ज्यामिति के स्वयंसिद्धों में से एक में कहा गया है कि किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना संभव है। यह स्वयंसिद्ध इस बात की गवाही देता है कि एक अद्वितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जो विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट एक-आयामी ज्यामितीय वस्तु का वर्णन करती है। लेख में इस प्रश्न पर विचार करें कि दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखा जाए।
एक बिंदु और एक रेखा क्या है?
अंतरिक्ष में और समतल पर समीकरण की एक सीधी रेखा के निर्माण के प्रश्न पर विचार करने से पहले, जो विभिन्न बिंदुओं के एक जोड़े से होकर गुजरता है, किसी को निर्दिष्ट ज्यामितीय वस्तुओं को परिभाषित करना चाहिए।
एक बिंदु विशिष्ट रूप से निर्देशांक अक्षों की एक प्रणाली में निर्देशांक के एक सेट द्वारा निर्धारित किया जाता है। उनके अतिरिक्त, बिंदु के लिए और कोई विशेषताएँ नहीं हैं। वह एक शून्य-आयामी वस्तु है।
एक सीधी रेखा की बात करते समय, प्रत्येक व्यक्ति कागज की एक सफेद शीट पर चित्रित एक रेखा की कल्पना करता है। साथ ही, एक सटीक ज्यामितीय परिभाषा देना संभव हैयह वस्तु। एक सीधी रेखा बिंदुओं का एक ऐसा संग्रह है जिसके लिए उनमें से प्रत्येक का अन्य सभी के साथ कनेक्शन समानांतर वैक्टर का एक सेट देगा।
एक सीधी रेखा के सदिश समीकरण को सेट करते समय इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।
चूंकि किसी भी रेखा को मनमानी लंबाई के एक खंड के साथ चिह्नित किया जा सकता है, इसे एक-आयामी ज्यामितीय वस्तु कहा जाता है।
संख्या वेक्टर फ़ंक्शन
एक सीधी रेखा के दो बिंदुओं से गुजरने वाले समीकरण को विभिन्न रूपों में लिखा जा सकता है। त्रि-आयामी और द्वि-आयामी रिक्त स्थान में, मुख्य और सहज रूप से समझने योग्य संख्यात्मक अभिव्यक्ति एक वेक्टर है।
मान लें कि कुछ निर्देशित खंड u¯(a; b; c) है। 3डी अंतरिक्ष में, सदिश u¯ किसी भी बिंदु पर शुरू हो सकता है, इसलिए इसके निर्देशांक समानांतर वैक्टर के अनंत सेट को परिभाषित करते हैं। हालाँकि, यदि हम एक विशिष्ट बिंदु P(x0; y0; z0) चुनते हैं और डालते हैं यह वेक्टर u¯ की शुरुआत के रूप में है, फिर, इस वेक्टर को एक मनमाना वास्तविक संख्या से गुणा करके, कोई व्यक्ति अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सभी बिंदु प्राप्त कर सकता है। यानी सदिश समीकरण को इस प्रकार लिखा जाएगा:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + (ए; बी; सी)
जाहिर है, विमान के मामले के लिए, संख्यात्मक कार्य रूप लेता है:
(x; y)=(x0; y0) + (a; b)
अन्य की तुलना में इस प्रकार के समीकरण का लाभ (खंडों में, विहित,सामान्य रूप) इस तथ्य में निहित है कि इसमें दिशा वेक्टर के निर्देशांक स्पष्ट रूप से शामिल हैं। उत्तरार्द्ध का उपयोग अक्सर यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि रेखाएं समानांतर या लंबवत हैं।
खंडों में सामान्य और द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के लिए विहित कार्य
समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी आपको एक निश्चित, विशिष्ट रूप में दो बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण को लिखने की आवश्यकता होती है। इसलिए, इस ज्यामितीय वस्तु को द्वि-आयामी अंतरिक्ष में निर्दिष्ट करने के अन्य तरीके दिए जाने चाहिए (सरलता के लिए, हम विमान पर मामले पर विचार करते हैं)।
आइए एक सामान्य समीकरण से शुरू करते हैं। इसका रूप है:
एएक्स + बीवाई + सी=0
एक नियम के रूप में, समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण इस रूप में लिखा जाता है, केवल y को x के माध्यम से स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।
अब उपरोक्त व्यंजक को इस प्रकार रूपांतरित करें:
एएक्स + बीवाई=-सी=>
x/(-सी/ए) + वाई/(-सी/बी)=1
इस व्यंजक को खंडों में एक समीकरण कहा जाता है, क्योंकि प्रत्येक चर के लिए हर यह दर्शाता है कि प्रारंभिक बिंदु (0; 0) के सापेक्ष संबंधित समन्वय अक्ष पर रेखा खंड कितनी देर तक कटता है।
यह विहित समीकरण का उदाहरण देना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम सदिश समानता को स्पष्ट रूप से लिखते हैं:
x=x0+ a;
y=y0+ b
आइए यहां से पैरामीटर λ व्यक्त करते हैं और परिणामी समानताएं समान करते हैं:
λ=(एक्स - एक्स0)/ए;
λ=(y - y0)/b;
(एक्स -x0)/a=(y - y0)/b
अंतिम समानता को विहित या सममित रूप में समीकरण कहा जाता है।
उनमें से प्रत्येक को सदिश में बदला जा सकता है और इसके विपरीत।
दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: एक संकलन तकनीक
लेख के प्रश्न पर वापस जाएं। मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु हैं:
M(x1; y1; z1) और N(x 2; y2; z2)
एकमात्र सीधी रेखा इनसे होकर गुजरती है, जिसका समीकरण सदिश रूप में बनाना बहुत आसान है। ऐसा करने के लिए, हम निर्देशित खंड MN¯ के निर्देशांक की गणना करते हैं, हमारे पास है:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि यह वेक्टर सीधी रेखा के लिए मार्गदर्शक होगा, जिसका समीकरण प्राप्त करना होगा। यह जानते हुए कि यह भी M और N से होकर गुजरता है, आप सदिश व्यंजक के लिए इनमें से किसी के निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं। तब वांछित समीकरण रूप लेता है:
(x; y; z)=M + MN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + (x2-x1; y2-y1; जेड2-जेड1)
द्वि-आयामी अंतरिक्ष में मामले के लिए, हम चर z की भागीदारी के बिना समान समानता प्राप्त करते हैं।
जैसे ही रेखा के लिए सदिश समानता लिखी जाती है, इसे किसी अन्य रूप में अनुवादित किया जा सकता है जो समस्या के प्रश्न की आवश्यकता है।
कार्य:एक सामान्य समीकरण लिखें
यह ज्ञात है कि एक सीधी रेखा निर्देशांक (-1; 4) और (3; 2) के साथ बिंदुओं से होकर गुजरती है। उनसे गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को सामान्य रूप में y को x के पदों में व्यक्त करना आवश्यक है।
समस्या को हल करने के लिए हम सबसे पहले समीकरण को सदिश रूप में लिखते हैं। वेक्टर (गाइड) निर्देशांक हैं:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
फिर सरल रेखा के समीकरण का सदिश रूप निम्न है:
(x; y)=(-1; 4) + (4; -2)
इसे सामान्य रूप में y(x) के रूप में लिखना बाकी है। हम इस समानता को स्पष्ट रूप से फिर से लिखते हैं, पैरामीटर λ व्यक्त करते हैं और इसे समीकरण से बाहर करते हैं:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=>=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
परिणामी विहित समीकरण से, हम y व्यक्त करते हैं और समस्या के प्रश्न के उत्तर पर आते हैं:
y=-0.5x + 3.5
समस्या कथन में निर्दिष्ट बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करके इस समानता की वैधता की जाँच की जा सकती है।
समस्या: खंड के केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा
अब एक दिलचस्प समस्या का समाधान करते हैं। मान लीजिए कि दो बिंदु M(2; 1) और N(5; 0) दिए गए हैं। यह ज्ञात है कि एक सीधी रेखा उस खंड के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है जो बिंदुओं को जोड़ती है और उस पर लंबवत होती है। खंड के मध्य से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण सदिश रूप में लिखिए।
इस केंद्र के निर्देशांक की गणना करके और दिशा वेक्टर का निर्धारण करके वांछित संख्यात्मक अभिव्यक्ति बनाई जा सकती है, जोखंड 90o कोण बनाता है।
खंड का मध्य बिंदु है:
एस=(एम + एन)/2=(3, 5; 0, 5)
अब वेक्टर MN के निर्देशांक की गणना करते हैं¯:
एमएन¯=एन - एम=(3; -1)
चूंकि वांछित रेखा के लिए दिशा वेक्टर MN¯ के लंबवत है, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है। यह आपको स्टीयरिंग वेक्टर के अज्ञात निर्देशांक (ए; बी) की गणना करने की अनुमति देता है:
ए3 - बी=0=>
बी=3ए
अब सदिश समीकरण लिखें:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
यहां हमने उत्पाद aλ को एक नए पैरामीटर β से बदल दिया है।
इस प्रकार, हमने खंड के केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण बनाया है।
