ज्यामिति में, एक बिंदु के बाद, एक सीधी रेखा शायद सबसे सरल तत्व है। इसका उपयोग विमान पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किसी भी जटिल आंकड़े के निर्माण में किया जाता है। इस लेख में, हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण पर विचार करेंगे और इसका उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करेंगे। चलिए शुरू करते हैं!
ज्यामिति में सीधी रेखा
हर कोई जानता है कि आयत, त्रिभुज, प्रिज्म, घन आदि जैसी आकृतियाँ सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करने से बनती हैं। ज्यामिति में एक सीधी रेखा एक आयामी वस्तु है जिसे एक निश्चित बिंदु को समान या विपरीत दिशा वाले वेक्टर में स्थानांतरित करके प्राप्त किया जा सकता है। इस परिभाषा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि अंतरिक्ष में कोई बिंदु P है। इस स्थान में एक मनमाना सदिश u¯ लीजिए। फिर निम्नलिखित गणितीय संक्रियाओं के परिणामस्वरूप रेखा का कोई भी बिंदु Q प्राप्त किया जा सकता है:
क्यू=पी + λयू¯।
यहाँ λ एक मनमाना संख्या है जो धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है। अगर समानतानिर्देशांक के रूप में ऊपर लिखें, तो हमें एक सीधी रेखा के निम्नलिखित समीकरण मिलते हैं:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + (ए, बी, सी)।
इस समानता को सदिश रूप में एक सरल रेखा का समीकरण कहते हैं। और सदिश u¯ को मार्गदर्शक कहा जाता है।
एक समतल में एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण
हर छात्र इसे बिना किसी कठिनाई के लिख सकता है। लेकिन अक्सर समीकरण इस तरह लिखा जाता है:
y=kx + b.
जहां k और b मनमानी संख्याएं हैं। संख्या b को मुक्त सदस्य कहा जाता है। पैरामीटर k, x-अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन द्वारा बनाए गए कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है।
उपरोक्त समीकरण चर y के संबंध में व्यक्त किया गया है। यदि हम इसे अधिक सामान्य रूप में प्रस्तुत करते हैं, तो हमें निम्नलिखित संकेत मिलते हैं:
एएक्स + बीवाई + सी=0.
यह दिखाना आसान है कि समतल पर एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखने का यह रूप आसानी से पिछले रूप में बदल जाता है। ऐसा करने के लिए, बाएँ और दाएँ भागों को कारक B से विभाजित किया जाना चाहिए और y व्यक्त किया जाना चाहिए।
उपरोक्त चित्र दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
3डी स्पेस में एक लाइन
चलो अपनी पढ़ाई जारी रखें। हमने इस प्रश्न पर विचार किया कि एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण सामान्य रूप में कैसे दिया जाता है। यदि हम लेख के पिछले पैराग्राफ में दिए गए अंकन को स्थानिक स्थिति के लिए लागू करें, तो हमें क्या मिलेगा? सब कुछ सरल है - अब एक सीधी रेखा नहीं, बल्कि एक समतल। वास्तव में, निम्न व्यंजक एक समतल का वर्णन करता है जो z-अक्ष के समानांतर है:
एएक्स + बीवाई + सी=0.
यदि C=0, तो ऐसा विमान गुजरता हैजेड-अक्ष के माध्यम से। यह एक महत्वपूर्ण विशेषता है।
अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के साथ कैसे हो? यह समझने के लिए कि इसे कैसे पूछना है, आपको कुछ याद रखना होगा। दो विमान एक निश्चित सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। इसका क्या मतलब है? केवल यह कि सामान्य समीकरण तलों के लिए दो समीकरणों के निकाय को हल करने का परिणाम है। आइए इस प्रणाली को लिखें:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
यह प्रणाली अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है। ध्यान दें कि विमान एक दूसरे के समानांतर नहीं होने चाहिए, अर्थात उनके सामान्य वैक्टर एक दूसरे के सापेक्ष किसी कोण पर झुके होने चाहिए। अन्यथा, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं होगा।
ऊपर हमने एक सीधी रेखा के लिए समीकरण का सदिश रूप दिया है। इस प्रणाली को हल करते समय इसका उपयोग करना सुविधाजनक है। ऐसा करने के लिए, आपको सबसे पहले इन विमानों के मानदंडों के वेक्टर उत्पाद को खोजने की जरूरत है। इस ऑपरेशन का परिणाम एक सीधी रेखा का दिशा वेक्टर होगा। फिर, रेखा से संबंधित किसी भी बिंदु की गणना की जानी चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको किसी भी चर को एक निश्चित मान के बराबर सेट करने की आवश्यकता है, शेष दो चर को कम प्रणाली को हल करके पाया जा सकता है।
एक सदिश समीकरण का सामान्य समीकरण में अनुवाद कैसे करें? बारीकियां
यह एक वास्तविक समस्या है जो तब उत्पन्न हो सकती है जब आपको दो बिंदुओं के ज्ञात निर्देशांक का उपयोग करके एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखने की आवश्यकता हो।आइए हम एक उदाहरण से इस समस्या को हल करने का तरीका दिखाते हैं। दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात होने दें:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2)।
सदिश रूप में समीकरण बनाना काफी आसान है। दिशा सदिश निर्देशांक हैं:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
ध्यान दें कि यदि हम बिंदु P के निर्देशांक से Q निर्देशांक घटाते हैं तो कोई अंतर नहीं है, वेक्टर केवल अपनी दिशा को विपरीत दिशा में बदल देगा। अब आपको कोई भी बिंदु लेना चाहिए और सदिश समीकरण लिखना चाहिए:
(x, y)=(x1, y1) + (x2 -x1, y2-y1)।
एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखने के लिए, पैरामीटर λ को दोनों स्थितियों में व्यक्त किया जाना चाहिए। और फिर परिणामों की तुलना करें। हमारे पास है:
x=x1 + (x2-x1)=>=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=>=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1)।
यह केवल कोष्ठकों को खोलने और समीकरण के सभी पदों को दो ज्ञात बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक सामान्य व्यंजक प्राप्त करने के लिए समीकरण के एक तरफ स्थानांतरित करने के लिए रहता है।
तीन-आयामी समस्या के मामले में, समाधान एल्गोरिदम संरक्षित है, केवल इसका परिणाम विमानों के लिए दो समीकरणों की प्रणाली होगी।
कार्य
सामान्य समीकरण बनाना आवश्यक हैएक सीधी रेखा जो x-अक्ष को (-3, 0) पर काटती है और y-अक्ष के समानांतर है।
आइए समीकरण को सदिश रूप में लिखकर समस्या को हल करना शुरू करते हैं। चूँकि रेखा y-अक्ष के समानांतर है, तो इसके लिए निर्देशन सदिश निम्नलिखित होगा:
यू¯=(0, 1)।
फिर वांछित लाइन इस प्रकार लिखी जाएगी:
(x, y)=(-3, 0) + (0, 1)।
अब इस व्यंजक को सामान्य रूप में अनुवाद करते हैं, इसके लिए हम पैरामीटर: व्यक्त करते हैं
- x=-3;
- y=.
इस प्रकार, चर y का कोई भी मान रेखा से संबंधित होता है, हालांकि, चर x का केवल एक मान इससे मेल खाता है। इसलिए, सामान्य समीकरण रूप लेगा:
x + 3=0.
अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के साथ समस्या
यह ज्ञात है कि दो प्रतिच्छेदी तल निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिए गए हैं:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
उस सीधी रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात करना आवश्यक है जिस पर ये तल प्रतिच्छेद करते हैं। चलिए शुरू करते हैं।
जैसा कि कहा गया था, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण पहले से ही तीन अज्ञात के साथ दो की प्रणाली के रूप में दिया गया है। सबसे पहले, हम उस दिशा वेक्टर को निर्धारित करते हैं जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं। सदिश निर्देशांकों को समतलों से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5)।
चूंकि किसी सदिश को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर उसकी दिशा उलट जाती है, हम लिख सकते हैं:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5)।
तोएक सीधी रेखा के लिए एक सदिश व्यंजक खोजने के लिए, दिशा सदिश के अलावा, इस सीधी रेखा के कुछ बिंदु को जानना चाहिए। ज्ञात कीजिए क्योंकि इसके निर्देशांक समस्या की स्थिति में समीकरणों के निकाय को संतुष्ट करते हैं, तो हम उन्हें पाएंगे। उदाहरण के लिए, x=0 डालते हैं, तो हमें मिलता है:
y=z;
y=3/2=1, 5.
इस प्रकार, वांछित सीधी रेखा से संबंधित बिंदु के निर्देशांक होते हैं:
पी=(0, 1, 5, 1, 5)।
तब हमें इस समस्या का उत्तर मिलता है, वांछित रेखा का सदिश समीकरण ऐसा दिखेगा:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + (2, 1, 5)।
समाधान की शुद्धता को आसानी से जांचा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको पैरामीटर λ का एक मनमाना मान चुनना होगा और सीधी रेखा के बिंदु के प्राप्त निर्देशांक को विमानों के लिए दोनों समीकरणों में स्थानापन्न करना होगा, आपको दोनों मामलों में एक पहचान मिलेगी।
