बीजगणित में दो प्रकार की समानता की अवधारणा है - सर्वसमिकाएँ और समीकरण। पहचान ऐसी समानताएं हैं जो उनमें शामिल अक्षरों के किसी भी मूल्य के लिए संभव हैं। समीकरण भी समानताएं हैं, लेकिन उनमें शामिल अक्षरों के कुछ मूल्यों के लिए ही संभव है।
अक्षर आमतौर पर कार्य की दृष्टि से असमान होते हैं। इसका मतलब यह है कि उनमें से कुछ किसी भी अनुमत मूल्यों को ले सकते हैं, जिन्हें गुणांक (या पैरामीटर) कहा जाता है, जबकि अन्य - उन्हें अज्ञात कहा जाता है - वे मान लेते हैं जिन्हें समाधान प्रक्रिया में खोजने की आवश्यकता होती है। एक नियम के रूप में, अज्ञात मात्राओं को अक्षरों द्वारा समीकरणों में दर्शाया जाता है, लैटिन वर्णमाला में अंतिम (x.y.z, आदि), या समान अक्षरों द्वारा, लेकिन एक सूचकांक के साथ (x1, x 2, आदि), और ज्ञात गुणांक उसी वर्णमाला के पहले अक्षरों द्वारा दिए गए हैं।
अज्ञात की संख्या के आधार पर, एक, दो और कई अज्ञात वाले समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जाता है। इस प्रकार, अज्ञात के वे सभी मान जिनके लिए समीकरण को हल किया जा रहा है, एक पहचान में बदल जाता है, समीकरणों के समाधान कहलाते हैं। एक समीकरण को हल माना जा सकता है यदि इसके सभी समाधान मिल जाते हैं या यह साबित हो जाता है कि इसका कोई हल नहीं है। व्यवहार में "समीकरण को हल करें" कार्य सामान्य है और इसका मतलब है कि आपको समीकरण की जड़ खोजने की आवश्यकता है।
परिभाषा: एक समीकरण की जड़ें अज्ञात के वे मान हैं जो स्वीकार्य मानों की सीमा से हैं, जिस पर हल किया जा रहा समीकरण एक पहचान बन जाता है।
पूरी तरह से सभी समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम समान है, और इसका अर्थ गणितीय परिवर्तनों का उपयोग करके इस अभिव्यक्ति को सरल रूप में कम करना है।जिन समीकरणों की जड़ें समान होती हैं उन्हें बीजगणित में समतुल्य कहा जाता है।
सबसे सरल उदाहरण: 7x-49=0, समीकरण का मूल x=7;x-7=0, इसी तरह, मूल x=7, इसलिए समीकरण समतुल्य हैं। (विशेष मामलों में, समतुल्य समीकरणों की जड़ें बिल्कुल भी नहीं हो सकती हैं।)
यदि किसी समीकरण का मूल भी दूसरे का मूल है, तो मूल समीकरण से प्राप्त सरल समीकरण को रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है, तो बाद वाले को पिछले समीकरण का परिणाम कहा जाता है।
यदि दो समीकरणों में से एक दूसरे का परिणाम है, तो उन्हें समतुल्य माना जाता है। उन्हें समकक्ष भी कहा जाता है। ऊपर दिया गया उदाहरण इसे दिखाता है।
व्यावहारिक रूप से सरलतम समीकरणों को भी हल करना अक्सर कठिन होता है। समाधान के परिणामस्वरूप, आप समीकरण की एक जड़, दो या अधिक, यहां तक कि एक अनंत संख्या प्राप्त कर सकते हैं - यह समीकरणों के प्रकार पर निर्भर करता है। कुछ ऐसे भी होते हैं जिनकी जड़ें नहीं होतीं, उन्हें अनिर्णीत कहा जाता है।
उदाहरण:
1) 15x -20=10; एक्स=2। यह समीकरण का एकमात्र मूल है।
2) 7x - y=0. समीकरण में अनंत संख्या में जड़ें हैं, क्योंकि प्रत्येक चर में अनगिनत हो सकते हैंमानों की संख्या।
3) x2=- 16. दूसरी घात तक बढ़ाई गई संख्या हमेशा सकारात्मक परिणाम देती है, इसलिए समीकरण का मूल ज्ञात करना असंभव है. यह ऊपर बताए गए अघुलनशील समीकरणों में से एक है।
समाधान की शुद्धता की जाँच अक्षरों के स्थान पर पाए गए मूल को प्रतिस्थापित करके और परिणामी उदाहरण को हल करके की जाती है। अगर पहचान सही है, तो समाधान सही है।
