गोल्डबैक की समस्या सभी गणित के इतिहास की सबसे पुरानी और सबसे चर्चित समस्याओं में से एक है।
यह अनुमान 4 × 1018 से कम सभी पूर्णांकों के लिए सही साबित हुआ है, लेकिन गणितज्ञों के काफी प्रयासों के बावजूद यह साबित नहीं हुआ है।
नंबर
गोल्डबैक संख्या एक धनात्मक सम पूर्णांक है जो विषम अभाज्य संख्याओं के युग्म का योग होता है। गोल्डबैक अनुमान का एक अन्य रूप यह है कि चार से बड़े सभी सम पूर्णांक गोल्डबैक संख्याएं हैं।
ऐसी संख्याओं के पृथक्करण को गोल्डबैक का विभाजन (या विभाजन) कहा जाता है। कुछ सम संख्याओं के लिए समान वर्गों के उदाहरण नीचे दिए गए हैं:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5… 100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
परिकल्पना की खोज
गोल्डबैक के पास यूलर नाम का एक सहयोगी था, जो गिनती करना, जटिल सूत्र लिखना और अघुलनशील सिद्धांतों को सामने रखना पसंद करता था। इसमें वे गोल्डबैक के समान थे। गोल्डबैक से पहले भी यूलर ने एक समान गणितीय पहेली बनाई थी, जिसके साथ उन्होंनेलगातार पत्राचार। फिर उन्होंने अपनी पांडुलिपि के हाशिये में एक दूसरा सुझाव प्रस्तावित किया, जिसके अनुसार 2 से अधिक पूर्णांक को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है। उन्होंने 1 को एक अभाज्य संख्या माना।
दोनों परिकल्पनाओं को अब समान माना जाता है, लेकिन यह उस समय कोई समस्या नहीं लगती थी। गोल्डबैक की समस्या के आधुनिक संस्करण में कहा गया है कि 5 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है। यूलर ने 30 जून, 1742 को एक पत्र में उत्तर दिया, और गोल्डबैक को उनकी पिछली बातचीत की याद दिला दी ("… इसलिए हम निम्नलिखित कथन से उत्पन्न होने वाली मूल (और सीमांत नहीं) परिकल्पना के बारे में बात कर रहे हैं")।
यूलर-गोल्डबैक समस्या
2 और इसकी सम संख्याओं को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि गोल्डबैक का अनुमान भी है। 30 जून, 1742 को लिखे एक पत्र में, यूलर ने कहा कि प्रत्येक सम पूर्णांक दो अभाज्य संख्याओं के योग का परिणाम है, जिसे वह एक सुपरिभाषित प्रमेय मानता है, हालाँकि वह इसे सिद्ध नहीं कर सकता।
तीसरा संस्करण
गोल्डबैक की समस्या का तीसरा संस्करण (अन्य दो संस्करणों के बराबर) वह रूप है जिसमें आमतौर पर आज अनुमान लगाया जाता है। इसे "मजबूत", "सम" या "बाइनरी" गोल्डबैक अनुमान के रूप में भी जाना जाता है, जिसे आज "कमजोर", "विषम" या "टर्नरी" गोल्डबैक अनुमान के रूप में जाना जाता है। कमजोर अनुमान कहता है कि 7 से बड़ी सभी विषम संख्याएँ तीन विषम अभाज्य संख्याओं का योग होती हैं। कमजोर अनुमान 2013 में सिद्ध हुआ था। कमजोर परिकल्पना हैएक मजबूत परिकल्पना का परिणाम। रिवर्स कोरोलरी और मजबूत गोल्डबैक अनुमान आज भी अप्रमाणित हैं।
जांच
n के छोटे मानों के लिए, गोल्डबैक समस्या (और इसलिए गोल्डबैक अनुमान) को सत्यापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1938 में निल्स पिपिंग ने n 105 तक की परिकल्पना का सावधानीपूर्वक परीक्षण किया। पहले कंप्यूटरों के आगमन के साथ, n के कई और मूल्यों की गणना की गई।
ओलिवेरा सिल्वा ने एक वितरित कंप्यूटर खोज की जिसने 2013 तक n 4 × 1018 (और 4 × 1017 तक दोहरी जाँच) के लिए परिकल्पना की पुष्टि की। इस खोज से एक प्रविष्टि यह है कि 3,325,581,707,333,960,528 सबसे छोटी संख्या है जिसमें 9781 से नीचे एक प्राइम के साथ गोल्डबैक स्प्लिट नहीं है।
ह्यूरिस्टिक्स
गोल्डबैक के अनुमान के मजबूत रूप के लिए संस्करण इस प्रकार है: चूंकि मात्रा n बढ़ने पर अनंत तक जाती है, हम उम्मीद करते हैं कि प्रत्येक बड़े सम पूर्णांक में दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में एक से अधिक प्रतिनिधित्व होते हैं। लेकिन वास्तव में, ऐसे बहुत से प्रतिनिधित्व हैं। गोल्डबैक समस्या का समाधान किसने किया? काश, अब भी कोई नहीं।
यह अनुमानी तर्क वास्तव में कुछ हद तक सटीक नहीं है, क्योंकि यह मानता है कि m सांख्यिकीय रूप से n से स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, यदि m विषम है, तो n-m भी विषम है, और यदि m सम है, तो n-m सम है, और यह एक गैर-तुच्छ (जटिल) संबंध है, क्योंकि संख्या 2 के अलावा, केवल विषम है संख्या प्रधान हो सकती है। इसी तरह, यदि n 3 से विभाज्य है और m पहले से ही 3 के अलावा एक अभाज्य है, तो n - m भी परस्पर है3 के साथ अभाज्य, इसलिए कुल संख्या के विपरीत अभाज्य संख्या होने की अधिक संभावना है। इस प्रकार के विश्लेषण को अधिक सावधानी से करते हुए, हार्डी और लिटिलवुड ने 1923 में, अपने प्रसिद्ध हार्डी-लिटिलवुड सिंपल टपल अनुमान के हिस्से के रूप में, पूरे सिद्धांत का उपरोक्त परिशोधन किया। लेकिन इसने अब तक समस्या को हल करने में मदद नहीं की है।
मजबूत परिकल्पना
मजबूत गोल्डबैक अनुमान कमजोर गोल्डबैक अनुमान से कहीं अधिक जटिल है। श्निरेलमैन ने बाद में साबित किया कि 1 से अधिक किसी भी प्राकृतिक संख्या को अधिकतम सी प्राइम के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जहां सी प्रभावी रूप से गणना योग्य स्थिरांक है। कई गणितज्ञों ने इसे हल करने की कोशिश की, संख्याओं को गिनना और गुणा करना, जटिल सूत्रों की पेशकश करना आदि। लेकिन वे कभी सफल नहीं हुए, क्योंकि परिकल्पना बहुत जटिल है। किसी सूत्र ने मदद नहीं की।
लेकिन गोल्डबैक की समस्या को थोड़ा सा साबित करने के सवाल से हट जाने लायक है। इस संपत्ति के साथ Shnirelman स्थिरांक सबसे छोटी C संख्या है। शनीरेलमैन ने स्वयं C <800 000 प्राप्त किया। इस परिणाम को बाद में कई लेखकों द्वारा पूरक किया गया, जैसे कि ओलिवियर रामारेट, जिन्होंने 1995 में दिखाया कि प्रत्येक सम संख्या n 4 वास्तव में अधिकतम छह अभाज्य संख्याओं का योग है। सबसे प्रसिद्ध परिणाम वर्तमान में हेराल्ड हेल्फ़गॉट द्वारा गोल्डबैक सिद्धांत से जुड़ा है।
आगे विकास
1924 में, हार्डी और लिटिलवुड ने G. R. H. ने दिखाया कि बाइनरी गोल्डबैक समस्या का उल्लंघन करने वाले एक्स तक की सम संख्याओं की संख्या छोटे सी की तुलना में बहुत कम है।
1973 में चेन जिंग्युनमैंने इस समस्या को हल करने की कोशिश की, लेकिन यह काम नहीं किया। वह एक गणितज्ञ भी थे, इसलिए उन्हें पहेलियों को सुलझाने और प्रमेयों को सिद्ध करने का बहुत शौक था।
1975 में, दो अमेरिकी गणितज्ञों ने दिखाया कि सकारात्मक स्थिरांक c और C हैं - जिनके लिए N पर्याप्त रूप से बड़ा है। विशेष रूप से, सम पूर्णांकों के समुच्चय का घनत्व शून्य होता है। यह सब टर्नरी गोल्डबैक समस्या के समाधान पर काम करने के लिए उपयोगी था, जो भविष्य में होगा।
1951 में, लिनिक ने एक स्थिर K के अस्तित्व को इस तरह साबित किया कि प्रत्येक पर्याप्त बड़ी सम संख्या एक अभाज्य संख्या और दूसरी अभाज्य संख्या को एक दूसरे से जोड़ने का परिणाम है। 2002 में रोजर हीथ-ब्राउन और जान-क्रिस्टोफ श्लेज-पुचता ने पाया कि K=13 काम करता है। यह उन सभी लोगों के लिए बहुत दिलचस्प है जो एक-दूसरे को जोड़ना पसंद करते हैं, अलग-अलग संख्याएं जोड़ते हैं और देखते हैं कि क्या होता है।
गोल्डबैक समस्या का समाधान
गणित में कई प्रसिद्ध अनुमानों के साथ, गोल्डबैक अनुमान के कई कथित प्रमाण हैं, जिनमें से कोई भी गणितीय समुदाय द्वारा स्वीकार नहीं किया गया है।
यद्यपि गोल्डबैक के अनुमान का तात्पर्य है कि एक से अधिक प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को अधिकतम तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है, लालची एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ऐसा योग खोजना हमेशा संभव नहीं होता है जो सबसे बड़ी संभव अभाज्य संख्या का उपयोग करता है। हर कदम पर। पिल्लई अनुक्रम उन संख्याओं का ट्रैक रखता है जिन्हें उनके लालची अभ्यावेदन में सबसे अधिक अभाज्य संख्याओं की आवश्यकता होती है। इसलिए, गोल्डबैक समस्या का समाधानअभी भी प्रश्न में है। फिर भी, देर-सबेर इसके हल होने की संभावना है।
गोल्डबैक की समस्या के समान सिद्धांत हैं जिसमें अभाज्य संख्याओं को संख्याओं के अन्य विशिष्ट सेटों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जैसे वर्ग।
क्रिश्चियन गोल्डबैक
क्रिश्चियन गोल्डबैक एक जर्मन गणितज्ञ थे जिन्होंने कानून की भी पढ़ाई की थी। उन्हें आज गोल्डबैक अनुमान के लिए याद किया जाता है।
उन्होंने जीवन भर एक गणितज्ञ के रूप में काम किया - उन्हें संख्याओं को जोड़ने, नए सूत्रों का आविष्कार करने का बहुत शौक था। वह कई भाषाएँ भी जानता था, जिनमें से प्रत्येक में वह अपनी व्यक्तिगत डायरी रखता था। ये भाषाएँ जर्मन, फ्रेंच, इतालवी और रूसी थीं। साथ ही, कुछ स्रोतों के अनुसार, उन्होंने अंग्रेजी और लैटिन भाषा बोली। वे अपने जीवनकाल में काफी प्रसिद्ध गणितज्ञ के रूप में जाने जाते थे। गोल्डबैक रूस के साथ भी काफी निकटता से जुड़ा था, क्योंकि उसके कई रूसी सहयोगी थे और शाही परिवार के व्यक्तिगत पक्ष थे।
उन्होंने 1725 में नए खुले सेंट पीटर्सबर्ग विज्ञान अकादमी में गणित के प्रोफेसर और अकादमी के इतिहासकार के रूप में काम करना जारी रखा। 1728 में, जब पीटर II रूस के ज़ार बने, गोल्डबैक उनके गुरु बने। 1742 में उन्होंने रूसी विदेश मंत्रालय में प्रवेश किया। यानी उन्होंने वास्तव में हमारे देश में काम किया। उस समय रूस में अनेक वैज्ञानिक, लेखक, दार्शनिक और सैनिक आते थे, क्योंकि उस समय रूस अमेरिका जैसा अवसरों का देश था। यहां कई लोगों ने अपना करियर बनाया है। और हमारा हीरो कोई अपवाद नहीं है।
क्रिश्चियन गोल्डबैक बहुभाषी थे - उन्होंने जर्मन और लैटिन में एक डायरी लिखी, उनके पत्रजर्मन, लैटिन, फ्रेंच और इतालवी में लिखे गए थे, और आधिकारिक दस्तावेजों के लिए उन्होंने रूसी, जर्मन और लैटिन का इस्तेमाल किया।
20 नवंबर, 1764 को 74 वर्ष की आयु में मास्को में उनका निधन हो गया। जिस दिन गोल्डबैक की समस्या का समाधान हो जाएगा वह उनकी स्मृति को एक उचित श्रद्धांजलि होगी।
निष्कर्ष
गोल्डबैक एक महान गणितज्ञ थे जिन्होंने हमें इस विज्ञान के सबसे महान रहस्यों में से एक दिया। यह पता नहीं है कि यह कभी हल होगा या नहीं। हम केवल यह जानते हैं कि इसका अनुमानित संकल्प, जैसा कि फ़र्मेट के प्रमेय के मामले में, गणित के लिए नए दृष्टिकोण खोलेगा। गणितज्ञ इसे हल करने और उसका विश्लेषण करने के बहुत शौकीन होते हैं। यह एक अनुमानी दृष्टिकोण से बहुत ही रोचक और जिज्ञासु है। यहां तक कि गणित के छात्र भी गोल्डबैक की समस्या को हल करना पसंद करते हैं। और कैसे? आखिरकार, युवा लगातार उज्ज्वल, महत्वाकांक्षी और अनसुलझे हर चीज की ओर आकर्षित होते हैं, क्योंकि कठिनाइयों पर काबू पाकर कोई भी खुद पर जोर दे सकता है। आइए आशा करते हैं कि जल्द ही इस समस्या का समाधान युवा, महत्वाकांक्षी, जिज्ञासु दिमागों द्वारा किया जाएगा।
