्रिक्स द्वि-आयामी चरण स्थान के साथ एक गतिशील प्रणाली का एक प्रक्षेपवक्र है। गणितीय पेंडुलम गैर-आवधिक रूप से इसके साथ चलता है। समय के असीम रूप से दूर के क्षण में, यह चरम ऊपरी स्थिति से शून्य वेग के साथ गिरती है, फिर धीरे-धीरे इसे उठा लेती है। यह अंततः रुक जाता है, अपनी मूल स्थिति में लौट आता है।
यदि लोलक के दोलनों का आयाम संख्या तक पहुँचता है, तो यह इंगित करता है कि चरण तल पर गति सेपरेट्रिक्स की ओर आ रही है। इस मामले में, एक छोटे से ड्राइविंग आवधिक बल की कार्रवाई के तहत, यांत्रिक प्रणाली अराजक व्यवहार प्रदर्शित करती है।
जब गणितीय लोलक एक निश्चित कोण φ के साथ संतुलन की स्थिति से विचलित होता है, तो गुरुत्वाकर्षण का एक स्पर्शरेखा बल Fτ=–mg sin उत्पन्न होता है। माइनस साइन का मतलब है कि यह स्पर्शरेखा घटक पेंडुलम विक्षेपण से विपरीत दिशा में निर्देशित है। जब त्रिज्या L वाले एक वृत्त के चाप के अनुदिश लोलक का विस्थापन x द्वारा निरूपित किया जाता है, तो इसका कोणीय विस्थापन φ=x/L के बराबर होता है। आइजैक न्यूटन का दूसरा नियम, त्वरण वेक्टर और बल के अनुमानों के लिए डिज़ाइन किया गया, वांछित मूल्य देगा:
मिलीग्राम=Fτ=–mg sin x/L
इस अनुपात के आधार पर यह स्पष्ट है कि यह लोलक एक अरैखिक तंत्र है, क्योंकि वह बल जो वापस लौटना चाहता हैयह संतुलन की स्थिति के लिए, हमेशा विस्थापन x के समानुपाती नहीं होता है, बल्कि sin x/L के समानुपाती होता है।
केवल जब गणितीय पेंडुलम छोटे दोलन करता है, तो यह एक हार्मोनिक थरथरानवाला होता है। दूसरे शब्दों में, यह एक यांत्रिक प्रणाली बन जाती है जो हार्मोनिक कंपन करने में सक्षम होती है। यह सन्निकटन 15-20° के कोणों के लिए व्यावहारिक रूप से मान्य है। बड़े आयामों के साथ पेंडुलम दोलन हार्मोनिक नहीं होते हैं।
एक लोलक के छोटे दोलनों के लिए न्यूटन का नियम
यदि यह यांत्रिक प्रणाली छोटे कंपन करती है, तो न्यूटन का दूसरा नियम इस तरह दिखेगा:
mg=Fτ=–m g/L x.
इसके आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गणितीय लोलक का स्पर्शरेखा त्वरण ऋण चिह्न के साथ उसके विस्थापन के समानुपाती होता है। यह वह स्थिति है जिसके कारण सिस्टम एक हार्मोनिक ऑसिलेटर बन जाता है। विस्थापन और त्वरण के बीच आनुपातिक लाभ का मापांक वृत्तीय आवृत्ति के वर्ग के बराबर होता है:
ω02=जी/एल; 0=जी/एल.
यह सूत्र इस प्रकार के लोलक के छोटे दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति को दर्शाता है। इसके आधार पर
टी=2π/ ω0=2π√ जी/एल।
ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित गणना
लोलक की दोलन गति के गुणों को भी ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पेंडुलम की संभावित ऊर्जा है:
E=mg∆h=mgL(1 - cos α)=mgL2sin2 α/2
कुल यांत्रिक ऊर्जागतिज या अधिकतम क्षमता के बराबर: एपमैक्स=एकम्सएक्स=ई
ऊर्जा संरक्षण का नियम लिखे जाने के बाद, समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों का अवकलज लें:
एप + एक=कास्ट
चूंकि अचर मानों का अवकलज 0 है, तो (Ep + Ek)'=0. योग का अवकलज, अवकलजों के योग के बराबर होता है:
Ep'=(मिलीग्राम/एलx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + एक'=(mv2/2)=m/2(v2)'=एम/22वीवी'=एमवी α, इसलिए:
एमजी/एलxv + एमवीए=वी (मिलीग्राम/एलx + एम α)=0.
अंतिम सूत्र के आधार पर, हम पाते हैं: α=- g/Lx.
गणितीय लोलक का व्यावहारिक अनुप्रयोग
मुक्त पतन का त्वरण भौगोलिक अक्षांश के साथ बदलता रहता है, क्योंकि पूरे ग्रह में पृथ्वी की पपड़ी का घनत्व समान नहीं है। जहां अधिक घनत्व वाली चट्टानें होती हैं, वे कुछ अधिक ऊंची होंगी। गणितीय पेंडुलम का त्वरण अक्सर भूवैज्ञानिक अन्वेषण के लिए उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग विभिन्न खनिजों की खोज के लिए किया जाता है। बस पेंडुलम के झूलों की संख्या गिनकर, आप पृथ्वी की आंतों में कोयला या अयस्क पा सकते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे जीवाश्मों का घनत्व और द्रव्यमान उनके नीचे की ढीली चट्टानों से अधिक होता है।
गणितीय लोलक का उपयोग सुकरात, अरस्तू, प्लेटो, प्लूटार्क, आर्किमिडीज जैसे प्रमुख वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था। उनमें से कई का मानना था कि यह यांत्रिक प्रणाली किसी व्यक्ति के भाग्य और जीवन को प्रभावित कर सकती है। आर्किमिडीज ने अपनी गणना में गणितीय लोलक का प्रयोग किया। आजकल, कई तांत्रिक और मनोविज्ञानअपनी भविष्यवाणियों को पूरा करने या लापता लोगों को खोजने के लिए इस यांत्रिक प्रणाली का उपयोग करें।
प्रसिद्ध फ्रांसीसी खगोलशास्त्री और प्रकृतिवादी के. फ्लेमरियन ने भी अपने शोध के लिए एक गणितीय पेंडुलम का इस्तेमाल किया। उन्होंने दावा किया कि उनकी मदद से वह एक नए ग्रह की खोज, तुंगुस्का उल्कापिंड की उपस्थिति और अन्य महत्वपूर्ण घटनाओं की भविष्यवाणी करने में सक्षम थे। जर्मनी (बर्लिन) में द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान एक विशेष पेंडुलम संस्थान ने काम किया। आज म्यूनिख इंस्टीट्यूट ऑफ परामनोविज्ञान इसी तरह के शोध में लगा हुआ है। इस संस्था के कर्मचारी पेंडुलम के साथ अपने काम को "रेडिस्थेसिया" कहते हैं।
