द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके। द्विघात समीकरण के लिए वीटा सूत्र

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

द्विघात समीकरण अक्सर गणित और भौतिकी में कई समस्याओं में दिखाई देते हैं, इसलिए प्रत्येक छात्र को उन्हें हल करने में सक्षम होना चाहिए। यह लेख द्विघात समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों का विवरण देता है, और उनके उपयोग के उदाहरण भी प्रदान करता है।

किस समीकरण को द्विघात कहते हैं

सबसे पहले हम इस अनुच्छेद के प्रश्न का उत्तर देंगे ताकि यह बेहतर ढंग से समझ सकें कि लेख किस बारे में होगा। तो, द्विघात समीकरण के निम्नलिखित सामान्य रूप हैं: c + bx+ax²=0, जहाँ a, b, c कुछ संख्याएँ हैं, जिन्हें गुणांक कहा जाता है। यहाँ a≠0 एक अनिवार्य शर्त है, अन्यथा संकेतित समीकरण एक रेखीय समीकरण में पतित हो जाता है। शेष गुणांक (बी, सी) शून्य सहित बिल्कुल कोई भी मान ले सकते हैं। इस प्रकार, ax²=0, जहां b=0 और c=0, या c+ax²=0, जहां b=0, या bx+ax²=0, जहां c=0 भी द्विघात समीकरण हैं, जिन्हें अपूर्ण कहा जाता है, क्योंकि या तो रैखिक गुणांक b उनमें शून्य या शून्य हैएक मुक्त शब्द c है, या वे दोनों गायब हो जाते हैं।

एक समीकरण जिसमें a=1 कम कहा जाता है, अर्थात इसका रूप है: x² + с/a + (b/a)x=0.

द्विघात समीकरण का समाधान ऐसे x मान ज्ञात करना है जो इसकी समानता को संतुष्ट करते हैं। इन मूल्यों को जड़ कहा जाता है। चूँकि विचाराधीन समीकरण द्वितीय अंश का व्यंजक है, इसका अर्थ है कि इसके मूलों की अधिकतम संख्या दो से अधिक नहीं हो सकती।

वर्ग समीकरणों को हल करने के लिए कौन से तरीके मौजूद हैं

सामान्य तौर पर, समाधान के 4 तरीके हैं। उनके नाम नीचे सूचीबद्ध हैं:

1. फैक्टरिंग।
2. वर्ग में जोड़।
3. एक ज्ञात सूत्र का उपयोग करना (विभेदक के माध्यम से)।
4. समाधान विधि ज्यामितीय है।

जैसा कि आप ऊपर दी गई सूची से देख सकते हैं, पहले तीन तरीके बीजगणितीय हैं, इसलिए उनका उपयोग पिछले वाले की तुलना में अधिक बार किया जाता है, जिसमें एक फ़ंक्शन को प्लॉट करना शामिल होता है।

वियत प्रमेय का उपयोग करके वर्ग समीकरणों को हल करने का एक और तरीका है। इसे ऊपर की सूची में 5वां शामिल किया जा सकता है, हालांकि, ऐसा नहीं किया गया है, क्योंकि विएटा की प्रमेय तीसरी विधि का एक सरल परिणाम है।

बाद में लेख में हम समाधान के नामित तरीकों पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे, और विशिष्ट समीकरणों की जड़ों को खोजने के लिए उनके उपयोग के उदाहरण भी देंगे।

विधि 1। फैक्टरिंग

द्विघात समीकरणों के गणित में इस विधि के लिए एक सुंदर हैनाम: गुणनखंड। इस पद्धति का सार इस प्रकार है: द्विघात समीकरण को दो शब्दों (अभिव्यक्तियों) के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है, जो शून्य के बराबर होना चाहिए। इस तरह के प्रतिनिधित्व के बाद, आप उत्पाद संपत्ति का उपयोग कर सकते हैं, जो शून्य के बराबर तभी होगा जब उसके एक या अधिक (सभी) सदस्य शून्य हों।

अब उन विशिष्ट क्रियाओं के क्रम पर विचार करें जिन्हें समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए करने की आवश्यकता है:

1. सभी सदस्यों को व्यंजक के एक भाग में ले जाएँ (उदाहरण के लिए, बाईं ओर) ताकि उसके दूसरे भाग (दाएँ) में केवल 0 ही रह जाए।
2. समीकरण के एक भाग के पदों के योग को दो रैखिक समीकरणों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें।
3. प्रत्येक रैखिक व्यंजक को शून्य पर सेट करें और उन्हें हल करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, फ़ैक्टराइज़ेशन एल्गोरिदम काफी सरल है, हालांकि, अधिकांश छात्रों को दूसरे बिंदु के कार्यान्वयन के दौरान कठिनाइयां होती हैं, इसलिए हम इसे और अधिक विस्तार से समझाएंगे।

यह अनुमान लगाने के लिए कि कौन से 2 रैखिक व्यंजक, एक दूसरे से गुणा करने पर, वांछित द्विघात समीकरण देंगे, आपको दो सरल नियमों को याद रखने की आवश्यकता है:

• दो रैखिक व्यंजकों के रैखिक गुणांकों को एक दूसरे से गुणा करने पर द्विघात समीकरण का पहला गुणांक देना चाहिए, अर्थात संख्या a.
• रैखिक व्यंजकों के मुक्त पदों को गुणा करने पर वांछित समीकरण की संख्या c देनी चाहिए।

सभी गुणनखंडों के चयन के बाद उन्हें गुणा किया जाना चाहिए, और यदि वे वांछित समीकरण देते हैं, तो चरण 3 में जाएंउपरोक्त एल्गोरिदम, अन्यथा आपको गुणक बदलना चाहिए, लेकिन आपको ऐसा करने की आवश्यकता है ताकि उपरोक्त नियमों का हमेशा पालन किया जा सके।

गुणन विधि द्वारा समाधान का उदाहरण

आइए स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि कैसे एक द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म अज्ञात जड़ों को बनाने और खोजने के लिए है। उदाहरण के लिए, एक मनमाना व्यंजक दिया जाए, 2x-5+5x²-2x²=x^2+2+x2^{+1. आइए इसके समाधान की ओर बढ़ते हैं, 1 से 3 तक के बिंदुओं के क्रम को देखते हुए, जो लेख के पिछले पैराग्राफ में दिए गए हैं।}

आइटम 1. सभी पदों को बाईं ओर ले जाएं और उन्हें द्विघात समीकरण के लिए शास्त्रीय क्रम में व्यवस्थित करें। हमारे पास निम्नलिखित समानता है: 2x+(-8)+x²=0.

आइटम 2. हम इसे रैखिक समीकरणों के गुणनफल में तोड़ते हैं। चूंकि a=1, और c=-8, तो हम उदाहरण के लिए, ऐसे उत्पाद (x-2)(x+4) का चयन करेंगे। यह उपरोक्त पैराग्राफ में निर्धारित अपेक्षित कारकों को खोजने के नियमों को संतुष्ट करता है। यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: -8+2x+x², अर्थात, हमें ठीक वैसा ही व्यंजक मिलता है जैसा कि समीकरण के बाईं ओर होता है। इसका मतलब है कि हमने गुणकों का सही अनुमान लगाया है, और हम एल्गोरिथम के तीसरे चरण पर आगे बढ़ सकते हैं।

आइटम 3. प्रत्येक गुणनखंड को शून्य से बराबर करें, हमें मिलता है: x=-4 और x=2।

यदि परिणाम के बारे में कोई संदेह है, तो पाया गया जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके जांचने की अनुशंसा की जाती है। इस मामले में, हमारे पास है: 22+2²-8=0 और 2(-4)+(-4)² -8=0। जड़ें सही मिलीं।

इस प्रकार, गुणनखंडन विधि का उपयोग करते हुए, हमने पाया कि दिए गए समीकरण में भिन्न के दो मूल हैंहै: 2 और -4।

विधि 2। पूर्ण वर्ग के पूरक

वर्ग समीकरणों के बीजगणित में हमेशा गुणक विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है, क्योंकि द्विघात समीकरण के गुणांकों के भिन्नात्मक मानों के मामले में, एल्गोरिथम के अनुच्छेद 2 के कार्यान्वयन में कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।

पूर्ण वर्ग विधि, बदले में, सार्वभौमिक है और इसे किसी भी प्रकार के द्विघात समीकरणों पर लागू किया जा सकता है। इसका सार निम्नलिखित कार्यों को करना है:

1. गुणांक a और b वाले समीकरण के पदों को समीकरण के एक भाग में और मुक्त पद c को दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
2. अगला, समानता के हिस्सों (दाएं और बाएं) को गुणांक ए से विभाजित किया जाना चाहिए, यानी, समीकरण को कम रूप में प्रस्तुत करें (ए=1)।
3. एक रैखिक समीकरण के एक वर्ग के रूप में प्रतिनिधित्व करने के लिए गुणांक a और b वाले पदों का योग करें। चूंकि a \u003d 1 है, तो रैखिक गुणांक 1 के बराबर होगा, जैसा कि रैखिक समीकरण के मुक्त पद के लिए है, तो यह कम द्विघात समीकरण के रैखिक गुणांक के आधे के बराबर होना चाहिए। रेखीय व्यंजक का वर्ग बन जाने के बाद, समता के दाईं ओर संबंधित संख्या को जोड़ना आवश्यक है, जहाँ मुक्त पद स्थित है, जो वर्ग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है।
4. "+" और "-" चिन्हों के साथ वर्गमूल लें और पहले से प्राप्त रैखिक समीकरण को हल करें।

पहली नज़र में वर्णित एल्गोरिथम को जटिल माना जा सकता है, हालाँकि, व्यवहार में इसे फ़ैक्टराइज़ेशन विधि की तुलना में लागू करना आसान है।

पूर्ण वर्ग पूरक का उपयोग करके समाधान का एक उदाहरण

आइए पिछले पैराग्राफ में वर्णित विधि द्वारा इसके समाधान के प्रशिक्षण के लिए एक द्विघात समीकरण का उदाहरण देते हैं। द्विघात समीकरण -10 - 6x+5x²=0 दिया जाए। हम ऊपर वर्णित एल्गोरिथम का पालन करके इसे हल करना शुरू करते हैं।

आइटम 1. वर्ग समीकरणों को हल करते समय हम ट्रांसफर विधि का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: - 6x+5x²=10.

प्वाइंट 2। इस समीकरण का छोटा रूप इसके प्रत्येक सदस्य की संख्या 5 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है (यदि दोनों भागों को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो समानता बनी रहेगी)। परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: x² - 6/5x=2.

आइटम 3. गुणांक का आधा - 6/5 है -6/10=-3/5, वर्ग को पूरा करने के लिए इस संख्या का उपयोग करें, हमें मिलता है: (-3/5+x) ² । हम इसका विस्तार करते हैं और परिणामी मुक्त पद को द्विघात समीकरण के मूल रूप को संतुष्ट करने के लिए समानता के बाईं ओर से घटाया जाना चाहिए, जो इसे दाईं ओर जोड़ने के बराबर है। परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है: (-3/5+x)²=59/25.

आइटम 4. सकारात्मक और नकारात्मक संकेतों के साथ वर्गमूल की गणना करें और मूल खोजें: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5। दो पाए गए जड़ों में निम्नलिखित मान हैं: x₁=(√59+3)/5 और x₁=(3-√59)/5.

चूंकि की गई गणना मूल से संबंधित है, इसलिए गलती होने की संभावना बहुत अधिक है। इसलिए, x₂ और x₁ जड़ों की शुद्धता की जांच करने की अनुशंसा की जाती है। हमें मिलता है x₁: 5((3+√59)/5)²-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. अभी प्रतिस्थापित करेंx₂: 5((3-√59)/5)²-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.

इस प्रकार, हमने दिखाया है कि समीकरण के पाए गए मूल सत्य हैं।

विधि 3. प्रसिद्ध सूत्र का अनुप्रयोग

द्विघात समीकरणों को हल करने की यह विधि शायद सबसे सरल है, क्योंकि इसमें गुणांकों को एक ज्ञात सूत्र में बदलना शामिल है। इसका उपयोग करने के लिए, आपको समाधान एल्गोरिदम को संकलित करने के बारे में सोचने की ज़रूरत नहीं है, यह केवल एक सूत्र को याद रखने के लिए पर्याप्त है। यह ऊपर की तस्वीर में दिखाया गया है।

इस सूत्र में, मूल व्यंजक (b²-4ac) को विवेचक (D) कहा जाता है। इसके मूल्य पर निर्भर करता है कि कौन सी जड़ें प्राप्त होती हैं। 3 मामले हैं:

• D>0, तो मूल दो समीकरणों में वास्तविक और भिन्न समीकरण होते हैं।
• D=0, तब व्यक्ति को मूल मिलता है, जिसकी गणना x=-b/(a2) से की जा सकती है।
• D<0, तो आपको दो अलग-अलग काल्पनिक मूल मिलते हैं, जिन्हें सम्मिश्र संख्याओं के रूप में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 3-5i जटिल है, जबकि काल्पनिक इकाई i संपत्ति को संतुष्ट करती है: i²=-1.

विवेककर्ता की गणना करके समाधान का एक उदाहरण

आइए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके अभ्यास करने के लिए द्विघात समीकरण का एक उदाहरण देते हैं। -3x²-6+3x+4x=0 के मूल ज्ञात कीजिए। 2 ^-4ac=72^{-4(-3)(-6)=-23.}

चूंकि D<0 प्राप्त हुआ है, इसका मतलब है कि माना समीकरण की जड़ें जटिल संख्याएं हैं। आइए पिछले पैराग्राफ में दिए गए सूत्र में पाए गए मान डी को प्रतिस्थापित करके उन्हें खोजें (यह ऊपर की तस्वीर में भी दिखाया गया है)। हमें मिलता है: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.

विधि 4. फंक्शन ग्राफ का उपयोग करना

इसे वर्ग समीकरणों को हल करने की आलेखीय विधि भी कहा जाता है। यह कहा जाना चाहिए कि, एक नियम के रूप में, इसका उपयोग मात्रात्मक के लिए नहीं, बल्कि विचाराधीन समीकरण के गुणात्मक विश्लेषण के लिए किया जाता है।

विधि का सार एक द्विघात फलन y=f(x) को आलेखित करना है, जो एक परवलय है। फिर, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि परवलय x-अक्ष (X) को किन बिंदुओं पर काटता है, वे संबंधित समीकरण के मूल होंगे।

यह बताने के लिए कि क्या कोई परवलय X अक्ष को काटेगा, उसकी न्यूनतम (अधिकतम) की स्थिति और उसकी शाखाओं की दिशा (वे या तो बढ़ या घट सकती हैं) जानने के लिए पर्याप्त है। इस वक्र के दो गुण याद रखने योग्य हैं:

• यदि a>0 - शाखा के परवलय ऊपर की ओर निर्देशित होते हैं, इसके विपरीत, यदि a<0, तो वे नीचे जाते हैं।
• परवलय का न्यूनतम (अधिकतम) निर्देशांक हमेशा x=-b/(2a) होता है।

उदाहरण के लिए, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या समीकरण -4x+5x²+10=0 की जड़ें हैं। संबंधित परवलय को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाएगा, क्योंकि a=5>0। इसके चरम के निर्देशांक हैं: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)²+10=9, 2. चूंकि वक्र का न्यूनतम x-अक्ष (y=9, 2) के ऊपर स्थित है, तो यह बाद वाले को किसी के लिए भी प्रतिच्छेद नहीं करता हैएक्स मान। अर्थात्, दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

विएटा की प्रमेय

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह प्रमेय विधि संख्या 3 का परिणाम है, जो एक विवेचक के साथ एक सूत्र के अनुप्रयोग पर आधारित है। विएटा प्रमेय का सार यह है कि यह आपको समीकरण के गुणांक और इसकी जड़ों को समानता में जोड़ने की अनुमति देता है। आइए संबंधित समानताएं प्राप्त करें।

आइए विवेचक के माध्यम से जड़ों की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करें। दो जड़ें जोड़ें, हमें मिलता है: x₁+x₂=-b/a. अब एक दूसरे से जड़ों को गुणा करते हैं: x₁x₂, सरलीकरण की एक श्रृंखला के बाद हमें संख्या c/a मिलती है।

इस प्रकार, विएटा प्रमेय द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, आप प्राप्त दो समानताओं का उपयोग कर सकते हैं। यदि किसी समीकरण के तीनों गुणांक ज्ञात हों, तो इन दोनों समीकरणों के उपयुक्त निकाय को हल करके मूल ज्ञात किए जा सकते हैं।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करने का एक उदाहरण

आपको एक द्विघात समीकरण लिखने की आवश्यकता है यदि आप जानते हैं कि इसका रूप x²+c=-bx है और इसकी जड़ें 3 और -4 हैं।

चूंकि a=1 विचाराधीन समीकरण में, Vieta सूत्र इस प्रकार दिखाई देंगे: x₂+x₁=-b और x 2_x1_{=p. जड़ों के ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: b=1 और c=-12। परिणामस्वरूप, बहाल किया गया द्विघात घटा हुआ समीकरण इस तरह दिखेगा: x}2^{-12=-1x. आप इसमें जड़ों के मान को स्थानापन्न कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि समानता बनी रहे।}

विएटा प्रमेय का उल्टा अनुप्रयोग, अर्थात जड़ों की गणनासमीकरण का ज्ञात रूप, छोटे पूर्णांकों a, b और c को शीघ्रता से (सहज रूप से) समाधान खोजने की अनुमति देता है।