अनिश्चित अभिन्न। अनिश्चितकालीन समाकलों की गणना

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 17:24

गणितीय विश्लेषण के मूलभूत वर्गों में से एक अभिन्न कलन है। यह वस्तुओं के व्यापक क्षेत्र को कवर करता है, जहां पहला अनिश्चितकालीन अभिन्न है। इसे एक कुंजी के रूप में स्थान देना उचित है, जो हाई स्कूल में भी उच्च गणित द्वारा वर्णित दृष्टिकोणों और अवसरों की बढ़ती संख्या को प्रकट करता है।

उपस्थिति

पहली नज़र में, अभिन्न पूरी तरह से आधुनिक, प्रासंगिक लगता है, लेकिन व्यवहार में यह पता चला है कि यह 1800 ईसा पूर्व के रूप में प्रकट हुआ था। मिस्र को आधिकारिक तौर पर मातृभूमि माना जाता है, क्योंकि इसके अस्तित्व के पहले के प्रमाण हम तक नहीं पहुंचे हैं। वह, जानकारी की कमी के कारण, यह सब समय केवल एक घटना के रूप में स्थित था। उन्होंने एक बार फिर उस समय के लोगों के बीच विज्ञान के विकास के स्तर की पुष्टि की। अंत में, ईसा पूर्व चौथी शताब्दी के प्राचीन यूनानी गणितज्ञों की कृतियाँ मिलीं। उन्होंने एक ऐसी विधि का वर्णन किया जहां एक अनिश्चित अभिन्न का उपयोग किया गया था, जिसका सार एक घुमावदार आकृति (त्रि-आयामी) का आयतन या क्षेत्र खोजना थाऔर द्वि-आयामी विमान, क्रमशः)। परिकलन सिद्धांत मूल आकृति को अतिसूक्ष्म घटकों में विभाजित करने पर आधारित था, बशर्ते कि उनका आयतन (क्षेत्रफल) पहले से ही ज्ञात हो। समय के साथ, विधि बढ़ी है, आर्किमिडीज ने इसका उपयोग परवलय के क्षेत्र को खोजने के लिए किया था। इसी तरह की गणना एक ही समय में प्राचीन चीन के वैज्ञानिकों द्वारा की गई थी, और वे विज्ञान में अपने यूनानी समकक्षों से पूरी तरह स्वतंत्र थे।

विकास

11वीं शताब्दी ईस्वी में अगली सफलता अरब वैज्ञानिक- "सार्वभौमिक" अबू अली अल-बसरी का काम था, जिन्होंने पहले से ज्ञात की सीमाओं को धक्का दिया, योगों की गणना के लिए अभिन्न के आधार पर सूत्र प्राप्त किए। पहली से चौथी तक पंक्तियों और शक्तियों का योग, इसके लिए गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करना जो हमें ज्ञात है।

आधुनिक समय के मन इस बात की प्रशंसा करते हैं कि कैसे प्राचीन मिस्रवासियों ने अपने हाथों को छोड़कर बिना किसी विशेष उपकरण के अद्भुत वास्तुशिल्प स्मारक बनाए, लेकिन क्या उस समय के वैज्ञानिकों के दिमाग की शक्ति किसी चमत्कार से कम नहीं है? आज की तुलना में, उनका जीवन लगभग आदिम लगता है, लेकिन अनिश्चित अभिन्न का समाधान हर जगह व्युत्पन्न हुआ और आगे के विकास के लिए व्यवहार में इस्तेमाल किया गया।

अगला कदम 16वीं शताब्दी में हुआ, जब इतालवी गणितज्ञ कैवेलियरी ने अविभाज्य की विधि विकसित की, जिसे पियरे फ़र्मेट ने अपनाया। यह इन दो व्यक्तित्वों ने आधुनिक अभिन्न कलन की नींव रखी, जो इस समय ज्ञात है। उन्होंने भेदभाव और एकीकरण की अवधारणाओं को जोड़ा, जो पहले थेस्वायत्त इकाइयों के रूप में माना जाता है। कुल मिलाकर, उस समय का गणित खंडित था, निष्कर्ष के कण अपने आप ही मौजूद थे, जिनका दायरा सीमित था। एकीकरण और सामान्य आधार की खोज का मार्ग उस समय एकमात्र सत्य था, जिसकी बदौलत आधुनिक गणितीय विश्लेषण को बढ़ने और विकसित होने का अवसर मिला।

समय के साथ सब कुछ बदल गया है, जिसमें समाकलन का अंकन भी शामिल है। मोटे तौर पर, वैज्ञानिकों ने इसे हर तरह से निरूपित किया, उदाहरण के लिए, न्यूटन ने एक वर्ग चिह्न का उपयोग किया जिसमें उन्होंने एक अभिन्न कार्य रखा या बस इसे इसके बगल में रखा।

यह असंगति 17वीं शताब्दी तक जारी रही, जब वैज्ञानिक गॉटफ्राइड लाइबनिज, गणितीय विश्लेषण के पूरे सिद्धांत के लिए एक मील का पत्थर, ने हमें इतना परिचित प्रतीक पेश किया। लम्बा "एस" वास्तव में लैटिन वर्णमाला के इस अक्षर पर आधारित है, क्योंकि यह एंटीडेरिवेटिव्स के योग को दर्शाता है। 15 साल बाद जैकब बर्नौली की बदौलत इंटीग्रल को इसका नाम मिला।

औपचारिक परिभाषा

अनिश्चित समाकल सीधे प्रतिअवकलन की परिभाषा पर निर्भर करता है, तो आइए पहले इस पर विचार करें।

एन्टीडेरिवेटिव एक फंक्शन है जो एक व्युत्पन्न का विलोम होता है, व्यवहार में इसे प्रिमिटिव भी कहा जाता है। अन्यथा: किसी फलन d का प्रतिअवकलज एक फलन D होता है जिसका अवकलज v V'=v के बराबर होता है। प्रतिअवकलन की खोज अनिश्चित समाकलन की गणना है, और इस प्रक्रिया को ही समाकलन कहते हैं।

उदाहरण:

फ़ंक्शन s(y)=y³, और इसका प्रतिपक्षी S(y)=(y^4/4).

विचाराधीन फलन के सभी अवकलजों का समुच्चय अनिश्चितकालीन समाकलन है, इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: ∫v(x)dx.

इस तथ्य के कारण कि V(x) मूल फलन का केवल कुछ प्रतिअवकलन है, व्यंजक होता है: v(x)dx=V(x) + C, जहां C एक अचर है। एक मनमाना स्थिरांक कोई भी स्थिरांक होता है, क्योंकि इसका अवकलज शून्य के बराबर होता है।

गुण

अनिश्चित समाकलन के गुण मुख्य परिभाषा और व्युत्पन्न के गुणों पर आधारित होते हैं।

आइए प्रमुख बिंदुओं पर नजर डालते हैं:

• एंटीडेरिवेटिव के व्युत्पन्न से इंटीग्रल स्वयं एंटीडेरिवेटिव है और एक मनमाना स्थिरांक V'(x)dx=V(x) + C;
• फ़ंक्शन इंटीग्रल का व्युत्पन्न मूल फ़ंक्शन है (∫v(x)dx)'=v(x);
• अचर को समाकल चिह्न ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx के नीचे से निकाला जाता है, जहां k मनमाना है;
• योग से लिया गया समाकल समान रूप से समाकलों के योग के बराबर होता है ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.

अंतिम दो गुणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अनिश्चित समाकलन रैखिक होता है। इसके लिए धन्यवाद, हमारे पास है: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.

समेकित करने के लिए, अनिश्चित समाकलों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

इंटीग्रल (3sinx + 4cosx)dx: खोजना आवश्यक है

∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C

उदाहरण से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:अनिश्चित समाकलों को हल करना नहीं जानते? बस सभी आदिम खोजें! लेकिन खोज के सिद्धांतों पर नीचे विचार किया जाएगा।

तरीके और उदाहरण

इंटीग्रल को हल करने के लिए, आप निम्न विधियों का सहारा ले सकते हैं:

• तैयार टेबल का उपयोग करें;
• भागों द्वारा एकीकृत;
• चर बदलकर एकीकृत करें;
• डिफरेंशियल साइन के तहत लाना।

टेबल्स

सबसे आसान और सबसे सुखद तरीका। फिलहाल, गणितीय विश्लेषण में काफी व्यापक तालिकाएं हैं जिनमें अनिश्चित समाकलन के मूल सूत्र लिखे गए हैं। दूसरे शब्दों में, ऐसे टेम्पलेट हैं जो आपके सामने विकसित किए गए हैं और आपके लिए यह केवल उनका उपयोग करने के लिए रहता है। यहां मुख्य तालिका स्थितियों की एक सूची दी गई है जिससे आप लगभग हर उदाहरण प्राप्त कर सकते हैं जिसका समाधान है:

• ∫0dy=C, जहाँ C एक अचर है;
• ∫dy=y + C, जहाँ C एक अचर है;
• ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, जहां C एक स्थिरांक है और n - गैर-एक नंबर;
• ∫(1/y)dy=ln|y| + सी, जहां सी स्थिर है;
• ∫e^ydy=e^{y + C, जहां C एक स्थिरांक है;}
• ∫k^ydy=(k^{y/ln k) + C, जहां C एक स्थिरांक है;}
• ∫cosydy=siny + C, जहाँ C एक स्थिरांक है;
• ∫सिनीडी=-कोसी + सी, जहां सी एक स्थिरांक है;
• ∫dy/cos2y=tgy + C, जहां C एक स्थिरांक है;
• ∫dy/sin2y=-ctgy + C, जहां C एक स्थिरांक है;
• ∫dy/(1 + y2)=आर्कटिक + सी, जहां सी स्थिर है;
• ∫chydy=शर्मीला + C, जहाँ C -स्थिर;
• ∫shydy=chy + C, जहाँ C एक अचर है।

जरूरत पड़ने पर दो-चार कदम उठाएं, इंटीग्रैंड को एक सारणीबद्ध रूप में लाएं और जीत का आनंद लें। उदाहरण: cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.

समाधान के अनुसार, यह स्पष्ट है कि सारणीबद्ध उदाहरण के लिए, समाकलन में 5 के गुणनखंड का अभाव है। हम इसे जोड़ते हैं, इसे समानांतर में 1/5 से गुणा करते हैं ताकि सामान्य व्यंजक में परिवर्तन न हो।

भागों द्वारा एकीकरण

दो कार्यों पर विचार करें - z(y) और x(y)। उन्हें परिभाषा के पूरे क्षेत्र में लगातार अलग-अलग होना चाहिए। विभेदन गुणों में से एक के अनुसार, हमारे पास है: d(xz)=xdz + zdx। समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं: d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz।

परिणामी समानता को फिर से लिखना, हम एक सूत्र प्राप्त करते हैं जो भागों द्वारा एकीकरण की विधि का वर्णन करता है: zdx=zx - ∫xdz।

इसकी आवश्यकता क्यों है? मुद्दा यह है कि कुछ उदाहरणों को सरल बनाया जा सकता है, सशर्त रूप से बोलते हुए, zdx को ∫xdz तक कम करें यदि उत्तरार्द्ध सारणीबद्ध रूप के करीब है। साथ ही, इष्टतम परिणाम प्राप्त करते हुए, इस सूत्र को एक से अधिक बार लागू किया जा सकता है।

अनिश्‍चित समाकलों को इस प्रकार कैसे हल करें:

गणना करने की आवश्यकता (s + 1)e2sds

∫(x + 1)e^2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e^2s, डाई=ई^2xds}=((s+1)e^2s) / 2-1/2∫e^2s dx=((s+1)e^2s) / 2-e^2s/4+ सी;

∫lnsds की गणना करने की आवश्यकता है

∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + सी.

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

अनिश्चित समाकलों को हल करने का यह सिद्धांत पिछले दो की तुलना में मांग में कम नहीं है, हालांकि यह अधिक जटिल है। विधि इस प्रकार है: मान लीजिए V(x) किसी फलन v(x) का समाकल है। इस घटना में कि उदाहरण में अभिन्न स्वयं जटिल के रूप में सामने आता है, भ्रमित होने और समाधान का गलत रास्ता अपनाने की एक उच्च संभावना है। इससे बचने के लिए, चर x से z में संक्रमण का अभ्यास किया जाता है, जिसमें x पर z की निर्भरता को बनाए रखते हुए सामान्य अभिव्यक्ति को दृष्टिगत रूप से सरल बनाया जाता है।

गणितीय रूप से यह इस तरह दिखता है: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y^{-1(x)), जहां x=y(z) एक प्रतिस्थापन है। और, ज़ाहिर है, उलटा कार्य z=y}-1^{(x) चर की निर्भरता और संबंध का पूरी तरह से वर्णन करता है। महत्वपूर्ण नोट - डिफरेंशियल dx को आवश्यक रूप से एक नए डिफरेंशियल dz से बदल दिया जाता है, क्योंकि अनिश्चित इंटीग्रल में एक वेरिएबल के प्रतिस्थापन का मतलब हर जगह इसका रिप्लेसमेंट है, न कि केवल इंटीग्रैंड में।}

उदाहरण:

(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds खोजने की जरूरत है

प्रतिस्थापन लागू करें z=(s+1)/(s2+2s-5)। फिर dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. नतीजतन, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है, जिसकी गणना करना बहुत आसान है:

∫(s+1)/(s²+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s^2+2s-5|+C;

अभिन्न खोजने की जरूरत∫2^एसई^{एसडीएक्स}

हल करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में व्यंजक को फिर से लिखते हैं:

∫2^se^sds=∫(2e)^sds.

a=2e द्वारा निरूपित करें (यह चरण तर्क के लिए एक प्रतिस्थापन नहीं है, यह अभी भी s है), हम अपने प्रतीत होने वाले जटिल अभिन्न को एक प्राथमिक सारणीबद्ध रूप में लाते हैं:

∫(2e)^sds=∫a^sds=a^s / lna + सी=(2e)^s / ln(2e) + C=2^se^s / ln(2 + lne) + C=2^se^{s / (ln2 + 1) + C.}

डिफरेंशियल साइन के नीचे लाना

कुल मिलाकर, अनिश्चित समाकलन की यह विधि परिवर्तनशील परिवर्तन सिद्धांत का एक जुड़वा भाई है, लेकिन डिजाइन प्रक्रिया में अंतर हैं। आइए करीब से देखें।

यदि v(x)dx=V(x) + C और y=z(x), तो ∫v(y)dy=V(y) + C.

इस मामले में, तुच्छ अभिन्न परिवर्तनों को नहीं भूलना चाहिए, जिनमें से:

• dx=d(x + a), जहां a कोई स्थिरांक है;
• dx=(1 / a)d(ax + b), जहां a फिर से एक स्थिरांक है, लेकिन शून्य के बराबर नहीं है;
• xdx=1/2d(x2 + ख);
• sinxdx=-d(cosx);
• cosxdx=d(sinx).

यदि हम अनिश्चित समाकल की गणना करते समय सामान्य स्थिति पर विचार करते हैं, तो उदाहरणों को सामान्य सूत्र w'(x)dx=dw(x) के तहत सारांशित किया जा सकता है।

उदाहरण:

find(2एस + 3)²डीएस, डीएस=1/2डी(2एस + 3) ^{खोजने की जरूरत है}

∫(2s + 3)²ds=1/2∫(2s + 3)²d(2s + 3)=(1/2) एक्स ((2एस +.)3)²) / 3 + सी=(1/6) x (2s + 3)^{2 + सी;}

∫tgsds=sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + सी.

ऑनलाइन सहायता

कुछ मामलों में, जिसका दोष या तो आलस्य या तत्काल आवश्यकता हो सकती है, आप ऑनलाइन युक्तियों का उपयोग कर सकते हैं, या यूँ कहें कि अनिश्चितकालीन अभिन्न कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं। इंटीग्रल की सभी स्पष्ट जटिलता और विवाद के बावजूद, उनका समाधान एक निश्चित एल्गोरिथम के अधीन है, जो "यदि नहीं …, तो …" सिद्धांत पर आधारित है।

बेशक, ऐसा कैलकुलेटर विशेष रूप से जटिल उदाहरणों में महारत हासिल नहीं करेगा, क्योंकि ऐसे मामले हैं जिनमें समाधान कृत्रिम रूप से खोजना पड़ता है, प्रक्रिया में कुछ तत्वों को "जबरन" पेश करना, क्योंकि परिणाम स्पष्ट रूप से प्राप्त नहीं किया जा सकता है तरीके। इस कथन के तमाम विवादों के बावजूद, यह सच है, क्योंकि गणित, सिद्धांत रूप में, एक अमूर्त विज्ञान है, और संभावनाओं की सीमाओं का विस्तार करने की आवश्यकता को अपना प्राथमिक कार्य मानता है। वास्तव में, सुचारू, चलने वाले सिद्धांतों के अनुसार आगे बढ़ना और विकसित करना बेहद मुश्किल है, इसलिए आपको यह नहीं मानना चाहिए कि अनिश्चित समाकलों को हल करने के उदाहरण जो हमने दिए हैं वे संभावनाओं की ऊंचाई हैं। लेकिन चीजों के तकनीकी पक्ष पर वापस। कम से कम गणनाओं की जांच करने के लिए, आप उन सेवाओं का उपयोग कर सकते हैं जिनमें सब कुछ हमारे सामने लिखा गया था। यदि जटिल अभिव्यक्ति की स्वचालित गणना की आवश्यकता है, तो उन्हें दूर नहीं किया जा सकता है, आपको अधिक गंभीर सॉफ़्टवेयर का सहारा लेना होगा। सबसे पहले MatLab पर्यावरण पर ध्यान देने योग्य है।

आवेदन

पहली नज़र में अनिश्चित समाकलन का समाधान वास्तविकता से पूरी तरह से बाहर लगता है, क्योंकि आवेदन के स्पष्ट क्षेत्रों को देखना मुश्किल है। वास्तव में, उन्हें सीधे कहीं भी उपयोग नहीं किया जा सकता है, लेकिन व्यवहार में उपयोग किए जाने वाले समाधान प्राप्त करने की प्रक्रिया में उन्हें एक आवश्यक मध्यवर्ती तत्व माना जाता है। इसलिए, एकीकरण विभेदन के विपरीत है, जिसके कारण यह समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में सक्रिय रूप से भाग लेता है।

बदले में, इन समीकरणों का यांत्रिक समस्याओं के समाधान, प्रक्षेपवक्र की गणना और तापीय चालकता पर सीधा प्रभाव पड़ता है - संक्षेप में, वह सब कुछ जो वर्तमान को बनाता है और भविष्य को आकार देता है। अनिश्चित समाकलन, जिसके उदाहरणों की हमने ऊपर जांच की, केवल पहली नज़र में तुच्छ है, क्योंकि यह अधिक से अधिक नई खोज करने का आधार है।