सेकंड, स्पर्शरेखा - यह सब ज्यामिति पाठों में सैकड़ों बार सुना जा सकता है। लेकिन स्कूल से स्नातक खत्म हो गया है, साल बीत चुके हैं, और यह सब ज्ञान भुला दिया गया है। क्या याद रखना चाहिए?
सार
शब्द "एक वृत्त की स्पर्शरेखा" शायद सभी के लिए परिचित है। लेकिन यह संभावना नहीं है कि हर कोई जल्दी से इसकी परिभाषा तैयार कर पाएगा। इस बीच, एक स्पर्शरेखा एक ऐसी सीधी रेखा होती है जो एक ही तल में एक वृत्त के साथ होती है जो इसे केवल एक बिंदु पर काटती है। उनमें से एक विशाल विविधता हो सकती है, लेकिन उन सभी में समान गुण हैं, जिनके बारे में नीचे चर्चा की जाएगी। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, संपर्क बिंदु वह स्थान है जहां वृत्त और रेखा प्रतिच्छेद करते हैं। प्रत्येक मामले में, यह एक है, लेकिन यदि अधिक हैं, तो यह एक सेकेंट होगा।
खोज और अध्ययन का इतिहास
एक स्पर्शरेखा की अवधारणा पुरातनता में दिखाई दी। इन सीधी रेखाओं का निर्माण, पहले एक वृत्त तक, और फिर एक शासक और एक कम्पास की सहायता से दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय तक, ज्यामिति के विकास के प्रारंभिक चरणों में भी किया गया था। बेशक, इतिहास ने खोजकर्ता के नाम को संरक्षित नहीं किया है, लेकिनयह स्पष्ट है कि उस समय भी लोग वृत्त की स्पर्श रेखा के गुणों से भली-भांति परिचित थे।
आधुनिक समय में, इस घटना में रुचि फिर से बढ़ गई - इस अवधारणा का अध्ययन करने का एक नया दौर शुरू हुआ, नए वक्रों की खोज के साथ मिलकर। इसलिए, गैलीलियो ने एक चक्रवात की अवधारणा पेश की, और फ़र्मेट और डेसकार्टेस ने इसके लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण किया। हलकों के लिए, ऐसा लगता है कि इस क्षेत्र में पूर्वजों के लिए कोई रहस्य नहीं बचा है।
गुण
प्रतिच्छेदन बिंदु पर खींची गई त्रिज्या रेखा के लंबवत होगी। यह
है
मुख्य, लेकिन एकमात्र ऐसा गुण नहीं है जो किसी वृत्त की स्पर्श रेखा के पास होता है। एक अन्य महत्वपूर्ण विशेषता में पहले से ही दो सीधी रेखाएँ शामिल हैं। अतः वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं, जबकि उनके खंड बराबर होंगे। इस विषय पर एक और प्रमेय है, लेकिन यह शायद ही कभी एक मानक स्कूल पाठ्यक्रम के ढांचे में शामिल होता है, हालांकि यह कुछ समस्याओं को हल करने के लिए बेहद सुविधाजनक है। ऐसा लगता है। वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु से इसकी ओर एक स्पर्श रेखा और एक छेदक खींचा जाता है। खंड AB, AC और AD बनते हैं। A रेखाओं का प्रतिच्छेदन है, B संपर्क बिंदु है, C और D प्रतिच्छेदन हैं। इस स्थिति में, निम्नलिखित समानता मान्य होगी: वृत्त की स्पर्शरेखा की लंबाई, वर्ग, खंड AC और AD के गुणनफल के बराबर होगी।
उपरोक्त का एक महत्वपूर्ण परिणाम है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु के लिए, आप एक स्पर्शरेखा बना सकते हैं, लेकिन केवल एक। इसका प्रमाण काफी सरल है: सैद्धांतिक रूप से इस पर त्रिज्या से एक लंबवत गिराने पर, हम पाते हैं कि गठितत्रिकोण मौजूद नहीं हो सकता। और इसका मतलब है कि केवल स्पर्शरेखा ही है।
भवन
ज्यामिति में अन्य समस्याओं के बीच, एक विशेष श्रेणी है, एक नियम के रूप में,
नहीं
विद्यार्थियों और छात्रों द्वारा प्यार किया। इस श्रेणी के कार्यों को हल करने के लिए, आपको केवल एक कंपास और एक शासक की आवश्यकता है। ये निर्माण कार्य हैं। स्पर्श रेखा बनाने की भी विधियाँ हैं।
तो, इसकी सीमाओं के बाहर एक वृत्त और एक बिंदु दिया गया है। और उनके माध्यम से एक स्पर्शरेखा खींचना आवश्यक है। यह कैसे करना है? सबसे पहले, आपको वृत्त O के केंद्र और दिए गए बिंदु के बीच एक खंड बनाना होगा। फिर, एक कंपास का उपयोग करके, इसे आधा में विभाजित करें। ऐसा करने के लिए, आपको त्रिज्या निर्धारित करने की आवश्यकता है - मूल सर्कल के केंद्र और दिए गए बिंदु के बीच की आधी से थोड़ी अधिक दूरी। उसके बाद, आपको दो प्रतिच्छेदन चाप बनाने की आवश्यकता है। इसके अलावा, कम्पास की त्रिज्या को बदलने की आवश्यकता नहीं है, और सर्कल के प्रत्येक भाग का केंद्र क्रमशः प्रारंभिक बिंदु और ओ होगा। चापों के चौराहों को जोड़ा जाना चाहिए, जो खंड को आधे में विभाजित करेगा। इस दूरी के बराबर कम्पास पर त्रिज्या सेट करें। अगला, चौराहे के बिंदु पर केंद्र के साथ, एक और सर्कल बनाएं। प्रारंभिक बिंदु और O दोनों उस पर स्थित होंगे। इस स्थिति में, समस्या में दिए गए वृत्त के साथ दो और प्रतिच्छेदन होंगे। वे प्रारंभ में दिए गए बिंदु के लिए स्पर्श बिंदु होंगे।
दिलचस्प
यह वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का निर्माण था जिसके कारण
का जन्म हुआ
डिफरेंशियल कैलकुलस। इस विषय पर पहला काम थाप्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ लाइबनिज द्वारा प्रकाशित। उन्होंने भिन्नात्मक और अपरिमेय मूल्यों की परवाह किए बिना, मैक्सिमा, मिनिमा और स्पर्शरेखा खोजने की संभावना प्रदान की। खैर, अब इसका उपयोग कई अन्य गणनाओं के लिए भी किया जाता है।
इसके अलावा, वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्शरेखा के ज्यामितीय अर्थ से संबंधित होती है। वहीं से इसका नाम आता है। लैटिन से अनुवादित, स्पर्शरेखा का अर्थ है "स्पर्शरेखा"। इस प्रकार, यह अवधारणा न केवल ज्यामिति और विभेदक कलन के साथ, बल्कि त्रिकोणमिति से भी जुड़ी हुई है।
दो मंडलियां
हमेशा स्पर्शरेखा केवल एक आकृति को प्रभावित नहीं करती है। यदि एक वृत्त में बड़ी संख्या में सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं, तो इसके विपरीत क्यों नहीं? कर सकना। लेकिन इस मामले में कार्य गंभीर रूप से जटिल है, क्योंकि दो वृत्तों की स्पर्शरेखा किसी भी बिंदु से नहीं गुजर सकती है, और इन सभी आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति बहुत हो सकती है
अलग।
प्रकार और किस्में
जब दो वृत्तों और एक या अधिक रेखाओं की बात आती है, भले ही यह ज्ञात हो कि ये स्पर्श रेखाएँ हैं, यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि ये सभी आकृतियाँ एक दूसरे के संबंध में कैसे स्थित हैं। इसके आधार पर, कई किस्में हैं। तो, वृत्तों में एक या दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं या बिल्कुल भी नहीं हो सकते हैं। पहले मामले में, वे प्रतिच्छेद करेंगे, और दूसरे में, वे स्पर्श करेंगे। और यहाँ दो किस्में हैं। यदि एक वृत्त, जैसा वह था, दूसरे में सन्निहित है, तो स्पर्श को आंतरिक कहा जाता है, यदि नहीं, तो बाहरी। आपसी समझन केवल चित्र के आधार पर, बल्कि उनकी त्रिज्याओं के योग और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के बारे में भी जानकारी होना संभव है। यदि ये दोनों राशियाँ बराबर हों, तो वृत्त स्पर्श करते हैं। यदि पहला बड़ा है, तो वे प्रतिच्छेद करते हैं, और यदि यह छोटा है, तो उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।
सीधी रेखाओं के साथ भी ऐसा ही। किन्हीं दो वृत्तों के लिए जिनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं, आप
कर सकते हैं
चार स्पर्श रेखाएँ बनाइए। उनमें से दो आकृतियों के बीच प्रतिच्छेद करेंगे, उन्हें आंतरिक कहा जाता है। कुछ अन्य बाहरी हैं।
यदि हम उन मंडलियों के बारे में बात कर रहे हैं जिनमें एक समान बिंदु है, तो कार्य बहुत सरल है। तथ्य यह है कि इस मामले में किसी भी पारस्परिक व्यवस्था के लिए, उनके पास केवल एक स्पर्शरेखा होगी। और वह उनके चौराहे के स्थान से होकर गुजरेगी। तो निर्माण में कठिनाई नहीं होगी।
यदि आकृतियों में प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं, तो उनके लिए एक सीधी रेखा बनाई जा सकती है, वृत्त की स्पर्शरेखा, दोनों एक और दूसरी, लेकिन केवल बाहरी। इस समस्या का समाधान उसी के समान है जिस पर नीचे चर्चा की जाएगी।
समस्या का समाधान
दो वृत्तों की आंतरिक और बाह्य दोनों स्पर्श रेखाएँ बनाना इतना आसान नहीं है, हालाँकि इस समस्या को हल किया जा सकता है। तथ्य यह है कि इसके लिए एक सहायक आकृति का उपयोग किया जाता है, इसलिए आप स्वयं इस विधि के बारे में सोचें
काफी समस्याग्रस्त। तो, अलग-अलग त्रिज्या वाले दो वृत्त दिए गए हैं और O1 और O2 केंद्र हैं। उनके लिए, आपको दो जोड़ी स्पर्श रेखाएँ बनानी होंगी।
सबसे पहले, बड़े के केंद्र के पाससर्किलों को सहायक बनाने की जरूरत है। इस मामले में, दो प्रारंभिक आंकड़ों की त्रिज्या के बीच का अंतर कम्पास पर स्थापित किया जाना चाहिए। सहायक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ छोटे वृत्त के केंद्र से निर्मित होती हैं। उसके बाद, O1 और O2 से, इन रेखाओं पर लंब तब तक खींचे जाते हैं जब तक कि वे मूल आकृतियों के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। स्पर्शरेखा के मुख्य गुण से निम्नानुसार दोनों वृत्तों पर वांछित बिन्दु प्राप्त होते हैं। समस्या हल हो गई, कम से कम इसका पहला भाग।
आंतरिक स्पर्श रेखाएं बनाने के लिए, आपको व्यावहारिक रूप से हल करना होगा
एक समान कार्य। फिर से, एक सहायक आकृति की आवश्यकता होती है, लेकिन इस बार इसकी त्रिज्या मूल के योग के बराबर होगी। दिए गए वृत्तों में से किसी एक के केंद्र से इसके लिए स्पर्शरेखाएँ निर्मित की जाती हैं। समाधान के आगे के पाठ्यक्रम को पिछले उदाहरण से समझा जा सकता है।
किसी वृत्त की स्पर्शरेखा या दो या दो से अधिक की स्पर्शरेखा इतना कठिन कार्य नहीं है। बेशक, गणितज्ञों ने ऐसी समस्याओं को मैन्युअल रूप से हल करना बंद कर दिया है और विशेष कार्यक्रमों की गणना पर भरोसा करते हैं। लेकिन यह मत सोचो कि अब इसे स्वयं करने में सक्षम होना आवश्यक नहीं है, क्योंकि कंप्यूटर के लिए किसी कार्य को सही ढंग से तैयार करने के लिए, आपको बहुत कुछ करने और समझने की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से, ऐसी आशंकाएँ हैं कि ज्ञान नियंत्रण के परीक्षण रूप में अंतिम परिवर्तन के बाद, निर्माण कार्य छात्रों के लिए अधिक से अधिक कठिनाइयाँ पैदा करेंगे।
जहां तक अधिक वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं ज्ञात करने की बात है, यह हमेशा संभव नहीं होता, भले ही वे एक ही तल में हों। लेकिन कुछ मामलों में आप ऐसी सीधी रेखा पा सकते हैं।
जीवन के उदाहरण
दो वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा अक्सर व्यवहार में आती है, हालांकि यह हमेशा ध्यान देने योग्य नहीं होती है। कन्वेयर, ब्लॉक सिस्टम, पुली ट्रांसमिशन बेल्ट, सिलाई मशीन में थ्रेड टेंशन और यहां तक कि सिर्फ एक साइकिल चेन - ये सभी जीवन के उदाहरण हैं। तो यह मत सोचो कि ज्यामितीय समस्याएं केवल सिद्धांत में ही रहती हैं: इंजीनियरिंग, भौतिकी, निर्माण और कई अन्य क्षेत्रों में, वे व्यावहारिक अनुप्रयोग पाते हैं।
