गणित के शिक्षक अपने छात्रों को पांचवीं कक्षा में ही "संयुक्त समस्या" की अवधारणा से परिचित कराते हैं। भविष्य में और अधिक जटिल कार्यों के साथ काम करने में सक्षम होने के लिए यह आवश्यक है। किसी समस्या की संयोजक प्रकृति को परिमित समुच्चय के तत्वों की गणना द्वारा इसे हल करने की संभावना के रूप में समझा जा सकता है।
इस आदेश के कार्यों का मुख्य संकेत उनके लिए प्रश्न है, जो "कितने विकल्प" जैसा लगता है? या "कितने तरीकों से?" संयोजक समस्याओं का समाधान सीधे तौर पर इस बात पर निर्भर करता है कि सॉल्वर ने अर्थ को समझा है या नहीं, क्या वह कार्य में वर्णित क्रिया या प्रक्रिया का सही ढंग से प्रतिनिधित्व करने में सक्षम था।
एक संयुक्त समस्या का समाधान कैसे करें?
विचाराधीन समस्या में सभी कनेक्शनों के प्रकार को सही ढंग से निर्धारित करना महत्वपूर्ण है, लेकिन यह जांचना आवश्यक है कि क्या इसमें तत्वों की पुनरावृत्ति है, क्या तत्व स्वयं बदलते हैं, क्या उनका क्रम एक बड़ी भूमिका निभाता है, और कुछ अन्य के संबंध में भीकारक।
एक जुझारू समस्या में कई प्रतिबंध हो सकते हैं जिन्हें कनेक्शन पर रखा जा सकता है। इस मामले में, आपको इसके समाधान की पूरी तरह से गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता होगी कि क्या इन प्रतिबंधों का सभी तत्वों के कनेक्शन पर कोई प्रभाव पड़ता है। यदि वास्तव में कोई प्रभाव है, तो यह जांचना आवश्यक है कि कौन सा प्रभाव है।
कहां से शुरू करें?
सबसे पहले आपको यह सीखना होगा कि सरलतम कॉम्बिनेटरियल समस्याओं को कैसे हल किया जाए। सरल सामग्री में महारत हासिल करने से आप अधिक जटिल कार्यों को समझना सीख सकेंगे। यह अनुशंसा की जाती है कि आप पहले उन प्रतिबंधों के साथ समस्याओं को हल करना शुरू करें जिन्हें एक सरल विकल्प पर विचार करते समय ध्यान में नहीं रखा जाता है।
यह भी अनुशंसा की जाती है कि पहले उन समस्याओं को हल करने का प्रयास करें जिनमें आपको कम संख्या में सामान्य तत्वों पर विचार करने की आवश्यकता है। इस तरह, आप नमूने बनाने के सिद्धांत को समझने में सक्षम होंगे और भविष्य में उन्हें स्वयं बनाना सीखेंगे। यदि जिस समस्या के लिए आपको कॉम्बिनेटरिक्स का उपयोग करने की आवश्यकता है, उसमें कई सरल लोगों का संयोजन है, तो इसे भागों में हल करने की अनुशंसा की जाती है।
संयुक्त समस्याओं का समाधान
ऐसी समस्याएं हल करने में आसान लग सकती हैं, लेकिन कॉम्बिनेटरिक्स में महारत हासिल करना काफी मुश्किल है, उनमें से कुछ का समाधान पिछले सैकड़ों वर्षों से नहीं हुआ है। सबसे प्रसिद्ध समस्याओं में से एक विशेष क्रम के जादू वर्गों की संख्या निर्धारित करना है जब संख्या n 4 से अधिक हो।
संयोजक समस्या का संभाव्यता के सिद्धांत से गहरा संबंध है, जो मध्ययुगीन काल में प्रकट हुआ। संभावनाकिसी घटना की उत्पत्ति की गणना केवल कॉम्बिनेटरिक्स का उपयोग करके की जा सकती है, इस मामले में इष्टतम समाधान प्राप्त करने के लिए सभी कारकों को स्थानों में वैकल्पिक करना आवश्यक होगा।
समस्या का समाधान
समाधान के साथ संयुक्त समस्याओं का उपयोग विद्यार्थियों और छात्रों को इस सामग्री के साथ काम करने का तरीका सिखाने के लिए किया जाता है। सामान्यतया, उन्हें एक सामान्य समाधान खोजने के लिए एक व्यक्ति की रुचि और इच्छा जगानी चाहिए। गणितीय गणनाओं के अलावा, मानसिक तनाव को लागू करना और अनुमान लगाना आवश्यक है।
निर्धारित कार्यों को हल करने की प्रक्रिया में, बच्चा अपनी गणितीय कल्पना और संयोजन क्षमताओं को विकसित करने में सक्षम होगा, यह भविष्य में उसके लिए गंभीर रूप से उपयोगी हो सकता है। धीरे-धीरे, हल किए जाने वाले कार्यों की जटिलता के स्तर को बढ़ाया जाना चाहिए ताकि मौजूदा ज्ञान को न भूलें और उनमें नए जोड़ दें।
विधि 1. बस्ट
संयोजनीय समस्याओं को हल करने के तरीके एक दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन इन सभी का उपयोग छात्र उत्तर पाने के लिए कर सकता है। सबसे सरल, लेकिन साथ ही, सबसे लंबे तरीकों में से एक पाशविक बल है। इसके साथ, आपको किसी भी योजना और तालिकाओं को संकलित किए बिना सभी संभावित समाधानों से गुजरना होगा।
एक नियम के रूप में, ऐसी समस्या में प्रश्न किसी घटना की उत्पत्ति के संभावित रूपों से संबंधित है, उदाहरण के लिए: संख्या 2, 4, 8, 9 का उपयोग करके कौन सी संख्याएं बनाई जा सकती हैं? सभी विकल्पों की खोज करके, संभावित संयोजनों से मिलकर एक उत्तर संकलित किया जाता है। संभावित विकल्पों की संख्या होने पर यह विधि बहुत अच्छी हैअपेक्षाकृत छोटा।
विधि 2. विकल्पों का वृक्ष
कुछ संयोजन समस्याओं को केवल चार्ट बनाकर हल किया जा सकता है जो प्रत्येक तत्व के बारे में विस्तृत जानकारी देता है। संभावित विकल्पों का एक पेड़ बनाना एक उत्तर खोजने का एक और तरीका है। यह उन समस्याओं को हल करने के लिए उपयुक्त है जो बहुत कठिन नहीं हैं, जिसमें एक अतिरिक्त शर्त है।
ऐसे कार्य का एक उदाहरण:
0, 1, 7, 8 से पांच अंकों की कौन-सी संख्या बनाई जा सकती है? इसे हल करने के लिए, आपको सभी संभावित संयोजनों से एक पेड़ बनाने की जरूरत है, और एक अतिरिक्त शर्त है - संख्या शून्य से शुरू नहीं हो सकती है। इस प्रकार, उत्तर में सभी संख्याएँ शामिल होंगी जो 1, 7 या 8 से शुरू होंगी।
विधि 3. तालिकाओं का निर्माण
सारणियों का उपयोग करके संयुक्त समस्याओं को भी हल किया जा सकता है। वे संभावित विकल्पों के पेड़ के समान हैं, क्योंकि वे स्थिति का एक दृश्य समाधान प्रदान करते हैं। सही उत्तर खोजने के लिए, आपको एक तालिका बनाने की आवश्यकता है, और इसे प्रतिबिंबित किया जाएगा: क्षैतिज और लंबवत स्थितियां समान होंगी।
संभावित उत्तर कॉलम और पंक्तियों के चौराहे पर प्राप्त होंगे। इस मामले में, समान डेटा वाले कॉलम और पंक्ति के चौराहे पर उत्तर प्राप्त नहीं होंगे, इन चौराहों को विशेष रूप से चिह्नित किया जाना चाहिए ताकि अंतिम उत्तर संकलित करते समय भ्रमित न हों। यह विधि अक्सर छात्रों द्वारा नहीं चुनी जाती है, कई विकल्प वाले पेड़ को पसंद करते हैं।
विधि 4. गुणन
संयोजक समस्याओं को हल करने का एक और तरीका है - गुणन का नियम। वह ठीक हैउस स्थिति में उपयुक्त है जब, शर्त के अनुसार, सभी संभावित समाधानों को सूचीबद्ध करना आवश्यक नहीं है, आपको बस उनकी अधिकतम संख्या खोजने की आवश्यकता है। यह विधि अपनी तरह की अनूठी है, इसका उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब आप कॉम्बीनेटरियल समस्याओं को हल करना शुरू करते हैं।
ऐसे कार्य का एक उदाहरण इस तरह दिख सकता है:
6 लोग दालान में परीक्षा की प्रतीक्षा कर रहे हैं। आप उन्हें सामान्य सूची में व्यवस्थित करने के लिए कितने तरीकों का उपयोग कर सकते हैं? उत्तर पाने के लिए, आपको यह स्पष्ट करना होगा कि उनमें से कितने पहले स्थान पर हो सकते हैं, कितने दूसरे में, तीसरे में, आदि। उत्तर संख्या 720 होगी।
कॉम्बिनेटरिक्स और इसके प्रकार
संयोजन कार्य केवल स्कूल सामग्री ही नहीं, विश्वविद्यालय के छात्र भी इसका अध्ययन करते हैं। विज्ञान में कई प्रकार के संयोजन हैं, और उनमें से प्रत्येक का अपना मिशन है। एन्यूमरेटिव कॉम्बिनेटरिक्स को अतिरिक्त शर्तों के साथ संभावित कॉन्फ़िगरेशन की गणना और गणना पर विचार करना चाहिए।
स्ट्रक्चरल कॉम्बिनेटरिक्स विश्वविद्यालय के कार्यक्रम का एक घटक है, यह मैट्रोइड्स और ग्राफ के सिद्धांत का अध्ययन करता है। चरम संयोजन भी विश्वविद्यालय सामग्री से संबंधित है, और यहां व्यक्तिगत सीमाएं हैं। एक अन्य खंड रैमसे सिद्धांत है, जो तत्वों के यादृच्छिक रूपांतरों में संरचनाओं के अध्ययन से संबंधित है। भाषाई संयोजन भी है, जो एक दूसरे के साथ कुछ तत्वों की संगतता के प्रश्न से संबंधित है।
संयोजक समस्याओं को पढ़ाने की विधि
ट्यूटोरियल के अनुसारयोजना, छात्रों की आयु, जो इस सामग्री के साथ प्राथमिक परिचित और संयोजन संबंधी समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन की गई है, ग्रेड 5 है। यह वहाँ है कि पहली बार इस विषय को छात्रों को विचार के लिए पेश किया जाता है, वे संयोजन की घटना से परिचित होते हैं और उन्हें सौंपे गए कार्यों को हल करने का प्रयास करते हैं। साथ ही, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि एक संयोजन समस्या निर्धारित करते समय, एक विधि का उपयोग किया जाता है जब बच्चे स्वयं प्रश्नों के उत्तर ढूंढ रहे होते हैं।
अन्य बातों के अलावा, इस विषय का अध्ययन करने के बाद, फैक्टोरियल की अवधारणा को पेश करना और समीकरणों, समस्याओं आदि को हल करते समय इसका उपयोग करना बहुत आसान हो जाएगा। इस प्रकार, आगे की शिक्षा में संयोजकता एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।
संयुक्त समस्याएं: उनकी आवश्यकता क्यों है?
यदि आप जानते हैं कि कॉम्बीनेटरियल समस्याएं क्या हैं, तो आपको उनके समाधान में किसी भी कठिनाई का अनुभव नहीं होगा। उन्हें हल करने की तकनीक तब उपयोगी हो सकती है जब आपको शेड्यूल, कार्य शेड्यूल, साथ ही जटिल गणितीय गणनाएं बनाने की आवश्यकता होती है जो इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों के लिए उपयुक्त नहीं हैं।
गणित और कंप्यूटर विज्ञान के गहन अध्ययन वाले स्कूलों में अतिरिक्त समस्याओं का अध्ययन किया जाता है, इसके लिए विशेष पाठ्यक्रम, शिक्षण सहायक सामग्री और कार्यों का संकलन किया जाता है। एक नियम के रूप में, इस प्रकार की कई समस्याओं को एकीकृत राज्य गणित परीक्षा में शामिल किया जा सकता है, आमतौर पर वे भाग सी में "छिपे हुए" होते हैं।
एक कॉम्बीनेटरियल समस्या को जल्दी से कैसे हल करें?
संयुक्त समस्या को देखने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण हैशीघ्रता से, चूंकि इसमें परोक्ष शब्द हो सकते हैं, परीक्षा उत्तीर्ण करते समय यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां हर मिनट मायने रखता है। समस्या के पाठ में दिखाई देने वाली जानकारी को एक कागज़ के टुकड़े पर अलग से लिखें, और फिर उन चार तरीकों से विश्लेषण करने का प्रयास करें जिन्हें आप जानते हैं।
यदि आप किसी तालिका या अन्य संरचना में जानकारी डाल सकते हैं, तो उसे हल करने का प्रयास करें। यदि आप इसे वर्गीकृत नहीं कर सकते हैं, तो इस मामले में इसे थोड़ी देर के लिए छोड़ना और किसी अन्य कार्य पर आगे बढ़ना सबसे अच्छा है ताकि कीमती समय बर्बाद न हो। इस प्रकार के कुछ निश्चित कार्यों को पहले ही हल करके इस स्थिति से बचा जा सकता है।
मुझे उदाहरण कहां मिल सकते हैं?
केवल एक चीज जो आपको यह सीखने में मदद करेगी कि संयोजन संबंधी समस्याओं को कैसे हल किया जाए, उदाहरण हैं। आप उन्हें विशेष गणितीय संग्रह में पा सकते हैं जो शैक्षिक साहित्य भंडार में बेचे जाते हैं। हालाँकि, वहाँ आप केवल विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए जानकारी पा सकते हैं, स्कूली बच्चों को अतिरिक्त रूप से कार्यों की तलाश करनी होगी, एक नियम के रूप में, उनके लिए कार्यों का आविष्कार अन्य शिक्षकों द्वारा किया जाता है।
उच्च शिक्षा के शिक्षकों का मानना है कि छात्रों को प्रशिक्षित करने और उन्हें लगातार अतिरिक्त शैक्षिक साहित्य प्रदान करने की आवश्यकता है। सबसे अच्छे संग्रहों में से एक है "मेथड्स ऑफ डिस्क्रीट एनालिसिस इन सॉल्विंग कॉम्बिनेटोरियल प्रॉब्लम्स", जिसे 1977 में लिखा गया था और देश के प्रमुख प्रकाशन गृहों द्वारा बार-बार प्रकाशित किया गया था। यह वहां है कि आप उस समय प्रासंगिक कार्यों को ढूंढ सकते हैं और आज भी प्रासंगिक हैं।
क्या होगा अगर आपको एक कॉम्बीनेटरियल समस्या बनाने की आवश्यकता है?
अक्सर, जुझारू समस्याओं की रचना करने की आवश्यकता होती हैशिक्षक जो छात्रों को बॉक्स के बाहर सोचने के लिए सिखाने के लिए बाध्य हैं। यहां सब कुछ कंपाइलर की रचनात्मक क्षमता पर निर्भर करेगा। मौजूदा संग्रहों पर ध्यान देने और एक समस्या लिखने का प्रयास करने की अनुशंसा की जाती है ताकि यह एक ही बार में इसे हल करने के कई तरीकों को जोड़ती है और पुस्तक से अलग डेटा होता है।
इस संबंध में विश्वविद्यालय के शिक्षक स्कूल के शिक्षकों की तुलना में बहुत अधिक स्वतंत्र हैं, वे अक्सर अपने छात्रों को विस्तृत समाधान विधियों और स्पष्टीकरणों के साथ स्वयं संयोजन समस्याओं के साथ आने का कार्य देते हैं। यदि आप न तो एक हैं और न ही दूसरे, तो आप उन लोगों से मदद मांग सकते हैं जो वास्तव में इस मुद्दे को समझते हैं, साथ ही एक निजी ट्यूटर भी किराए पर ले सकते हैं। इसी तरह की कई समस्याओं को हल करने के लिए एक अकादमिक घंटा पर्याप्त है।
कॉम्बिनेटरिक्स - भविष्य का विज्ञान?
गणित और भौतिकी के क्षेत्र में कई विशेषज्ञों का मानना है कि यह संयुक्त समस्या है जो सभी तकनीकी विज्ञानों के विकास में एक प्रेरणा बन सकती है। कुछ समस्याओं को हल करने के लिए एक गैर-मानक दृष्टिकोण लेना पर्याप्त है, और फिर उन सवालों के जवाब देना संभव होगा जो कई सदियों से वैज्ञानिकों को सता रहे हैं। उनमें से कुछ गंभीरता से तर्क देते हैं कि कॉम्बिनेटरिक्स सभी आधुनिक विज्ञानों, विशेष रूप से अंतरिक्ष यात्रियों के लिए एक सहायता है। कॉम्बीनेटरियल समस्याओं का उपयोग करके जहाजों के उड़ान पथ की गणना करना बहुत आसान होगा, और वे आपको कुछ खगोलीय पिंडों के सटीक स्थान को निर्धारित करने की भी अनुमति देंगे।
गैर-मानक दृष्टिकोण का कार्यान्वयन एशियाई देशों में लंबे समय से शुरू हो गया है, जहां छात्र भीगुणा, घटाव, जोड़ और भाग को कॉम्बीनेटरियल विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है। कई यूरोपीय वैज्ञानिकों के आश्चर्य के लिए, तकनीक वास्तव में काम करती है। यूरोप के स्कूलों ने अब तक केवल अपने सहयोगियों के अनुभव से सीखना शुरू किया है। जब बिल्कुल कॉम्बिनेटरिक्स गणित की मुख्य शाखाओं में से एक बन जाएगा, तो यह अनुमान लगाना मुश्किल है। अब विज्ञान का अध्ययन विश्व के प्रमुख वैज्ञानिक कर रहे हैं जो इसे लोकप्रिय बनाना चाहते हैं।
