तल में और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं के समीकरणों को स्थापित करने के तरीके

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

सीधी रेखा तल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में मुख्य ज्यामितीय वस्तु है। यह सीधी रेखाओं से है कि कई आंकड़े बनाए जाते हैं, उदाहरण के लिए: एक समांतर चतुर्भुज, एक त्रिभुज, एक प्रिज्म, एक पिरामिड, और इसी तरह। लेख में रेखाओं के समीकरणों को सेट करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करें।

सीधी रेखा की परिभाषा और उसका वर्णन करने के लिए समीकरणों के प्रकार

प्रत्येक छात्र को इस बात का अच्छा अंदाजा होता है कि वे किस ज्यामितीय वस्तु की बात कर रहे हैं। एक सीधी रेखा को बिंदुओं के संग्रह के रूप में दर्शाया जा सकता है, और यदि हम उनमें से प्रत्येक को अन्य सभी के साथ जोड़ते हैं, तो हमें समानांतर वैक्टर का एक सेट मिलता है। दूसरे शब्दों में, रेखा के प्रत्येक बिंदु को उसके एक निश्चित बिंदु से प्राप्त करना संभव है, इसे वास्तविक संख्या से गुणा करके किसी इकाई वेक्टर में स्थानांतरित करना संभव है। एक सीधी रेखा की इस परिभाषा का उपयोग एक सदिश समानता को उसके गणितीय विवरण के लिए समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष दोनों में परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

एक सीधी रेखा को गणितीय रूप से निम्न प्रकार के समीकरणों द्वारा दर्शाया जा सकता है:

• सामान्य;
• वेक्टर;
• पैरामीट्रिक;
• खंडों में;
• सममितीय (विहित)।

अगला, हम सभी नामित प्रकारों पर विचार करेंगे और दिखाएंगे कि समस्याओं को हल करने के उदाहरणों का उपयोग करके उनके साथ कैसे काम किया जाए।

एक सीधी रेखा का सदिश और पैरामीट्रिक विवरण

आइए एक ज्ञात वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा को परिभाषित करके शुरू करते हैं। मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु है M(x₀; y₀; z_{0)। यह ज्ञात है कि सीधी रेखा इससे होकर गुजरती है और वेक्टर खंड v¯(a; b; c) के साथ निर्देशित होती है। इन आंकड़ों से रेखा का एक मनमाना बिंदु कैसे खोजें? इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित समानता देगा:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) +(ए; बी; सी)}

जहां λ एक मनमाना संख्या है।

द्वि-आयामी मामले के लिए एक समान अभिव्यक्ति लिखी जा सकती है, जहां वैक्टर और बिंदुओं के निर्देशांक दो संख्याओं के सेट द्वारा दर्शाए जाते हैं:

(x; y)=(x₀; y_{0) +(ए; बी)}

लिखित समीकरण सदिश समीकरण कहलाते हैं, और निर्देशित खंड v¯ ही सीधी रेखा के लिए दिशा सदिश है।

लिखित अभिव्यक्तियों से, संबंधित पैरामीट्रिक समीकरण सरलता से प्राप्त होते हैं, उन्हें स्पष्ट रूप से फिर से लिखना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में मामले के लिए, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

x=x_0+a;

y=y_0+b;

z=z_0+सी

यदि आपको व्यवहार का विश्लेषण करने की आवश्यकता है तो पैरामीट्रिक समीकरणों के साथ काम करना सुविधाजनक हैप्रत्येक समन्वय। ध्यान दें कि हालांकि पैरामीटर λ मनमाना मान ले सकता है, यह तीनों समानताओं में समान होना चाहिए।

सामान्य समीकरण

एक सीधी रेखा को परिभाषित करने का एक और तरीका, जिसे अक्सर माना जाता है कि ज्यामितीय वस्तु के साथ काम करने के लिए उपयोग किया जाता है, एक सामान्य समीकरण का उपयोग करना है। द्वि-आयामी मामले के लिए, ऐसा लगता है:

एएक्स + बीवाई + सी=0

यहां बड़े लैटिन अक्षर विशिष्ट संख्यात्मक मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं। समस्याओं को हल करने में इस समानता की सुविधा इस तथ्य में निहित है कि इसमें स्पष्ट रूप से एक वेक्टर होता है जो एक सीधी रेखा के लंबवत होता है। यदि हम इसे n¯ से निरूपित करते हैं, तो हम लिख सकते हैं:

n¯=[ए; बी]

इसके अलावा, एक सीधी रेखा से कुछ बिंदु P(x₁; y_{1 तक की दूरी निर्धारित करने के लिए व्यंजक का उपयोग करना सुविधाजनक है।)। दूरी d का सूत्र है:}

डी=|एएक्स₁+ बीवाई₁+ सी| / (ए²+ बी²⁾

यह दिखाना आसान है कि यदि हम सामान्य समीकरण से चर y को स्पष्ट रूप से व्यक्त करते हैं, तो हमें एक सीधी रेखा लिखने का निम्नलिखित प्रसिद्ध रूप मिलता है:

y=kx + b

जहां k और b विशिष्ट रूप से संख्याओं A, B, C से निर्धारित होते हैं।

खंडों और विहित में समीकरण

खंडों में समीकरण सामान्य दृष्टिकोण से प्राप्त करना सबसे आसान है। हम आपको दिखाएंगे कि यह कैसे करना है।

मान लीजिए कि हमारे पास निम्न पंक्ति है:

एएक्स + बीवाई + सी=0

मुक्त पद को समानता के दायीं ओर ले जाएं, फिर पूरे समीकरण को इससे विभाजित करें, हमें प्राप्त होता है:

एएक्स + बीवाई=-सी;

x / (-सी / ए) + वाई / (-सी / बी)=1;

x / q + y / p=1, जहाँ q=-C / A, p=-C / B

हमें खंडों में तथाकथित समीकरण मिला है। इसका नाम इस तथ्य के कारण पड़ा कि जिस भाजक द्वारा प्रत्येक चर को विभाजित किया जाता है, वह संबंधित अक्ष के साथ रेखा के चौराहे के निर्देशांक का मान दर्शाता है। एक समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा को चित्रित करने के साथ-साथ अन्य ज्यामितीय वस्तुओं (सीधी रेखाएं, बिंदु) के संबंध में इसकी सापेक्ष स्थिति का विश्लेषण करने के लिए इस तथ्य का उपयोग करना सुविधाजनक है।

अब चलिए विहित समीकरण प्राप्त करने के लिए आगे बढ़ते हैं। यदि हम पैरामीट्रिक विकल्प पर विचार करें तो यह करना आसान है। विमान के मामले के लिए हमारे पास है:

x=x_0+a;

y=y_{0+ λb}

हम प्रत्येक समानता में पैरामीटर λ व्यक्त करते हैं, फिर हम उनकी बराबरी करते हैं, हमें मिलता है:

λ=(एक्स - एक्स_{0) / ए;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

यह सममित रूप में लिखा गया वांछित समीकरण है। एक सदिश व्यंजक की तरह, इसमें स्पष्ट रूप से दिशा सदिश के निर्देशांक और रेखा से संबंधित किसी एक बिंदु के निर्देशांक होते हैं।

यह देखा जा सकता है कि इस पैराग्राफ में हमने द्वि-आयामी स्थिति के लिए समीकरण दिए हैं। इसी तरह, आप अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण लिख सकते हैं। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि विहित रूपखंडों में रिकॉर्ड और अभिव्यक्ति का एक ही रूप होगा, फिर एक सीधी रेखा के लिए अंतरिक्ष में सामान्य समीकरण को समतल करने के लिए दो समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दर्शाया जाता है।

एक सीधी रेखा के समीकरण के निर्माण की समस्या

ज्यामिति से हर छात्र जानता है कि दो बिंदुओं से आप एक ही रेखा खींच सकते हैं। मान लें कि निर्देशांक तल में निम्नलिखित बिंदु दिए गए हैं:

एम_{1(1; 2);}

एम_{2(-1; 3)}

उस रेखा का समीकरण ज्ञात करना आवश्यक है जिससे दोनों बिंदु संबंधित हैं, खंडों में, सदिश, विहित और सामान्य रूप में।

आइए पहले सदिश समीकरण प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, प्रत्यक्ष दिशा वेक्टर के लिए परिभाषित करें M₁M_2¯:

एम₁एम_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

अब आप समस्या कथन में निर्दिष्ट दो बिंदुओं में से एक को लेकर एक सदिश समीकरण बना सकते हैं, उदाहरण के लिए, M_2:

(x; y)=(-1; 3) +(-2; 1)

विहित समीकरण प्राप्त करने के लिए, पाया गया समानता को एक पैरामीट्रिक रूप में बदलने और पैरामीटर λ को बाहर करने के लिए पर्याप्त है। हमारे पास है:

x=-1 - 2, इसलिए λ=x + 1 / (-2);

y=3 +, तो हमें λ=y - 3; मिलता है

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

शेष दो समीकरणों (सामान्य और खंडों में) को विहित समीकरण से इस प्रकार परिवर्तित करके पाया जा सकता है:

x + 1=-2y + 6;

सामान्य समीकरण: x + 2y - 5=0;

खंड समीकरण में: x / 5 + y / 2, 5=1

परिणामी समीकरण बताते हैं कि वेक्टर (1; 2) रेखा के लंबवत होना चाहिए। वास्तव में, यदि आप इसका अदिश गुणनफल दिशा सदिश के साथ पाते हैं, तो यह शून्य के बराबर होगा। रेखा खंड समीकरण कहता है कि रेखा x-अक्ष को (5; 0) पर और y-अक्ष को (2, 5; 0) पर काटती है।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को निर्धारित करने की समस्या

तल पर दो सीधी रेखाएं निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दी गई हैं:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) +(-1; 3)

जिस बिंदु पर ये रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, उसके निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

समस्या को हल करने के दो तरीके हैं:

1. वेक्टर समीकरण को सामान्य रूप में बदलें, फिर दो रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करें।
2. कोई भी परिवर्तन न करें, लेकिन बस पहले समीकरण में पैरामीटर λ के माध्यम से व्यक्त चौराहे बिंदु के समन्वय को प्रतिस्थापित करें। फिर पैरामीटर मान ज्ञात करें।

चलो दूसरा तरीका करते हैं। हमारे पास है:

x=-λ;

y=-1 + 3;

2(-λ) + (-1) + 3- 1=0;

λ=2

परिणामी संख्या को सदिश समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)

इस प्रकार, दोनों रेखाओं से संबंधित एकमात्र बिंदु निर्देशांक वाला बिंदु है (-2; 5)। इसमें रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।