फूरियर रूपांतरण एक परिवर्तन है जो कुछ वास्तविक चर के कार्यों की तुलना करता है। हर बार जब हम अलग-अलग आवाज़ें देखते हैं तो यह ऑपरेशन किया जाता है। कान एक स्वचालित "गणना" करता है, जिसे हमारी चेतना उच्च गणित के संबंधित खंड का अध्ययन करने के बाद ही करने में सक्षम है। मानव श्रवण अंग एक परिवर्तन का निर्माण करता है, जिसके परिणामस्वरूप ध्वनि (एक लोचदार माध्यम में सशर्त कणों की दोलन गति जो एक ठोस, तरल या गैसीय माध्यम में तरंग रूप में फैलती है) क्रमिक मूल्यों के एक स्पेक्ट्रम के रूप में प्रदान की जाती है। विभिन्न ऊंचाइयों के स्वरों के आयतन स्तर का। उसके बाद, मस्तिष्क इस जानकारी को सभी के लिए परिचित ध्वनि में बदल देता है।
गणितीय फूरियर रूपांतरण
ध्वनि तरंगों या अन्य दोलन प्रक्रियाओं (प्रकाश विकिरण और महासागरीय ज्वार से तारकीय या सौर गतिविधि के चक्र तक) का परिवर्तन भी गणितीय विधियों का उपयोग करके किया जा सकता है। इसलिए, इन तकनीकों का उपयोग करते हुए, साइनसॉइडल घटकों के एक सेट के रूप में ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करके कार्यों को विघटित करना संभव है, जो कि लहरदार वक्र हैंसमुद्र की लहर की तरह नीचे से ऊँचे, फिर वापस नीचे की ओर जाएँ। फूरियर रूपांतरण - एक परिवर्तन जिसका कार्य एक निश्चित आवृत्ति के अनुरूप प्रत्येक साइनसॉइड के चरण या आयाम का वर्णन करता है। चरण वक्र का प्रारंभिक बिंदु है, और आयाम इसकी ऊंचाई है।
फूरियर ट्रांसफॉर्म (उदाहरण फोटो में दिखाए गए हैं) एक बहुत शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। कुछ मामलों में, इसका उपयोग जटिल समीकरणों को हल करने के साधन के रूप में किया जाता है जो प्रकाश, तापीय या विद्युत ऊर्जा के प्रभाव में होने वाली गतिशील प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं। अन्य मामलों में, यह आपको जटिल दोलन संकेतों में नियमित घटकों को निर्धारित करने की अनुमति देता है, जिससे आप रसायन विज्ञान, चिकित्सा और खगोल विज्ञान में विभिन्न प्रयोगात्मक टिप्पणियों की सही व्याख्या कर सकते हैं।
ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
इस पद्धति को लागू करने वाले पहले व्यक्ति फ्रांसीसी गणितज्ञ जीन बैप्टिस्ट फूरियर थे। परिवर्तन, जिसे बाद में उनके नाम पर रखा गया, मूल रूप से ऊष्मा चालन के तंत्र का वर्णन करने के लिए उपयोग किया गया था। फूरियर ने अपना पूरा वयस्क जीवन गर्मी के गुणों का अध्ययन करने में बिताया। उन्होंने बीजीय समीकरणों की जड़ों को निर्धारित करने के गणितीय सिद्धांत में बहुत बड़ा योगदान दिया। फूरियर पॉलिटेक्निक स्कूल में विश्लेषण के प्रोफेसर थे, इजिप्टोलॉजी संस्थान के सचिव, शाही सेवा में थे, जहां उन्होंने ट्यूरिन के लिए सड़क के निर्माण के दौरान खुद को प्रतिष्ठित किया (उनके नेतृत्व में, मलेरिया के 80 हजार वर्ग किलोमीटर से अधिकदलदल)। हालांकि, इस सभी जोरदार गतिविधि ने वैज्ञानिक को गणितीय विश्लेषण करने से नहीं रोका। 1802 में उन्होंने एक समीकरण निकाला जो ठोस पदार्थों में ऊष्मा के प्रसार का वर्णन करता है। 1807 में, वैज्ञानिक ने इस समीकरण को हल करने के लिए एक विधि की खोज की, जिसे "फूरियर ट्रांसफॉर्म" कहा गया।
तापीय चालकता विश्लेषण
वैज्ञानिक ने गर्मी चालन के तंत्र का वर्णन करने के लिए गणितीय विधि लागू की। एक सुविधाजनक उदाहरण, जिसमें गणना में कोई कठिनाई नहीं है, आग में एक हिस्से में डूबे हुए लोहे के छल्ले के माध्यम से तापीय ऊर्जा का प्रसार है। प्रयोग करने के लिए फूरियर ने इस वलय के एक भाग को लाल-गर्म गर्म किया और महीन रेत में गाड़ दिया। इसके बाद उन्होंने इसके विपरीत दिशा में तापमान माप लिया। प्रारंभ में, गर्मी का वितरण अनियमित है: अंगूठी का हिस्सा ठंडा है और दूसरा गर्म है; इन क्षेत्रों के बीच एक तेज तापमान ढाल देखा जा सकता है। हालांकि, धातु की पूरी सतह पर गर्मी के प्रसार की प्रक्रिया में, यह अधिक समान हो जाता है। तो, जल्द ही यह प्रक्रिया साइनसॉइड का रूप ले लेती है। सबसे पहले, ग्राफ सुचारू रूप से बढ़ता है और सुचारू रूप से घटता भी है, ठीक कोसाइन या साइन फ़ंक्शन के परिवर्तन के नियमों के अनुसार। लहर धीरे-धीरे बंद हो जाती है और परिणामस्वरूप तापमान रिंग की पूरी सतह पर समान हो जाता है।
इस पद्धति के लेखक ने सुझाव दिया कि प्रारंभिक अनियमित वितरण को कई प्राथमिक साइनसॉइड में विघटित किया जा सकता है। उनमें से प्रत्येक का अपना चरण (प्रारंभिक स्थिति) और अपना तापमान होगाज्यादा से ज्यादा। इसके अलावा, ऐसा प्रत्येक घटक न्यूनतम से अधिकतम में बदल जाता है और रिंग के चारों ओर एक पूर्ण क्रांति पर एक पूर्णांक संख्या में वापस आ जाता है। एक अवधि वाले घटक को मौलिक हार्मोनिक कहा जाता था, और दो या अधिक अवधि वाले मान को दूसरा कहा जाता था, और इसी तरह। तो, अधिकतम तापमान, चरण या स्थिति का वर्णन करने वाले गणितीय फ़ंक्शन को वितरण फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। वैज्ञानिक ने एक एकल घटक को कम कर दिया, जिसका गणितीय रूप से वर्णन करना मुश्किल है, एक उपयोग में आसान उपकरण - कोसाइन और साइन श्रृंखला, जो मूल वितरण देने के लिए योग करते हैं।
विश्लेषण का सार
इस विश्लेषण को एक ठोस वस्तु के माध्यम से गर्मी के प्रसार के परिवर्तन के लिए लागू करते हुए, जिसमें एक कुंडलाकार आकार होता है, गणितज्ञ ने तर्क दिया कि साइनसॉइडल घटक की अवधि बढ़ने से इसका तेजी से क्षय होगा। यह मौलिक और दूसरे हार्मोनिक्स में स्पष्ट रूप से देखा जाता है। उत्तरार्द्ध में, तापमान एक पास में दो बार अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है, और पूर्व में, केवल एक बार। यह पता चला है कि दूसरे हार्मोनिक में गर्मी द्वारा तय की गई दूरी मौलिक में आधी होगी। इसके अलावा, दूसरे में ढाल भी पहले वाले की तुलना में दुगनी होगी। इसलिए, चूंकि अधिक तीव्र गर्मी प्रवाह दो बार कम दूरी की यात्रा करता है, यह हार्मोनिक समय के कार्य के रूप में मौलिक से चार गुना तेजी से क्षय हो जाएगा। आने वाले समय में यह प्रक्रिया और तेज होगी। गणितज्ञ का मानना था कि यह विधि आपको समय के साथ प्रारंभिक तापमान वितरण की प्रक्रिया की गणना करने की अनुमति देती है।
समकालीनों को चुनौती
फूरियर ट्रांसफॉर्म एल्गोरिथम ने उस समय गणित की सैद्धांतिक नींव को चुनौती दी थी। उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, लैग्रेंज, लाप्लास, पॉइसन, लेजेंड्रे और बायोट सहित अधिकांश प्रमुख वैज्ञानिकों ने उनके इस कथन को स्वीकार नहीं किया कि प्रारंभिक तापमान वितरण एक मौलिक हार्मोनिक और उच्च आवृत्तियों के रूप में घटकों में विघटित होता है। हालांकि, विज्ञान अकादमी गणितज्ञ द्वारा प्राप्त परिणामों की उपेक्षा नहीं कर सका, और उसे गर्मी चालन के नियमों के सिद्धांत के लिए पुरस्कार से सम्मानित किया, साथ ही साथ इसकी तुलना भौतिक प्रयोगों से की। फूरियर के दृष्टिकोण में, मुख्य आपत्ति यह थी कि असंतत कार्य को कई साइनसोइडल कार्यों के योग द्वारा दर्शाया जाता है जो निरंतर हैं। आखिरकार, वे फटी सीधी और घुमावदार रेखाओं का वर्णन करते हैं। वैज्ञानिक के समकालीनों को कभी भी ऐसी ही स्थिति का सामना नहीं करना पड़ा, जब निरंतर कार्यों, जैसे द्विघात, रैखिक, साइनसॉइड या घातीय के संयोजन द्वारा असंतत कार्यों का वर्णन किया गया था। इस घटना में कि गणितज्ञ अपने बयानों में सही था, तो एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की एक अनंत श्रृंखला का योग एक सटीक चरणबद्ध रूप से घटाया जाना चाहिए। उस समय, ऐसा बयान बेतुका लग रहा था। हालांकि, संदेह के बावजूद, कुछ शोधकर्ताओं (जैसे क्लाउड नेवियर, सोफी जर्मेन) ने अनुसंधान के दायरे का विस्तार किया है और उन्हें थर्मल ऊर्जा के वितरण के विश्लेषण से परे ले लिया है। इस बीच, गणितज्ञ इस सवाल से जूझते रहे कि क्या कई साइनसोइडल कार्यों के योग को एक असंतत के सटीक प्रतिनिधित्व के लिए कम किया जा सकता है।
200 साल पुरानाइतिहास
यह सिद्धांत दो सदियों में विकसित हुआ है, आज आखिरकार बन ही गया है। इसकी मदद से, स्थानिक या लौकिक कार्यों को साइनसॉइडल घटकों में विभाजित किया जाता है, जिनकी अपनी आवृत्ति, चरण और आयाम होते हैं। यह परिवर्तन दो भिन्न गणितीय विधियों द्वारा प्राप्त किया जाता है। उनमें से पहले का उपयोग तब किया जाता है जब मूल कार्य निरंतर होता है, और दूसरा - जब इसे असतत व्यक्तिगत परिवर्तनों के एक सेट द्वारा दर्शाया जाता है। यदि अभिव्यक्ति असतत अंतराल द्वारा परिभाषित मूल्यों से प्राप्त की जाती है, तो इसे असतत आवृत्तियों के साथ कई साइनसोइडल अभिव्यक्तियों में विभाजित किया जा सकता है - सबसे कम से और फिर दो बार, तीन बार और इसी तरह मुख्य से अधिक। इस तरह के योग को फूरियर श्रृंखला कहा जाता है। यदि प्रारंभिक अभिव्यक्ति को प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए एक मान दिया जाता है, तो इसे सभी संभावित आवृत्तियों के कई साइनसोइडल में विघटित किया जा सकता है। इसे आमतौर पर फूरियर इंटीग्रल कहा जाता है, और समाधान का तात्पर्य फ़ंक्शन के इंटीग्रल ट्रांसफॉर्मेशन से है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि रूपांतरण कैसे प्राप्त किया जाता है, प्रत्येक आवृत्ति के लिए दो संख्याएं निर्दिष्ट की जानी चाहिए: आयाम और आवृत्ति। इन मानों को एकल सम्मिश्र संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। फूरियर रूपांतरण के साथ जटिल चरों की अभिव्यक्ति के सिद्धांत ने विभिन्न विद्युत परिपथों के डिजाइन में गणना करना, यांत्रिक कंपनों का विश्लेषण, तरंग प्रसार के तंत्र का अध्ययन, और बहुत कुछ करना संभव बना दिया।
फूरियर ट्रांसफॉर्म टुडे
आज, इस प्रक्रिया का अध्ययन मुख्य रूप से प्रभावी खोजने के लिए कम हो गया हैकिसी फ़ंक्शन से उसके रूपांतरित रूप में संक्रमण के तरीके और इसके विपरीत। इस समाधान को प्रत्यक्ष और उलटा फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। इसका क्या मतलब है? अभिन्न को निर्धारित करने और प्रत्यक्ष फूरियर रूपांतरण उत्पन्न करने के लिए, कोई गणितीय विधियों या विश्लेषणात्मक विधियों का उपयोग कर सकता है। इस तथ्य के बावजूद कि व्यवहार में उनका उपयोग करते समय कुछ कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं, अधिकांश अभिन्न पहले ही मिल चुके हैं और गणितीय संदर्भ पुस्तकों में शामिल हैं। संख्यात्मक विधियों का उपयोग उन अभिव्यक्तियों की गणना के लिए किया जा सकता है जिनका रूप प्रयोगात्मक डेटा पर आधारित है, या ऐसे फ़ंक्शन जिनके इंटीग्रल टेबल में उपलब्ध नहीं हैं और विश्लेषणात्मक रूप में प्रस्तुत करना मुश्किल है।
कंप्यूटर के आगमन से पहले, इस तरह के परिवर्तनों की गणना बहुत कठिन थी, उन्हें बड़ी संख्या में अंकगणितीय संचालन के मैन्युअल निष्पादन की आवश्यकता होती थी, जो तरंग फ़ंक्शन का वर्णन करने वाले बिंदुओं की संख्या पर निर्भर करती थी। गणना की सुविधा के लिए, आज विशेष कार्यक्रम हैं जिन्होंने नए विश्लेषणात्मक तरीकों को लागू करना संभव बना दिया है। इसलिए, 1965 में, James Cooley और John Tukey ने सॉफ़्टवेयर बनाया जिसे "फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म" के रूप में जाना जाने लगा। यह आपको वक्र के विश्लेषण में गुणा की संख्या को कम करके गणना के लिए समय बचाने की अनुमति देता है। तेजी से फूरियर रूपांतरण विधि वक्र को बड़ी संख्या में समान नमूना मूल्यों में विभाजित करने पर आधारित है। तदनुसार, अंकों की संख्या में समान कमी के साथ गुणा की संख्या आधी हो जाती है।
फूरियर रूपांतरण लागू करना
यहइस प्रक्रिया का उपयोग विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है: संख्या सिद्धांत, भौतिकी, सिग्नल प्रोसेसिंग, कॉम्बिनेटरिक्स, प्रायिकता सिद्धांत, क्रिप्टोग्राफी, सांख्यिकी, समुद्र विज्ञान, प्रकाशिकी, ध्वनिकी, ज्यामिति और अन्य में। इसके अनुप्रयोग की समृद्ध संभावनाएं कई उपयोगी विशेषताओं पर आधारित हैं, जिन्हें "फूरियर रूपांतरण गुण" कहा जाता है। उन पर विचार करें।
1. फ़ंक्शन रूपांतरण एक रैखिक ऑपरेटर है और उपयुक्त सामान्यीकरण के साथ, एकात्मक है। इस गुण को पारसेवल की प्रमेय, या सामान्य रूप से प्लांचेरल प्रमेय, या पोंट्रीगिन के द्वैतवाद के रूप में जाना जाता है।
2. परिवर्तन प्रतिवर्ती है। इसके अलावा, विपरीत परिणाम का लगभग वही रूप है जो प्रत्यक्ष समाधान में है।
3. साइनसॉइडल बेस एक्सप्रेशन स्वयं के विभेदित कार्य हैं। इसका मतलब यह है कि इस तरह का प्रतिनिधित्व एक स्थिर गुणांक वाले रैखिक समीकरणों को साधारण बीजीय समीकरणों में बदल देता है।
4. "कनवल्शन" प्रमेय के अनुसार, यह प्रक्रिया एक जटिल ऑपरेशन को प्राथमिक गुणन में बदल देती है।
5. असतत फूरियर रूपांतरण की गणना "तेज़" विधि का उपयोग करके कंप्यूटर पर शीघ्रता से की जा सकती है।
फूरियर रूपांतरण की किस्में
1. अक्सर, इस शब्द का उपयोग निरंतर परिवर्तन को दर्शाने के लिए किया जाता है जो विशिष्ट कोणीय आवृत्तियों और आयामों के साथ जटिल घातीय अभिव्यक्तियों के योग के रूप में कोई वर्ग-अभिन्न अभिव्यक्ति प्रदान करता है। इस प्रजाति के कई अलग-अलग रूप हैं, जो कर सकते हैंस्थिर गुणांक द्वारा भिन्न। निरंतर विधि में एक रूपांतरण तालिका शामिल है, जिसे गणितीय संदर्भ पुस्तकों में पाया जा सकता है। एक सामान्यीकृत मामला एक भिन्नात्मक परिवर्तन है, जिसके द्वारा दी गई प्रक्रिया को आवश्यक वास्तविक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है।
2. निरंतर मोड फूरियर श्रृंखला की प्रारंभिक तकनीक का एक सामान्यीकरण है जो विभिन्न आवधिक कार्यों या अभिव्यक्तियों के लिए परिभाषित किया गया है जो एक सीमित क्षेत्र में मौजूद हैं और उन्हें साइनसॉइड की श्रृंखला के रूप में दर्शाते हैं।
3. असतत फूरियर रूपांतरण। इस पद्धति का उपयोग कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में वैज्ञानिक गणना और डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए किया जाता है। इस प्रकार की गणना करने के लिए, ऐसे कार्यों की आवश्यकता होती है जो निरंतर फूरियर इंटीग्रल के बजाय अलग-अलग बिंदुओं, आवधिक या बाध्य क्षेत्रों को अलग-अलग सेट पर परिभाषित करते हैं। इस मामले में संकेत परिवर्तन को साइनसॉइड के योग के रूप में दर्शाया गया है। साथ ही, "तेज" पद्धति का उपयोग किसी भी व्यावहारिक समस्या के असतत समाधान को लागू करना संभव बनाता है।
4. विंडोड फूरियर ट्रांसफॉर्म शास्त्रीय पद्धति का एक सामान्यीकृत रूप है। मानक समाधान के विपरीत, जब सिग्नल स्पेक्ट्रम का उपयोग किया जाता है, जिसे किसी दिए गए चर के अस्तित्व की पूरी श्रृंखला में लिया जाता है, तो यहां केवल स्थानीय आवृत्ति वितरण विशेष रुचि रखता है, बशर्ते कि मूल चर (समय) संरक्षित हो.
5. द्वि-आयामी फूरियर रूपांतरण। इस पद्धति का उपयोग द्वि-आयामी डेटा सरणियों के साथ काम करने के लिए किया जाता है। इस मामले में, पहले परिवर्तन एक दिशा में किया जाता है, और फिर मेंअन्य।
निष्कर्ष
आज, फूरियर पद्धति विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में मजबूती से स्थापित है। उदाहरण के लिए, 1962 में एक्स-रे विवर्तन के साथ संयुक्त फूरियर विश्लेषण का उपयोग करके डीएनए डबल हेलिक्स आकार की खोज की गई थी। उत्तरार्द्ध डीएनए फाइबर के क्रिस्टल पर केंद्रित थे, परिणामस्वरूप, विकिरण के विवर्तन द्वारा प्राप्त की गई छवि फिल्म पर दर्ज की गई थी। किसी दिए गए क्रिस्टल संरचना में फूरियर रूपांतरण का उपयोग करते समय इस चित्र ने आयाम के मूल्य के बारे में जानकारी दी। समान रासायनिक संरचनाओं के विश्लेषण से प्राप्त नक्शों के साथ डीएनए के विवर्तन मानचित्र की तुलना करके चरण डेटा प्राप्त किया गया था। नतीजतन, जीवविज्ञानियों ने क्रिस्टल संरचना को बहाल कर दिया है - मूल कार्य।
फूरियर ट्रांसफॉर्म अंतरिक्ष, अर्धचालक और प्लाज्मा भौतिकी, माइक्रोवेव ध्वनिकी, समुद्र विज्ञान, रडार, भूकंप विज्ञान और चिकित्सा सर्वेक्षण के अध्ययन में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं।
