एक पैमाने के संस्करण में, एक मॉडल एक प्रकार की छवि, आरेख, मानचित्र, विवरण, एक निश्चित घटना या प्रक्रिया की छवि है। घटना को ही गणितीय या आर्थिक मॉडल का मूल कहा जाता है।
मॉडलिंग क्या है?
मॉडलिंग किसी वस्तु, प्रणाली का अध्ययन है। इसके कार्यान्वयन के लिए, एक मॉडल बनाया और विश्लेषण किया जाता है।
मॉडलिंग के सभी चरणों में एक वैज्ञानिक प्रयोग शामिल होता है, जिसका उद्देश्य एक सार या विषय मॉडल होता है। प्रयोग करते समय, एक विशिष्ट घटना को एक योजना या एक सरलीकृत मॉडल (प्रतिलिपि) द्वारा बदल दिया जाता है। कुछ मामलों में, एक बाजार अर्थव्यवस्था में अनुभव के परिणामों को पेश करने की आर्थिक व्यवहार्यता का विश्लेषण करने के लिए, इसके उदाहरण का उपयोग करके काम के तंत्र को समझने के लिए एक कामकाजी मॉडल को इकट्ठा किया जाता है। एक ही घटना को विभिन्न मॉडलों द्वारा माना जा सकता है।
शोधकर्ता को मॉडलिंग के आवश्यक चरणों का चयन करना चाहिए, उनका बेहतर उपयोग करना चाहिए। मॉडल का उपयोग उन मामलों में प्रासंगिक है जहां वास्तविक वस्तु उपलब्ध नहीं है, या इसके साथ प्रयोग गंभीर पर्यावरणीय समस्याओं से जुड़े हैं। वर्तमान मॉडल उन स्थितियों में भी लागू होता है जहां वास्तविक प्रयोगमहत्वपूर्ण सामग्री लागत शामिल है।
गणितीय मॉडलिंग की विशेषताएं
गणितीय मॉडल विज्ञान में अपरिहार्य हैं, साथ ही उनके लिए उपकरण - गणितीय अवधारणाएं। कई सहस्राब्दियों के दौरान, उन्होंने संचित और आधुनिकीकरण किया। आधुनिक गणित में अनुसंधान के सार्वभौमिक और शक्तिशाली तरीके हैं। "विज्ञान की रानी" द्वारा मानी जाने वाली कोई भी वस्तु एक गणितीय मॉडल है। चयनित वस्तु के विस्तृत विश्लेषण के लिए, गणितीय मॉडलिंग के चरणों का चयन किया जाता है। उनकी मदद से, विवरण, विशेषताओं, विशिष्ट विशेषताओं को प्रतिष्ठित किया जाता है, प्राप्त जानकारी को व्यवस्थित किया जाता है, और वस्तु का पूरा विवरण तैयार किया जाता है।
गणितीय औपचारिकता में विशेष अवधारणाओं के साथ अनुसंधान के दौरान संचालन शामिल है: मैट्रिक्स, फ़ंक्शन, व्युत्पन्न, प्रतिपक्षी, संख्याएं। वे संबंध और संबंध जो अध्ययन के तहत वस्तु में घटक तत्वों और विवरणों के बीच पाए जा सकते हैं, गणितीय संबंधों द्वारा दर्ज किए जाते हैं: समीकरण, असमानता, समानताएं। नतीजतन, एक घटना या प्रक्रिया का गणितीय विवरण प्राप्त होता है, और इसके परिणामस्वरूप, इसका गणितीय मॉडल।
गणितीय मॉडल के अध्ययन के नियम
मॉडलिंग चरणों का एक निश्चित क्रम है जो आपको प्रभावों और कारणों के बीच संबंध स्थापित करने की अनुमति देता है। प्रणाली के डिजाइन या अध्ययन में केंद्रीय चरण एक पूर्ण गणितीय मॉडल का निर्माण है। इस वस्तु का आगे का विश्लेषण सीधे किए गए कार्यों की गुणवत्ता पर निर्भर करता है। इमारतगणितीय या आर्थिक मॉडल औपचारिक प्रक्रिया नहीं है। इसका उपयोग करना आसान, सटीक होना चाहिए, ताकि विश्लेषण के परिणामों में कोई विकृति न हो।
गणितीय मॉडलों के वर्गीकरण पर
दो किस्में हैं: नियतात्मक और स्टोकेस्टिक मॉडल। नियतात्मक मॉडल में एक घटना या वस्तु का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चर के बीच एक-से-एक पत्राचार की स्थापना शामिल है।
यह दृष्टिकोण वस्तु के संचालन के सिद्धांत के बारे में जानकारी पर आधारित है। कई मामलों में, मॉडलिंग की जा रही घटना की एक जटिल संरचना होती है, और इसे समझने में बहुत समय और ज्ञान लगता है। ऐसी स्थितियों में, ऐसे मॉडलिंग चरणों का चयन किया जाता है जो वस्तु की सैद्धांतिक विशेषताओं में जाने के बिना, मूल पर प्रयोग करने, प्राप्त परिणामों को संसाधित करने की अनुमति देगा। सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। परिणाम एक स्टोकेस्टिक मॉडल है। चर के बीच एक यादृच्छिक संबंध है। विभिन्न कारकों की एक बड़ी संख्या चर के एक यादृच्छिक सेट का कारण बनती है जो किसी घटना या वस्तु की विशेषता होती है।
आधुनिक मॉडलिंग चरण स्थिर और गतिशील मॉडल पर लागू होते हैं। स्थिर विचारों में, निर्मित घटना के चर के बीच संबंधों का वर्णन मुख्य मापदंडों के समय में परिवर्तन को ध्यान में नहीं रखता है। गतिशील मॉडल के लिए, अस्थायी परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए चर के बीच संबंधों का वर्णन किया जाता है।
मॉडल की किस्में:
- निरंतर;
- असतत;
- मिश्रित
गणितीय मॉडलिंग के विभिन्न चरण चर के सीधे कनेक्शन का उपयोग करके रैखिक मॉडल में संबंधों और कार्यों का वर्णन करना संभव बनाते हैं।
मॉडल के लिए क्या आवश्यकताएं हैं?
- बहुमुखी प्रतिभा। मॉडल वास्तविक वस्तु में निहित सभी गुणों का पूर्ण प्रतिनिधित्व होना चाहिए।
- पर्याप्तता। ऑब्जेक्ट की महत्वपूर्ण विशेषताएँ निर्दिष्ट त्रुटि से अधिक नहीं होनी चाहिए।
- सटीकता। यह किसी वस्तु की विशेषताओं के संयोग की डिग्री की विशेषता है जो वास्तव में मॉडल के अध्ययन के दौरान प्राप्त समान मापदंडों के साथ मौजूद है।
- अर्थव्यवस्था। सामग्री लागत के मामले में मॉडल न्यूनतम होना चाहिए।
मॉडलिंग के चरण
आइए गणितीय मॉडलिंग के मुख्य चरणों पर विचार करें।
कार्य चुनना। अध्ययन का उद्देश्य चुना जाता है, इसके कार्यान्वयन के तरीकों का चयन किया जाता है, और एक प्रयोग रणनीति विकसित की जाती है। इस चरण में गंभीर कार्य शामिल है। अनुकरण का अंतिम परिणाम कार्य की शुद्धता पर निर्भर करता है।
- सैद्धांतिक नींव का विश्लेषण, वस्तु के बारे में प्राप्त जानकारी का सारांश। इस चरण में एक सिद्धांत का चयन या निर्माण शामिल है। वस्तु के बारे में सैद्धांतिक ज्ञान के अभाव में, घटना या वस्तु का वर्णन करने के लिए चुने गए सभी चर के बीच कारण संबंध स्थापित होते हैं। इस स्तर पर, प्रारंभिक और अंतिम डेटा निर्धारित किया जाता है, और एक परिकल्पना सामने रखी जाती है।
- औपचारिकरण। कार्यान्वितविशेष अंकन की एक प्रणाली का चुनाव जो गणितीय अभिव्यक्तियों के रूप में प्रश्न में वस्तु के घटकों के बीच संबंध को लिखने में मदद करेगा।
एल्गोरिदम में जोड़
मॉडल पैरामीटर सेट करने के बाद, एक निश्चित विधि या समाधान का तरीका चुना जाता है।
- बनाए गए मॉडल का क्रियान्वयन। सिस्टम मॉडलिंग के चरणों का चयन करने के बाद, एक प्रोग्राम बनाया जाता है जिसका परीक्षण किया जाता है और समस्या को हल करने के लिए लागू किया जाता है।
- एकत्रित जानकारी का विश्लेषण। कार्य और प्राप्त समाधान के बीच एक सादृश्य खींचा जाता है, और मॉडलिंग त्रुटि निर्धारित की जाती है।
- जांचना कि मॉडल वास्तविक वस्तु से मेल खाता है या नहीं। यदि उनके बीच महत्वपूर्ण अंतर है, तो एक नया मॉडल विकसित किया जाता है। जब तक मॉडल का उसके वास्तविक समकक्ष के साथ आदर्श पत्राचार प्राप्त नहीं हो जाता, तब तक विवरण में परिशोधन और परिवर्तन किया जाता है।
सिमुलेशन विशेषता
पिछली शताब्दी के मध्य में, आधुनिक व्यक्ति के जीवन में कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उदय हुआ, वस्तुओं और घटनाओं के अध्ययन के लिए गणितीय विधियों की प्रासंगिकता बढ़ गई। "गणितीय रसायन विज्ञान", "गणितीय भाषाविज्ञान", "गणितीय अर्थशास्त्र" जैसे खंड, घटना और वस्तुओं के अध्ययन से संबंधित, दिखाई दिए, मॉडलिंग के मुख्य चरण बनाए गए।
उनका मुख्य लक्ष्य नियोजित अवलोकनों की भविष्यवाणी, कुछ वस्तुओं का अध्ययन था। इसके अलावा, मॉडलिंग की मदद से आप अपने आसपास की दुनिया के बारे में जान सकते हैं, इसे नियंत्रित करने के तरीके खोज सकते हैं। एक कंप्यूटर प्रयोग उन मामलों में किया जाना चाहिए जबअसली काम नहीं करता। अध्ययन के तहत घटना के गणितीय मॉडल के निर्माण के बाद, कंप्यूटर ग्राफिक्स का उपयोग करके, कोई भी परमाणु विस्फोट, प्लेग महामारी आदि का अध्ययन कर सकता है।
विशेषज्ञ गणितीय मॉडलिंग के तीन चरणों में अंतर करते हैं, और प्रत्येक की अपनी विशेषताएं हैं:
- मॉडल बनाना। इस चरण में एक आर्थिक योजना, प्राकृतिक घटना, निर्माण, उत्पादन प्रक्रिया स्थापित करना शामिल है। इस मामले में स्थिति का स्पष्ट रूप से वर्णन करना मुश्किल है। सबसे पहले आपको घटना की बारीकियों की पहचान करने की जरूरत है, इसके और अन्य वस्तुओं के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए। फिर सभी गुणात्मक विशेषताओं का गणितीय भाषा में अनुवाद किया जाता है, और एक गणितीय मॉडल बनाया जाता है। संपूर्ण मॉडलिंग प्रक्रिया में यह चरण सबसे कठिन है।
- एल्गोरिदम के विकास से जुड़ी गणितीय समस्या को हल करने का चरण, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी पर किसी समस्या को हल करने के तरीके, माप त्रुटियों की पहचान करना।
- अनुसंधान के दौरान प्राप्त जानकारी का उस क्षेत्र की भाषा में अनुवाद करना जिसके लिए प्रयोग किया गया था।
गणितीय मॉडलिंग के ये तीन चरण परिणामी मॉडल की पर्याप्तता की जांच करके पूरक हैं। सैद्धांतिक ज्ञान के साथ प्रयोग में प्राप्त परिणामों के बीच पत्राचार की जांच की जाती है। यदि आवश्यक हो, तो बनाए गए मॉडल को संशोधित करें। प्राप्त परिणामों के आधार पर यह जटिल या सरलीकृत है।
आर्थिक मॉडलिंग की विशेषताएं
गणितीय मॉडलिंग के 3 चरणों में बीजगणितीय, विभेदक प्रणालियों का उपयोग शामिल हैसमीकरण ग्राफ सिद्धांत का उपयोग करके जटिल वस्तुओं का निर्माण किया जाता है। इसमें अंतरिक्ष में या समतल पर बिंदुओं का एक सेट शामिल होता है, जो आंशिक रूप से किनारों से जुड़ा होता है। आर्थिक मॉडलिंग के मुख्य चरणों में संसाधनों का चुनाव, उनका वितरण, परिवहन के लिए लेखांकन, नेटवर्क योजना शामिल है। कौन सी क्रिया एक मॉडलिंग कदम नहीं है? इस प्रश्न का स्पष्ट उत्तर देना कठिन है, यह सब विशिष्ट स्थिति पर निर्भर करता है। मॉडलिंग प्रक्रिया के मुख्य चरणों में लक्ष्य और अनुसंधान के विषय का निर्माण, लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए मुख्य विशेषताओं की पहचान और मॉडल के टुकड़ों के बीच संबंध का विवरण शामिल है। इसके बाद, गणितीय सूत्रों का उपयोग करके गणना करें।
उदाहरण के लिए, सेवा सिद्धांत कतारबद्ध समस्या है। उपकरणों को बनाए रखने की लागत और कतार में रहने की लागत के बीच संतुलन खोजना महत्वपूर्ण है। मॉडल के औपचारिक विवरण के निर्माण के बाद, कम्प्यूटेशनल और विश्लेषणात्मक तकनीकों का उपयोग करके गणना की जाती है। मॉडल के गुणात्मक संकलन के साथ, आप सभी सवालों के जवाब पा सकते हैं। यदि मॉडल खराब है, तो यह समझना असंभव है कि कौन सी क्रिया एक मॉडलिंग कदम नहीं है।
व्यावहारिकता किसी घटना या मॉडल की पर्याप्तता का आकलन करने के लिए एक सही मानदंड है। अनुकूलन विकल्पों सहित बहुमानदंड मॉडल में लक्ष्य निर्धारण शामिल होता है। लेकिन इस लक्ष्य को हासिल करने का तरीका अलग है। इस प्रक्रिया में संभावित कठिनाइयों के बीच, हमें इस पर प्रकाश डालना चाहिए:
- एक जटिल प्रणाली में, कई हैंसंबंध;
- एक वास्तविक प्रणाली का विश्लेषण करते समय सभी यादृच्छिक कारकों को ध्यान में रखना मुश्किल है;
- गणितीय उपकरण की तुलना उन परिणामों से करना मुश्किल है जो आप प्राप्त करना चाहते हैं
बहुआयामी प्रणालियों के अध्ययन की प्रक्रिया में उत्पन्न होने वाली कई जटिलताओं के कारण, सिमुलेशन मॉडलिंग विकसित की गई है। इसे कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के लिए विशेष कार्यक्रमों के एक सेट के रूप में समझा जाता है, जो सिस्टम के अलग-अलग तत्वों के संचालन और उनके बीच संबंध का वर्णन करता है। यादृच्छिक चर के उपयोग में प्रयोगों की बार-बार पुनरावृत्ति, परिणामों का सांख्यिकीय प्रसंस्करण शामिल है। सिमुलेशन सिस्टम के साथ काम करना एक प्रयोग है जो कंप्यूटर तकनीक की मदद से किया जाता है। इस प्रणाली के क्या फायदे हैं? इस तरह, मूल प्रणाली से अधिक निकटता प्राप्त करना संभव है, जो गणितीय मॉडल के मामले में असंभव है। ब्लॉक सिद्धांत का उपयोग करके, आप एकल सिस्टम में शामिल होने से पहले अलग-अलग ब्लॉक का विश्लेषण कर सकते हैं। यह विकल्प आपको जटिल संबंधों का उपयोग करने की अनुमति देता है जिन्हें सामान्य गणितीय संबंधों का उपयोग करके वर्णित नहीं किया जा सकता है।
सिमुलेशन सिस्टम के निर्माण के नुकसान के बीच, हम समय और संसाधनों की लागत के साथ-साथ आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करने की आवश्यकता पर प्रकाश डालते हैं।
मॉडलिंग के विकास के चरणों की तुलना समाज में हो रहे परिवर्तनों से की जा सकती है। उपयोग के क्षेत्र के अनुसार, सभी मॉडलों को प्रशिक्षण कार्यक्रमों, सिमुलेटर, शिक्षण और दृश्य एड्स में विभाजित किया गया है। प्रायोगिक मॉडल वास्तविक वस्तुओं (कारों) की प्रतियों को कम किया जा सकता है। वैज्ञानिक और तकनीकी विकल्पइलेक्ट्रॉनिक उपकरणों के विश्लेषण के लिए स्टैंड बनाए गए हैं। सिमुलेशन मॉडल न केवल वास्तविक वास्तविकता को दर्शाते हैं, उनमें प्रयोगशाला चूहों पर परीक्षण, शिक्षा प्रणाली में प्रयोग शामिल हैं। नकल को परीक्षण और त्रुटि की एक विधि के रूप में देखा जाता है।
प्रस्तुतिकरण संस्करण के अनुसार सभी मॉडलों का विभाजन है। सामग्री मॉडल को विषय कहा जाता है। इस तरह के विकल्प मूल की ज्यामितीय और भौतिक विशेषताओं से संपन्न हैं, उनका वास्तविकता में अनुवाद किया जा सकता है। सूचना मॉडल को हाथों से नहीं छुआ जा सकता है। वे अध्ययन की गई वस्तु, घटना, प्रक्रिया और वास्तविक दुनिया के साथ उनके संबंध की स्थिति और गुणों की विशेषता रखते हैं। मौखिक विकल्पों में सूचना मॉडल शामिल होते हैं जिन्हें बोलचाल या मानसिक रूप में लागू किया जाता है। एक बहुफलकीय गणितीय भाषा के कुछ चिह्नों को लागू करके हस्ताक्षरित प्रकार व्यक्त किए जाते हैं।
निष्कर्ष
वैज्ञानिक ज्ञान की एक विधि के रूप में गणितीय मॉडलिंग उच्च गणित की नींव के साथ-साथ दिखाई दी। इस प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण भूमिका आई. न्यूटन, आर. डेसकार्टेस, जी. लाइबनिज ने निभाई थी। गणितीय मॉडल सबसे पहले P. Fermat, B. Pascal द्वारा बनाए गए थे। V. V. Leontiev, V. V. Novozhilov, A. L. Lurie ने उत्पादन और अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडलिंग पर ध्यान दिया। आजकल, गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में किसी वस्तु या घटना के अध्ययन के लिए एक समान विकल्प का उपयोग किया जाता है। डिज़ाइन किए गए सिस्टम की मदद से, इंजीनियर ऐसी घटनाओं और प्रक्रियाओं का पता लगाते हैं जिनका वास्तविक परिस्थितियों में विश्लेषण नहीं किया जा सकता है।
वैज्ञानिक शोधमॉडलिंग द्वारा, उनका उपयोग प्राचीन काल में किया जाता था, समय के साथ विभिन्न प्रकार के वैज्ञानिक ज्ञान पर कब्जा: वास्तुकला, डिजाइन, रसायन विज्ञान, निर्माण, भौतिकी, जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, भूगोल, साथ ही साथ सामाजिक विज्ञान। किसी भी मॉडलिंग प्रक्रिया में, तीन घटकों का उपयोग किया जाता है: विषय, वस्तु, मॉडल। बेशक, किसी वस्तु या घटना का अध्ययन मॉडलिंग तक ही सीमित नहीं है, आवश्यक जानकारी प्राप्त करने के अन्य तरीके भी हैं।
