अनसुलझी समस्याएं 7 सबसे दिलचस्प गणितीय समस्याएं हैं। उनमें से प्रत्येक को एक समय में प्रसिद्ध वैज्ञानिकों द्वारा, एक नियम के रूप में, परिकल्पना के रूप में प्रस्तावित किया गया था। कई दशकों से, दुनिया भर के गणितज्ञ अपने समाधान के लिए दिमाग लगा रहे हैं। सफल होने वालों को क्ले इंस्टीट्यूट द्वारा प्रस्तावित एक मिलियन अमेरिकी डॉलर से पुरस्कृत किया जाएगा।
बैकस्टोरी
1900 में, महान जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट ने 23 समस्याओं की एक सूची प्रस्तुत की।
उन्हें हल करने के लिए किए गए शोध का 20वीं सदी के विज्ञान पर व्यापक प्रभाव पड़ा। फिलहाल, उनमें से ज्यादातर रहस्य बनना बंद हो गए हैं। अनसुलझे या आंशिक रूप से हल किए गए थे:
- अंकगणितीय स्वयंसिद्धों की निरंतरता की समस्या;
- किसी भी संख्या क्षेत्र के स्थान पर पारस्परिकता का सामान्य नियम;
- भौतिक स्वयंसिद्धों का गणितीय अध्ययन;
- मनमाना बीजगणितीय संख्यात्मक के लिए द्विघात रूपों का अध्ययनऑड्स;
- फ्योडोर शुबर्ट की कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कठोर औचित्य की समस्या;
- आदि.
अनदेखे हैं: प्रसिद्ध क्रोनकर प्रमेय को तर्कसंगतता के किसी भी बीजीय क्षेत्र और रीमैन परिकल्पना तक विस्तारित करने की समस्या।
द क्ले इंस्टीट्यूट
यह एक निजी गैर-लाभकारी संगठन का नाम है जिसका मुख्यालय कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में है। इसकी स्थापना 1998 में हार्वर्ड गणितज्ञ ए. जेफी और व्यवसायी एल. क्ले ने की थी। संस्थान का उद्देश्य गणितीय ज्ञान को लोकप्रिय बनाना और विकसित करना है। इसे प्राप्त करने के लिए, संगठन वैज्ञानिकों और प्रायोजकों को अनुसंधान का वादा करने के लिए पुरस्कार देता है।
21वीं सदी की शुरुआत में, क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमैटिक्स ने उन लोगों को एक पुरस्कार की पेशकश की, जो सबसे कठिन अनसुलझी समस्याओं के रूप में जाने जाते हैं, उनकी सूची को मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं कहते हैं। हिल्बर्ट सूची में केवल रीमैन परिकल्पना को शामिल किया गया था।
मिलेनियम चुनौतियां
क्ले इंस्टीट्यूट की सूची में मूल रूप से शामिल हैं:
- हॉज साइकिल परिकल्पना;
- क्वांटम यांग-मिल्स सिद्धांत समीकरण;
- पोइंकारे परिकल्पना;
- वर्ग पी और एनपी की समानता की समस्या;
- रिमेंन परिकल्पना;
- नेवियर-स्टोक्स समीकरण, इसके समाधान के अस्तित्व और सुगमता पर;
- बिर्च-स्विनर्टन-डायर समस्या।
ये खुली गणितीय समस्याएं बहुत रुचिकर हैं, क्योंकि इनके कई व्यावहारिक कार्यान्वयन हो सकते हैं।
ग्रिगोरी पेरेलमैन ने क्या साबित किया
1 9 00 में, प्रसिद्ध दार्शनिक हेनरी पोंकारे ने सुझाव दिया कि सीमा के बिना कोई भी आसानी से जुड़ा कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड 3-आयामी क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक है। सामान्य मामले में इसका प्रमाण एक सदी तक नहीं मिला। केवल 2002-2003 में, सेंट पीटर्सबर्ग गणितज्ञ जी। पेरेलमैन ने पोंकारे समस्या के समाधान के साथ कई लेख प्रकाशित किए। उन पर एक विस्फोट बम का प्रभाव था। 2010 में, पोंकारे परिकल्पना को क्ले इंस्टीट्यूट की "अनसुलझी समस्याओं" की सूची से बाहर रखा गया था, और पेरेलमैन को खुद उनके कारण काफी पारिश्रमिक प्राप्त करने की पेशकश की गई थी, जिसे बाद में उनके निर्णय के कारणों को बताए बिना मना कर दिया गया था।
रूसी गणितज्ञ जो साबित करने में कामयाब रहे, उसकी सबसे समझ में आने वाली व्याख्या यह कल्पना करके दी जा सकती है कि एक रबर डिस्क को डोनट (टोरस) पर खींचा जाता है, और फिर वे इसके सर्कल के किनारों को एक बिंदु में खींचने की कोशिश करते हैं। जाहिर है ऐसा संभव नहीं है। दूसरी बात, अगर आप यह प्रयोग गेंद से करते हैं। इस मामले में, एक ऐसा प्रतीत होता है कि त्रि-आयामी क्षेत्र, एक डिस्क से उत्पन्न होता है, जिसकी परिधि एक काल्पनिक कॉर्ड द्वारा एक बिंदु तक खींची गई थी, एक सामान्य व्यक्ति की समझ में त्रि-आयामी होगी, लेकिन गणित के संदर्भ में द्वि-आयामी होगी।
Poincare ने सुझाव दिया कि एक त्रि-आयामी क्षेत्र एकमात्र त्रि-आयामी "वस्तु" है जिसकी सतह को एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है, और पेरेलमैन इसे साबित करने में कामयाब रहे। इस प्रकार, "अनसुलझी समस्याओं" की सूची में आज 6 समस्याएं शामिल हैं।
यांग-मिल्स सिद्धांत
यह गणितीय समस्या 1954 में इसके लेखकों द्वारा प्रस्तावित की गई थी। सिद्धांत का वैज्ञानिक सूत्रीकरण इस प्रकार है:किसी भी साधारण कॉम्पैक्ट गेज समूह के लिए, यांग और मिल्स द्वारा निर्मित क्वांटम स्थानिक सिद्धांत मौजूद है, और साथ ही इसमें शून्य द्रव्यमान दोष है।
एक सामान्य व्यक्ति के लिए समझ में आने वाली भाषा में बोलते हुए, प्राकृतिक वस्तुओं (कणों, निकायों, तरंगों, आदि) के बीच की बातचीत को 4 प्रकारों में विभाजित किया जाता है: विद्युत चुम्बकीय, गुरुत्वाकर्षण, कमजोर और मजबूत। कई वर्षों से, भौतिक विज्ञानी एक सामान्य क्षेत्र सिद्धांत बनाने की कोशिश कर रहे हैं। यह इन सभी अंतःक्रियाओं को समझाने का एक उपकरण बनना चाहिए। यांग-मिल्स सिद्धांत एक गणितीय भाषा है जिसके साथ प्रकृति की 4 मुख्य शक्तियों में से 3 का वर्णन करना संभव हो गया है। यह गुरुत्वाकर्षण पर लागू नहीं होता है। इसलिए, यह नहीं माना जा सकता है कि यांग और मिल्स एक क्षेत्र सिद्धांत बनाने में सफल रहे।
इसके अलावा, प्रस्तावित समीकरणों की गैर-रैखिकता उन्हें हल करना बेहद मुश्किल बनाती है। छोटे युग्मन स्थिरांक के लिए, उन्हें गड़बड़ी सिद्धांत की एक श्रृंखला के रूप में लगभग हल किया जा सकता है। हालांकि, यह अभी तक स्पष्ट नहीं है कि इन समीकरणों को मजबूत युग्मन के साथ कैसे हल किया जा सकता है।
नेवियर-स्टोक्स समीकरण
ये भाव वायु धाराओं, द्रव प्रवाह और अशांति जैसी प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं। कुछ विशेष मामलों के लिए, नेवियर-स्टोक्स समीकरण के विश्लेषणात्मक समाधान पहले ही मिल चुके हैं, लेकिन अभी तक कोई भी सामान्य के लिए ऐसा करने में सफल नहीं हुआ है। इसी समय, गति, घनत्व, दबाव, समय आदि के विशिष्ट मूल्यों के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन उत्कृष्ट परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। यह आशा की जानी बाकी है कि कोई नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को उल्टा लागू करने में सक्षम होगादिशा, यानी उनका उपयोग करके पैरामीटर की गणना करें, या साबित करें कि कोई समाधान विधि नहीं है।
बिर्च-स्विनर्टन-डायर समस्या
"अनसुलझी समस्या" की श्रेणी में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के ब्रिटिश वैज्ञानिकों द्वारा प्रस्तावित परिकल्पना भी शामिल है। 2300 साल पहले भी प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड ने समीकरण x2 + y2=z2 के हलों का पूरा विवरण दिया था।
यदि प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए हम वक्र मॉड्यूलो पर बिंदुओं की संख्या की गणना करते हैं, तो हमें पूर्णांकों का एक अनंत सेट मिलता है। यदि आप विशेष रूप से इसे एक जटिल चर के 1 फ़ंक्शन में "गोंद" करते हैं, तो आपको तीसरे क्रम के वक्र के लिए Hasse-Weil zeta फ़ंक्शन मिलता है, जिसे अक्षर L द्वारा दर्शाया जाता है। इसमें व्यवहार मोडुलो के बारे में सभी अभाज्य संख्याएँ एक साथ जानकारी होती हैं।
ब्रायन बिर्च और पीटर स्विनर्टन-डायर ने अण्डाकार वक्रों के बारे में अनुमान लगाया। इसके अनुसार, इसके तर्कसंगत समाधानों के सेट की संरचना और संख्या पहचान पर एल-फ़ंक्शन के व्यवहार से संबंधित हैं। वर्तमान में अप्रमाणित बिर्च-स्विनर्टन-डायर अनुमान तीसरी डिग्री बीजगणितीय समीकरणों के विवरण पर निर्भर करता है और अंडाकार वक्रों की रैंक की गणना करने का एकमात्र अपेक्षाकृत सरल सामान्य तरीका है।
इस कार्य के व्यावहारिक महत्व को समझने के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि आधुनिक क्रिप्टोग्राफी में असममित प्रणालियों का एक पूरा वर्ग अण्डाकार वक्रों पर आधारित होता है, और घरेलू डिजिटल हस्ताक्षर मानक उनके आवेदन पर आधारित होते हैं।
वर्ग p और np की समानता
अगर बाकी मिलेनियम चैलेंज विशुद्ध रूप से गणितीय हैं, तो यह एक हैएल्गोरिदम के वास्तविक सिद्धांत के संबंध में। वर्ग पी और एनपी की समानता से संबंधित समस्या, जिसे कुक-लेविन समस्या के रूप में भी जाना जाता है, को समझने योग्य भाषा में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है। मान लीजिए कि एक निश्चित प्रश्न के सकारात्मक उत्तर की शीघ्रता से जाँच की जा सकती है, अर्थात बहुपद समय (पीटी) में। तो क्या यह कथन सही है कि इसका उत्तर काफी जल्दी मिल सकता है? यह समस्या और भी सरल लगती है: क्या समस्या के समाधान की जाँच करना वास्तव में उसे खोजने की तुलना में अधिक कठिन नहीं है? यदि वर्ग p और np की समानता कभी सिद्ध हो जाती है, तो PV के लिए सभी चयन समस्याओं को हल किया जा सकता है। फिलहाल, कई विशेषज्ञ इस कथन की सच्चाई पर संदेह करते हैं, हालांकि वे इसके विपरीत साबित नहीं कर सकते।
रिमेंन परिकल्पना
1859 तक, ऐसा कोई पैटर्न नहीं मिला जो यह बताए कि अभाज्य संख्याओं को प्राकृत संख्याओं में कैसे वितरित किया जाता है। शायद यह इस तथ्य के कारण था कि विज्ञान अन्य मुद्दों से निपटता है। हालांकि, 19वीं सदी के मध्य तक, स्थिति बदल गई थी, और वे सबसे प्रासंगिक में से एक बन गए जिससे गणित ने निपटना शुरू किया।
रीमैन परिकल्पना, जो इस अवधि के दौरान प्रकट हुई, यह धारणा है कि अभाज्य संख्याओं के वितरण में एक निश्चित पैटर्न है।
आज, कई आधुनिक वैज्ञानिक मानते हैं कि यदि यह सिद्ध हो जाता है, तो आधुनिक क्रिप्टोग्राफी के कई मूलभूत सिद्धांतों को संशोधित करना आवश्यक होगा, जो इलेक्ट्रॉनिक कॉमर्स के तंत्र के एक महत्वपूर्ण हिस्से का आधार बनते हैं।
रिमेंन परिकल्पना के अनुसार, चरित्रप्राइम का वितरण वर्तमान में जो माना जाता है उससे काफी भिन्न हो सकता है। तथ्य यह है कि अभी तक अभाज्य संख्याओं के वितरण में कोई प्रणाली नहीं खोजी गई है। उदाहरण के लिए, "जुड़वाँ" की समस्या है, जिसके बीच का अंतर 2 है। ये संख्याएँ 11 और 13, 29 हैं। अन्य अभाज्य संख्याएँ समूह बनाती हैं। ये 101, 103, 107, आदि हैं। वैज्ञानिकों को लंबे समय से संदेह है कि ऐसे समूह बहुत बड़ी अभाज्य संख्याओं में मौजूद हैं। यदि वे मिल जाते हैं, तो आधुनिक क्रिप्टो कुंजियों की ताकत सवालों के घेरे में आ जाएगी।
हॉज साइकिल परिकल्पना
यह अभी भी अनसुलझी समस्या 1941 में तैयार की गई थी। हॉज की परिकल्पना उच्च आयामों के सरल निकायों को एक साथ "ग्लूइंग" करके किसी भी वस्तु के आकार को अनुमानित करने की संभावना का सुझाव देती है। इस पद्धति को लंबे समय से जाना जाता है और सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है। हालाँकि, यह ज्ञात नहीं है कि किस हद तक सरलीकरण किया जा सकता है।
अब आप जानते हैं कि इस समय कौन सी अनसुलझी समस्याएं मौजूद हैं। वे दुनिया भर के हजारों वैज्ञानिकों द्वारा शोध का विषय हैं। यह आशा की जानी बाकी है कि निकट भविष्य में उनका समाधान हो जाएगा, और उनके व्यावहारिक अनुप्रयोग से मानवता को तकनीकी विकास के एक नए दौर में प्रवेश करने में मदद मिलेगी।
