मैट्रिसेस: गॉस विधि। गॉस मैट्रिक्स गणना: उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

रैखिक बीजगणित, जो विभिन्न विशिष्टताओं में विश्वविद्यालयों में पढ़ाया जाता है, कई जटिल विषयों को जोड़ता है। उनमें से कुछ मैट्रिक्स से संबंधित हैं, साथ ही गॉस और गॉस-जॉर्डन विधियों द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के समाधान से संबंधित हैं। सभी छात्र विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए इन विषयों, एल्गोरिदम को समझने का प्रबंधन नहीं करते हैं। आइए गॉस और गॉस-जॉर्डन के मैट्रिक्स और विधियों को एक साथ समझते हैं।

बुनियादी अवधारणा

रैखिक बीजगणित में एक मैट्रिक्स तत्वों (तालिका) का एक आयताकार सरणी है। नीचे कोष्ठकों में संलग्न तत्वों के समूह हैं। ये मैट्रिक्स हैं। उपरोक्त उदाहरण से, यह देखा जा सकता है कि आयताकार सरणियों में तत्व केवल संख्याएँ नहीं हैं। मैट्रिक्स में गणितीय कार्य, बीजगणितीय प्रतीक शामिल हो सकते हैं।

कुछ अवधारणाओं को समझने के लिए, आइए a_ij तत्वों से एक मैट्रिक्स A बनाते हैं। इंडेक्स केवल अक्षर नहीं हैं: मैं तालिका में पंक्ति की संख्या है, और जे कॉलम की संख्या है, जिस चौराहे के क्षेत्र में तत्व स्थित हैए_आईजे. इसलिए, हम देखते हैं कि हमारे पास a₁₁, a₂₁, a₁₂, a जैसे तत्वों का एक मैट्रिक्स है। ₂₂ और इसी तरह। अक्षर n कॉलम की संख्या को दर्शाता है, और अक्षर m पंक्तियों की संख्या को दर्शाता है। प्रतीक m × n मैट्रिक्स के आयाम को दर्शाता है। यह वह अवधारणा है जो तत्वों के एक आयताकार सरणी में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को परिभाषित करती है।

वैकल्पिक रूप से, मैट्रिक्स में कई कॉलम और पंक्तियाँ होनी चाहिए। 1 × n के आयाम के साथ, तत्वों की सरणी एकल-पंक्ति है, और m × 1 के आयाम के साथ, यह एकल-स्तंभ सरणी है। जब पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या समान होती है, तो मैट्रिक्स को वर्ग कहा जाता है। प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स में एक निर्धारक (det A) होता है। यह शब्द उस संख्या को संदर्भित करता है जो मैट्रिक्स ए को सौंपा गया है।

मैट्रिसेस को सफलतापूर्वक हल करने के लिए याद रखने योग्य कुछ और महत्वपूर्ण अवधारणाएं मुख्य और द्वितीयक विकर्ण हैं। मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण वह विकर्ण होता है जो ऊपरी बाएँ कोने से तालिका के दाएँ कोने तक जाता है। पार्श्व विकर्ण नीचे से बाएँ कोने से ऊपर दाएँ कोने तक जाता है।

स्टेप्ड मैट्रिक्स व्यू

नीचे दी गई तस्वीर को देखें। उस पर आपको एक मैट्रिक्स और एक डायग्राम दिखाई देगा। आइए पहले मैट्रिक्स से निपटें। रैखिक बीजगणित में, इस प्रकार के मैट्रिक्स को चरण मैट्रिक्स कहा जाता है। इसकी एक संपत्ति है: यदि a_ij i-वें पंक्ति में पहला गैर-शून्य तत्व है, तो नीचे दिए गए मैट्रिक्स से अन्य सभी तत्व _{ij के बाईं ओर हैं} , शून्य हैं (यानी, वे सभी तत्व जिन्हें अक्षर पदनाम दिया जा सकता है _kl, जहां k>i औरl<j).

अब आरेख पर विचार करें। यह मैट्रिक्स के चरणबद्ध रूप को दर्शाता है। योजना 3 प्रकार की कोशिकाओं को दिखाती है। प्रत्येक प्रकार कुछ तत्वों को दर्शाता है:

• खाली सेल - मैट्रिक्स के शून्य तत्व;
• छायांकित कोशिकाएं मनमानी तत्व हैं जो शून्य और गैर-शून्य दोनों हो सकते हैं;
• काले वर्ग गैर-शून्य तत्व हैं, जिन्हें कोने तत्व कहा जाता है, "चरण" (उनके आगे दिखाए गए मैट्रिक्स में, ऐसे तत्व संख्या -1, 5, 3, 8 हैं)।

मैट्रिसेस को हल करते समय, कभी-कभी परिणाम यह होता है कि चरण की "लंबाई" 1 से अधिक होती है। इसकी अनुमति है। केवल चरणों की "ऊंचाई" मायने रखती है। एक चरण मैट्रिक्स में, यह पैरामीटर हमेशा एक के बराबर होना चाहिए।

मैट्रिक्स रिडक्शन टू स्टेप फॉर्म

किसी भी आयताकार मैट्रिक्स को स्टेप्ड फॉर्म में बदला जा सकता है। यह प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से किया जाता है। उनमें शामिल हैं:

• तारों को फिर से व्यवस्थित करना;
• एक पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ना, यदि आवश्यक हो तो किसी संख्या से गुणा किया जाए (आप एक घटाव ऑपरेशन भी कर सकते हैं)।

आइए एक विशिष्ट समस्या को हल करने में प्राथमिक परिवर्तनों पर विचार करें। नीचे दिया गया आंकड़ा मैट्रिक्स ए को दिखाता है, जिसे चरणबद्ध रूप में कम करने की आवश्यकता है।

समस्या को हल करने के लिए, हम एल्गोरिथम का पालन करेंगे:

• के साथ मैट्रिक्स पर परिवर्तन करना सुविधाजनक हैऊपरी बाएँ कोने में पहला तत्व (यानी, "अग्रणी" तत्व) 1 या -1 है। हमारे मामले में, शीर्ष पंक्ति में पहला तत्व 2 है, तो चलिए पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं।
• आइए 2, 3 और 4 पंक्तियों को प्रभावित करते हुए घटाव संचालन करते हैं। हमें "अग्रणी" तत्व के तहत पहले कॉलम में शून्य प्राप्त करना चाहिए। इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए: पंक्ति संख्या 2 के तत्वों से, हम क्रमिक रूप से पंक्ति संख्या 1 के तत्वों को 2 से गुणा करते हैं; पंक्ति संख्या 3 के तत्वों से हम क्रमिक रूप से पंक्ति संख्या 1 के तत्वों को 4 से गुणा करते हैं; पंक्ति संख्या 4 के तत्वों में से हम पंक्ति संख्या 1 के तत्वों को क्रमिक रूप से घटाते हैं।
• अगला, हम एक काटे गए मैट्रिक्स के साथ काम करेंगे (बिना कॉलम 1 और बिना पंक्ति 1 के)। दूसरे कॉलम और दूसरी पंक्ति के चौराहे पर खड़ा नया "अग्रणी" तत्व -1 के बराबर है। लाइनों को पुनर्व्यवस्थित करने की कोई आवश्यकता नहीं है, इसलिए हम पहले कॉलम और पहली और दूसरी पंक्तियों को बिना बदलाव के फिर से लिखते हैं। आइए "अग्रणी" तत्व के तहत दूसरे कॉलम में शून्य प्राप्त करने के लिए घटाव संचालन करें: तीसरी पंक्ति के तत्वों से हम क्रमिक रूप से दूसरी पंक्ति के तत्वों को 3 से गुणा करते हैं; दूसरी पंक्ति के तत्वों को चौथी पंक्ति के तत्वों से 2 से गुणा करके घटाएं।
• आखिरी लाइन बदलना बाकी है। इसके तत्वों से हम तीसरी पंक्ति के तत्वों को क्रमिक रूप से घटाते हैं। इस प्रकार, हमें एक चरणबद्ध मैट्रिक्स मिला।

आव्यूहों को चरणबद्ध रूप में कम करने का उपयोग गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों (SLE) के सिस्टम को हल करने में किया जाता है। इस पद्धति को देखने से पहले, आइए SLN से संबंधित कुछ शर्तों को समझते हैं।

मैट्रिसेस और रैखिक समीकरणों के सिस्टम

विभिन्न विज्ञानों में मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याओं की तालिकाओं का उपयोग करके, आप गॉस पद्धति का उपयोग करके एक प्रणाली में संयुक्त रैखिक समीकरणों को हल कर सकते हैं। सबसे पहले, आइए कुछ शब्दों और उनकी परिभाषाओं से परिचित हों, और यह भी देखें कि एक प्रणाली से एक मैट्रिक्स कैसे बनता है जो कई रैखिक समीकरणों को जोड़ता है।

SLU – कई संयुक्त बीजीय समीकरणों के साथ पहली शक्ति अज्ञात और कोई उत्पाद शब्द नहीं।

SLE समाधान - अज्ञात के मान मिले, जिसके स्थान पर सिस्टम में समीकरण पहचान बन जाते हैं।

एक संयुक्त एसएलई समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें कम से कम एक समाधान होता है।

असंगत एसएलई समीकरणों की एक प्रणाली है जिसका कोई समाधान नहीं है।

रैखिक समीकरणों को जोड़ने वाली प्रणाली के आधार पर मैट्रिक्स कैसे बनता है? सिस्टम के मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स जैसी अवधारणाएं हैं। सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स को प्राप्त करने के लिए, अज्ञात के लिए सभी गुणांक तालिका में रखना आवश्यक है। विस्तारित मैट्रिक्स मुख्य मैट्रिक्स में मुक्त शर्तों के एक कॉलम को जोड़कर प्राप्त किया जाता है (इसमें ज्ञात तत्व शामिल होते हैं जिनसे सिस्टम में प्रत्येक समीकरण बराबर होता है)। इस पूरी प्रक्रिया को आप नीचे दी गई तस्वीर को पढ़कर समझ सकते हैं।

तस्वीर में पहली चीज जो हम देखते हैं वह एक प्रणाली है जिसमें रैखिक समीकरण शामिल हैं। इसके तत्व: a_ij - संख्यात्मक गुणांक, x_j - अज्ञात मान, b_i - स्थिर पद (जहाँ i=1, 2, …, एम, और जे=1, 2, …, एन)। तस्वीर में दूसरा तत्व गुणांक का मुख्य मैट्रिक्स है। प्रत्येक समीकरण से, गुणांक एक पंक्ति में लिखे जाते हैं। परिणामस्वरूप, मैट्रिक्स में उतनी ही पंक्तियाँ होती हैं जितनी कि सिस्टम में समीकरण होते हैं। स्तंभों की संख्या किसी भी समीकरण में गुणांकों की सबसे बड़ी संख्या के बराबर होती है। चित्र में तीसरा तत्व एक संवर्धित मैट्रिक्स है जिसमें मुक्त शब्दों का एक स्तंभ है।

गॉस विधि के बारे में सामान्य जानकारी

रैखिक बीजगणित में, गॉस विधि SLE को हल करने का शास्त्रीय तरीका है। यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर है, जो 18वीं-19वीं शताब्दी में रहते थे। यह अब तक के सबसे महान गणितज्ञों में से एक है। गॉस विधि का सार रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली पर प्राथमिक परिवर्तन करना है। ट्रांसफॉर्मेशन की मदद से, SLE को एक त्रिकोणीय (स्टेप्ड) रूप की एक समतुल्य प्रणाली में घटाया जाता है, जिससे सभी चर पाए जा सकते हैं।

यह ध्यान देने योग्य है कि कार्ल फ्रेडरिक गॉस रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की शास्त्रीय पद्धति के खोजकर्ता नहीं हैं। विधि का आविष्कार बहुत पहले किया गया था। इसका पहला विवरण प्राचीन चीनी गणितज्ञों के ज्ञान के विश्वकोश में मिलता है, जिसे "9 पुस्तकों में गणित" कहा जाता है।

गॉस विधि द्वारा SLE को हल करने का एक उदाहरण

आइए एक विशिष्ट उदाहरण पर गॉस विधि द्वारा सिस्टम के समाधान पर विचार करें। हम चित्र में दिखाए गए SLU के साथ काम करेंगे।

सॉल्विंग एल्गोरिथम:

1. हम गॉस विधि के सीधे कदम से सिस्टम को एक स्टेप फॉर्म में कम कर देंगे, लेकिन पहलेहम संख्यात्मक गुणांक और मुक्त सदस्यों के एक विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करेंगे।
2. गाऊसी पद्धति का उपयोग करके मैट्रिक्स को हल करने के लिए (यानी इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं), दूसरी और तीसरी पंक्तियों के तत्वों से, हम क्रमिक रूप से पहली पंक्ति के तत्वों को घटाते हैं। हमें "अग्रणी" तत्व के तहत पहले कॉलम में शून्य मिलता है। अगला, हम सुविधा के लिए दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्थानों में बदल देंगे। अंतिम पंक्ति के तत्वों में, क्रमिक रूप से दूसरी पंक्ति के तत्वों को 3 से गुणा करके जोड़ें।
3. गॉस विधि द्वारा मैट्रिक्स की गणना के परिणामस्वरूप, हमें तत्वों की एक चरणबद्ध सरणी मिली। इसके आधार पर, हम रैखिक समीकरणों की एक नई प्रणाली की रचना करेंगे। गॉस विधि के रिवर्स कोर्स से, हम अज्ञात शब्दों के मान पाते हैं। यह पिछले रैखिक समीकरण से देखा जा सकता है कि x₃ 1 के बराबर है। हम इस मान को सिस्टम की दूसरी पंक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं। आपको समीकरण x₂ – 4=-4 मिलता है। यह इस प्रकार है कि x₂ 0 के बराबर है। सिस्टम के पहले समीकरण में x₂ और x₃ को प्रतिस्थापित करें: x 1 _{+ 0 +3=2. अज्ञात पद -1 है।}

उत्तर: मैट्रिक्स, गाऊसी पद्धति का उपयोग करके, हमने अज्ञात के मूल्यों को पाया; x₁ =-1, x₂=0, x₃=1.

गॉस-जॉर्डन पद्धति

रैखिक बीजगणित में गॉस-जॉर्डन पद्धति जैसी कोई चीज भी होती है। इसे गाऊसी पद्धति का एक संशोधन माना जाता है और इसका उपयोग व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए किया जाता है, बीजीय रैखिक समीकरणों के वर्ग प्रणालियों के अज्ञात शब्दों की गणना करता है। गॉस-जॉर्डन विधि इस मायने में सुविधाजनक है कि यह एसएलई को एक चरण में हल करने की अनुमति देती है (प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम के उपयोग के बिना)चालें)।

आइए "उलटा मैट्रिक्स" शब्द से शुरू करते हैं। मान लीजिए हमारे पास एक मैट्रिक्स ए है। इसके लिए विलोम मैट्रिक्स ए^-1 होगा, जबकि शर्त आवश्यक रूप से संतुष्ट है: ए × ए^-1=ए -1 ^{× ए=ई, यानी इन मैट्रिक्स का उत्पाद पहचान मैट्रिक्स के बराबर है (पहचान मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के तत्व एक हैं, और शेष तत्व शून्य हैं).}

एक महत्वपूर्ण बारीकियां: रैखिक बीजगणित में व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व पर एक प्रमेय होता है। मैट्रिक्स A^-1 के अस्तित्व के लिए एक पर्याप्त और आवश्यक शर्त यह है कि मैट्रिक्स A एकवचन नहीं है।

बुनियादी कदम जिन पर गॉस-जॉर्डन पद्धति आधारित है:

1. किसी विशेष मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को देखें। गॉस-जॉर्डन विधि शुरू की जा सकती है यदि पहला मान शून्य के बराबर नहीं है। यदि पहला स्थान 0 है, तो पंक्तियों को स्वैप करें ताकि पहले तत्व का गैर-शून्य मान हो (यह वांछनीय है कि संख्या एक के करीब हो)।
2. पहली पंक्ति के सभी तत्वों को पहली संख्या से विभाजित करें। आपके अंत में एक स्ट्रिंग होगी जो एक से शुरू होती है।
3. दूसरी पंक्ति से पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति के पहले तत्व से गुणा करके घटाएं, यानी अंत में आपको एक रेखा मिलेगी जो शून्य से शुरू होती है। बाकी पंक्तियों के लिए भी ऐसा ही करें। 1 का विकर्ण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पंक्ति को उसके पहले गैर-शून्य तत्व से विभाजित करें।
4. परिणामस्वरूप, आपको गॉस-जॉर्डन पद्धति का उपयोग करके ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त होगा। इसमें मुख्य विकर्ण को इकाइयों द्वारा दर्शाया जाता है। निचला कोना शून्य से भरा है, औरऊपरी कोना - विभिन्न मान।
5. अंतिम पंक्ति से, अंतिम पंक्ति को आवश्यक गुणांक से गुणा करके घटाएं। आपको शून्य और एक के साथ एक स्ट्रिंग मिलनी चाहिए। शेष पंक्तियों के लिए, वही क्रिया दोहराएं। सभी परिवर्तनों के बाद, पहचान मैट्रिक्स प्राप्त किया जाएगा।

गॉस-जॉर्डन पद्धति का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का एक उदाहरण

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, आपको संवर्धित मैट्रिक्स A|E लिखना होगा और आवश्यक परिवर्तन करना होगा। आइए एक साधारण उदाहरण पर विचार करें। नीचे दिया गया आंकड़ा मैट्रिक्स ए दिखाता है।

समाधान:

1. सबसे पहले, गॉसियन विधि (det A) का उपयोग करके मैट्रिक्स निर्धारक को खोजें। यदि यह पैरामीटर शून्य के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स को गैर-एकवचन माना जाएगा। यह हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देगा कि A के पास निश्चित रूप से A^-1 है। निर्धारक की गणना करने के लिए, हम प्रारंभिक परिवर्तनों द्वारा मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में बदलते हैं। आइए संख्या K को पंक्ति क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर गिनें। हमने केवल 1 बार लाइनों को बदला। आइए निर्धारक की गणना करें। इसका मान मुख्य विकर्ण के तत्वों के गुणनफल के बराबर होगा, जिसे (–1)^K से गुणा किया जाएगा। गणना परिणाम: det A=2.
2. मूल मैट्रिक्स में पहचान मैट्रिक्स जोड़कर संवर्धित मैट्रिक्स की रचना करें। परिणामी सरणी का उपयोग गॉस-जॉर्डन विधि द्वारा प्रतिलोम मैट्रिक्स को खोजने के लिए किया जाएगा।
3. पहली पंक्ति में पहला तत्व एक के बराबर है। यह हमें सूट करता है, क्योंकि लाइनों को पुनर्व्यवस्थित करने और दी गई रेखा को किसी संख्या से विभाजित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। चलो काम करना शुरू करते हैंदूसरी और तीसरी पंक्तियों के साथ। दूसरी पंक्ति में पहले तत्व को 0 में बदलने के लिए, पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से 3 से गुणा करें। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से घटाएँ (कोई गुणा आवश्यक नहीं)।
4. परिणामी मैट्रिक्स में, दूसरी पंक्ति का दूसरा तत्व -4 है, और तीसरी पंक्ति का दूसरा तत्व -1 है। आइए सुविधा के लिए लाइनों की अदला-बदली करें। तीसरी पंक्ति से दूसरी पंक्ति को 4 से गुणा करके घटाएं। दूसरी पंक्ति को -1 से और तीसरी पंक्ति को 2 से विभाजित करें। हमें ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स मिलता है।
5. आइए दूसरी पंक्ति से अंतिम पंक्ति को 4 से गुणा करें, और अंतिम पंक्ति को पहली पंक्ति से 5 से गुणा करें। इसके बाद, पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें। बाईं ओर हमें मिला पहचान मैट्रिक्स। दाईं ओर व्युत्क्रम मैट्रिक्स है।

गॉस-जॉर्डन विधि द्वारा एसएलई को हल करने का एक उदाहरण

आंकड़ा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को दर्शाता है। मैट्रिक्स, गॉस-जॉर्डन विधि का उपयोग करके अज्ञात चर के मूल्यों को खोजना आवश्यक है।

समाधान:

1. आइए एक ऑगमेंटेड मैट्रिक्स बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम गुणांकों और मुक्त पदों को तालिका में रखेंगे।
2. गॉस-जॉर्डन पद्धति का उपयोग करके मैट्रिक्स को हल करें। लाइन नंबर 2 से हम लाइन नंबर 1 घटाते हैं। लाइन नंबर 3 से हम लाइन नंबर 1 घटाते हैं, जिसे पहले 2 से गुणा किया जाता है।
3. पंक्तियों 2 और 3 को स्वैप करें।
4. पंक्ति 3 से घटाएं पंक्ति 2 को 2 से गुणा करें। परिणामी तीसरी पंक्ति को -1 से विभाजित करें।
5. पंक्ति 3 को पंक्ति 2 से घटाएं।
6. पंक्ति 1. से पंक्ति 1 घटाएँ2 गुना -1। किनारे पर, हमें 0, 1 और -1 की संख्या वाला एक कॉलम मिला। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि x₁=0, x₂=1 और x₃ =-1.

यदि आप चाहें, तो आप परिकलित मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करके समाधान की शुद्धता की जांच कर सकते हैं:

• 0 – 1=-1, सिस्टम से पहली पहचान सही है;
• 0 + 1 + (-1)=0, सिस्टम से दूसरी पहचान सही है;
• 0 – 1 + (-1)=-2, सिस्टम से तीसरी पहचान सही है।

निष्कर्ष: गॉस-जॉर्डन पद्धति का उपयोग करके, हमने एक द्विघात प्रणाली का सही समाधान खोजा है जो रैखिक बीजीय समीकरणों को जोड़ती है।

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