गणित एक पहेली की तरह है। यह एक कॉलम में विभाजन और गुणा के लिए विशेष रूप से सच है। स्कूल में, इन क्रियाओं का अध्ययन सरल से जटिल तक किया जाता है। इसलिए, सरल उदाहरणों का उपयोग करके उपरोक्त कार्यों को करने के लिए एल्गोरिथ्म में महारत हासिल करना निश्चित रूप से आवश्यक है। ताकि बाद में दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में विभाजित करने में कोई कठिनाई न हो। आखिरकार, यह ऐसे कार्यों का सबसे कठिन संस्करण है।
उन लोगों के लिए सलाह जो गणित में अच्छा बनना चाहते हैं
इस विषय पर लगातार अध्ययन की आवश्यकता है। ज्ञान में अंतराल यहाँ अस्वीकार्य है। यह सिद्धांत पहली कक्षा में पहले से ही प्रत्येक छात्र द्वारा सीखा जाना चाहिए। इसलिए, यदि आप लगातार कई पाठ छोड़ते हैं, तो आपको सामग्री में स्वयं महारत हासिल करनी होगी। नहीं तो बाद में न केवल गणित बल्कि इससे जुड़े अन्य विषयों में भी दिक्कत होगी।
गणित के सफल अध्ययन के लिए दूसरी शर्त यह है कि जोड़, घटाव और गुणा में महारत हासिल करने के बाद ही लंबे विभाजन के उदाहरणों की ओर बढ़ना है।
बच्चेयदि उसने गुणन सारणी नहीं सीखी है तो भाग देना कठिन होगा। वैसे, इसे पाइथागोरस तालिका से सीखना बेहतर है। कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं है, और इस मामले में गुणन को पचाना आसान है।
स्तंभ में प्राकृत संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है?
यदि किसी कॉलम में भाग और गुणा के उदाहरणों को हल करने में कठिनाई हो रही है, तो गुणन से समस्या को हल करना शुरू करना आवश्यक है। क्योंकि भाग गुणा का विलोम है:
- दो संख्याओं को गुणा करने से पहले, आपको उन्हें ध्यान से देखना होगा। अधिक अंकों वाला (लंबा) चुनें, इसे पहले लिख लें। इसके नीचे दूसरा रखें। इसके अलावा, संबंधित श्रेणी की संख्या एक ही श्रेणी के अंतर्गत होनी चाहिए। यानी पहली संख्या का सबसे दाहिना अंक दूसरे के सबसे दाहिने अंक से ऊपर होना चाहिए।
- नीचे की संख्या के सबसे दाहिने अंक को ऊपर की संख्या के प्रत्येक अंक से गुणा करें, दाईं ओर से शुरू करें। उत्तर को पंक्ति के नीचे लिखें ताकि उसका अंतिम अंक आपके द्वारा गुणा किए जाने वाले अंक के नीचे हो।
- निचली संख्या के दूसरे अंक के साथ भी यही दोहराएं। लेकिन गुणन के परिणाम को एक अंक बाईं ओर स्थानांतरित किया जाना चाहिए। इस स्थिति में, इसका अंतिम अंक उसी के अंतर्गत होगा जिससे इसे गुणा किया गया था।
इस गुणन को एक कॉलम में तब तक जारी रखें जब तक कि दूसरे गुणक की संख्या समाप्त न हो जाए। अब उन्हें मोड़ने की जरूरत है। यह वांछित उत्तर होगा।
दशमलव भिन्नों के कॉलम में गुणा करने के लिए एल्गोरिदम
सबसे पहले, यह कल्पना की जानी चाहिए कि दशमलव अंश नहीं दिए गए हैं, बल्कि प्राकृतिक हैं। अर्थात्, उनमें से अल्पविराम हटा दें और फिर पिछले में बताए अनुसार आगे बढ़ेंमामला।
अंतर तब शुरू होता है जब उत्तर दर्ज किया जाता है। इस बिंदु पर, दोनों अंशों में दशमलव बिंदुओं के बाद की सभी संख्याओं को गिनना आवश्यक है। उत्तर के अंत से आपको उनमें से कितने को गिनने और वहां अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है।
इस एल्गोरिथम को उदाहरण के साथ स्पष्ट करना सुविधाजनक है: 0.25 x 0.33:
- इन भिन्नों को लिखिए ताकि 33 की संख्या 25 से कम हो।
- अब सही ट्रिपल को 25 से गुणा किया जाना चाहिए। यह 75 हो जाता है। इसे लिखा जाना चाहिए ताकि पांच ट्रिपल के नीचे हो जिसके द्वारा गुणा किया गया था।
- फिर 25 को पहले 3 से गुणा करें। फिर 75 होगा, लेकिन ऐसा लिखा जाएगा कि 5 पिछली संख्या के 7 से कम है।
- इन दोनों संख्याओं को जोड़ने पर हमें 825 प्राप्त होते हैं। दशमलव भिन्नों में 4 अंकों को अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। इसलिए, उत्तर में, आपको 4 अंकों को अल्पविराम से भी अलग करना होगा। लेकिन उनमें से केवल तीन हैं। ऐसा करने के लिए, आपको 8 से पहले 0 लिखना होगा, अल्पविराम लगाना होगा, उसके आगे 0.
- उदाहरण में उत्तर संख्या 0, 0825 होगी।
विभाजित करना सीखना कैसे शुरू करें?
लंबे भाग के उदाहरणों को हल करने से पहले, आपको भाग उदाहरण में प्रयुक्त संख्याओं के नाम याद रखने चाहिए। उनमें से पहला (वह जो विभाज्य है) विभाज्य है। दूसरा (इसमें विभाजित) एक भाजक है। उत्तर एक भागफल है।
उसके बाद, एक साधारण रोजमर्रा के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम इस गणितीय संक्रिया का सार समझाएंगे। उदाहरण के लिए, यदि आप 10 मिठाइयाँ लेते हैं, तो उन्हें माँ और पिताजी के बीच समान रूप से विभाजित करना आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको उन्हें अपने माता-पिता और भाई को बांटना है?
उसके बाद, आप नियमों से परिचित हो सकते हैंविभाजन करें और विशिष्ट उदाहरणों के साथ उनमें महारत हासिल करें। पहले साधारण वाले, और फिर अधिक से अधिक जटिल वाले पर जाएं।
संख्याओं को कॉलम में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम
सबसे पहले, हम एक अंक से विभाज्य प्राकृत संख्याओं की प्रक्रिया प्रस्तुत करते हैं। वे बहु-अंकीय भाजक या दशमलव अंशों के लिए भी आधार होंगे। इसके बाद ही छोटे बदलाव किए जाने चाहिए, लेकिन उस पर और बाद में:
- लंबा भाग करने से पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि लाभांश और भाजक कहाँ हैं।
- लाभांश लिखें। इसके दायीं ओर भाजक है।
- आखिरी कोने के पास बाएँ और नीचे ड्रा करें।
- अपूर्ण लाभांश निर्धारित करें, अर्थात वह संख्या जो विभाजन के लिए न्यूनतम होगी। आमतौर पर इसमें एक अंक होता है, अधिकतम दो।
- वह संख्या चुनें जो उत्तर में सबसे पहले लिखी जाएगी। यह वह संख्या होनी चाहिए जितनी बार भाजक लाभांश में फिट बैठता है।
- इस संख्या को भाजक से गुणा करने का परिणाम लिखिए।
- अधूरे भाजक के नीचे लिखें। घटाना।
- पहले से विभाजित भाग के बाद पहला अंक हटा दें।
- उत्तर फिर से उठाएं।
- गुणा और घटाव दोहराएं। यदि शेषफल शून्य है और लाभांश समाप्त हो गया है, तो उदाहरण किया जाता है। अन्यथा, चरणों को दोहराएं: संख्या को ध्वस्त करें, संख्या उठाएं, गुणा करें, घटाएं।
यदि भाजक में एक से अधिक अंक हों तो दीर्घ विभाजन को कैसे हल करें?
एल्गोरिदम स्वयं पूरी तरह से ऊपर वर्णित के साथ मेल खाता है। अंतर अपूर्ण लाभांश में अंकों की संख्या का होगा। उन्हेंअब कम से कम दो होने चाहिए, लेकिन अगर वे भाजक से कम निकलते हैं, तो इसे पहले तीन अंकों के साथ काम करना चाहिए।
इस विभाजन में एक और बारीकियां हैं। तथ्य यह है कि शेषफल और उस तक ले जाए गए अंक कभी-कभी भाजक द्वारा विभाज्य नहीं होते हैं। फिर इसे क्रम में एक और आकृति का श्रेय देना चाहिए। लेकिन साथ ही, उत्तर शून्य होना चाहिए। यदि तीन अंकों की संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित किया जाता है, तो दो से अधिक अंकों को ध्वस्त करने की आवश्यकता हो सकती है। फिर एक नियम पेश किया जाता है: नीचे दिए गए अंकों की संख्या की तुलना में उत्तर में शून्य की संख्या एक कम होनी चाहिए।
आप इस तरह के विभाजन पर उदाहरण - 12082: 863 का उपयोग करके विचार कर सकते हैं।
- अपूर्ण इसमें विभाज्य संख्या 1208 है। इसमें संख्या 863 को केवल एक बार रखा जाता है। इसलिए, प्रत्युत्तर में, इसे 1 रखना चाहिए और 1208 के अंतर्गत 863 लिखना चाहिए।
- घटाने के बाद शेषफल 345 होता है।
- आपको इसके लिए नंबर 2 को ध्वस्त करना होगा।
- संख्या 3452 फिट बैठता है 863 का चार गुना।
- चार के जवाब में लिखा होना चाहिए। इसके अलावा, जब 4 से गुणा किया जाता है, तो यह संख्या प्राप्त होती है।
- घटाव के बाद शेषफल शून्य है। यानी बंटवारा हो गया.
उदाहरण में उत्तर 14 नंबर होगा।
क्या होगा यदि लाभांश शून्य में समाप्त होता है?
या कुछ शून्य? इस मामले में, शून्य शेष प्राप्त होता है, और लाभांश में अभी भी शून्य होते हैं। निराशा न करें, सब कुछ जितना आसान लगता है उससे कहीं अधिक आसान है। यह उत्तर में अविभाजित रह गए सभी शून्यों को जोड़ने के लिए पर्याप्त है।
उदाहरण के लिए, आपको 400 को 5 से भाग देना है। अधूरा लाभांश 40 है। इसमें 8 बार पांच रखा जाता है। इसका मतलब है कि उत्तर 8 लिखा जाना चाहिए। कबघटाने के लिए कोई शेष नहीं है। यानी विभाजन खत्म हो गया है, लेकिन लाभांश में शून्य रहता है। इसे उत्तर में जोड़ना होगा। तो 400 को 5 से भाग देने पर 80 होता है.
क्या होगा यदि आपको दशमलव को विभाजित करने की आवश्यकता है?
फिर से, यह संख्या एक प्राकृतिक संख्या की तरह दिखती है, अल्पविराम को छोड़कर पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करती है। इससे पता चलता है कि दशमलव का लंबा विभाजन ऊपर वर्णित के समान है।
अंतर केवल अर्धविराम का होगा। इसका उत्तर तुरंत दिया जाना चाहिए, जैसे ही भिन्नात्मक भाग से पहला अंक हटा दिया जाता है। दूसरे तरीके से, इसे इस तरह कहा जा सकता है: पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है - एक अल्पविराम लगाएं और समाधान को आगे जारी रखें।
दशमलव भिन्नों वाले कॉलम में विभाजन के उदाहरणों को हल करते समय, आपको यह याद रखना होगा कि दशमलव बिंदु के बाद किसी भी संख्या में शून्य निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। कभी-कभी संख्याओं को अंत तक पूरा करने के लिए यह आवश्यक होता है।
दो दशमलव का भाग
यह जटिल लग सकता है। लेकिन केवल शुरुआत में। आखिरकार, एक प्राकृतिक संख्या द्वारा अंशों के एक स्तंभ में विभाजन कैसे किया जाता है, यह पहले से ही स्पष्ट है। इसलिए, हमें इस उदाहरण को पहले से ही परिचित रूप में कम करने की आवश्यकता है।
यह करना आसान है। यदि कार्य की आवश्यकता हो तो आपको दोनों भिन्नों को 10, 100, 1,000, या 10,000, या शायद एक मिलियन से गुणा करना होगा। भाजक के दशमलव भाग में कितने शून्य हैं, इसके आधार पर गुणक का चयन किया जाना चाहिए। यानी, परिणामस्वरूप, यह पता चलता है कि आपको भिन्न को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करना होगा।
और यहसबसे खराब स्थिति में होगा। आखिरकार, यह पता चल सकता है कि इस ऑपरेशन से लाभांश एक पूर्णांक बन जाता है। फिर अंशों के एक कॉलम में विभाजन के साथ उदाहरण का समाधान सरलतम विकल्प में कम हो जाएगा: प्राकृतिक संख्याओं के साथ संचालन।
एक उदाहरण के रूप में: 28, 4 को 3 से विभाजित किया गया, 2:
- पहला, उन्हें 10 से गुणा करना होगा, क्योंकि दूसरी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। गुणा करने पर 284 और 32 मिलेगा।
- उन्हें अलग किया जाना है। और एक बार में पूरी संख्या 284 बटा 32.
- उत्तर के लिए पहली सुमेलित संख्या 8 है। इसे गुणा करने पर 256 प्राप्त होता है। शेष 28 है।
- पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है, और उत्तर में अल्पविराम लगाया जाना चाहिए।
- डैश टू बैलेंस 0.
- फिर से 8 लो।
- शेष: 24. इसमें एक और 0 जोड़ें।
- अब आपको 7 लेने की जरूरत है।
- गुणन का परिणाम 224 है, शेषफल 16 है।
- एक और 0 को ध्वस्त करें। प्रत्येक में 5 लें और ठीक 160 प्राप्त करें। शेष 0 है।
विभाजन समाप्त हो गया है। उदाहरण 28, 4:3, 2 का परिणाम 8, 875 है।
क्या होगा यदि भाजक 10, 100, 0, 1 या 0.01 है?
गुणन की तरह, यहां लंबे विभाजन की आवश्यकता नहीं है। एक निश्चित संख्या में अंकों के लिए अल्पविराम को सही दिशा में ले जाने के लिए पर्याप्त है। इसके अलावा, इस सिद्धांत के अनुसार, आप पूर्णांक और दशमलव भिन्न दोनों के उदाहरणों को हल कर सकते हैं।
इसलिए, यदि आपको 10, 100 या 1000 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से ले जाया जाता है जितने कि भाजक में शून्य होते हैं। अर्थात् जब कोई संख्या 100 से विभाज्य हो तो अल्पविरामदो अंकों को बाईं ओर ले जाना चाहिए। यदि लाभांश एक प्राकृतिक संख्या है, तो यह माना जाता है कि अल्पविराम इसके अंत में है।
यह क्रिया उसी परिणाम को उत्पन्न करती है जैसे कि संख्या को 0, 1, 0, 01, या 0.001 से गुणा किया जाना था। इन उदाहरणों में, अल्पविराम को बाईं ओर कई अंकों के बराबर ले जाया जाता है भिन्नात्मक भाग की लंबाई।
जब 0, 1 (आदि) से विभाजित करते हैं या 10 (आदि) से गुणा करते हैं, तो अल्पविराम को एक अंक (या दो, तीन, शून्य की संख्या या लंबाई के आधार पर दाईं ओर जाना चाहिए) भिन्नात्मक भाग)।
यह ध्यान देने योग्य है कि लाभांश में दिए गए अंकों की संख्या पर्याप्त नहीं हो सकती है। फिर लापता शून्य को बाईं ओर (पूर्णांक भाग में) या दाईं ओर (दशमलव बिंदु के बाद) जोड़ा जा सकता है।
आवर्ती भिन्न विभाजन
इस मामले में, कॉलम में विभाजित करने पर आपको सटीक उत्तर नहीं मिल पाएगा। एक उदाहरण को कैसे हल करें यदि एक अवधि के साथ एक अंश का सामना करना पड़ता है? यहां सामान्य अंशों पर जाना आवश्यक है। और फिर पहले पढ़े गए नियमों के अनुसार उनका विभाजन करें।
उदाहरण के लिए, आपको 0, (3) को 0, 6 से भाग देना है। पहला भिन्न आवर्त है। इसे भिन्न 3/9 में बदल दिया जाता है, जो घटाने के बाद 1/3 देगा। दूसरा अंश अंतिम दशमलव है। एक साधारण को लिखना और भी आसान है: 6/10, जो 3/5 के बराबर है। साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम विभाजन को गुणन से और भाजक को व्युत्क्रम से प्रतिस्थापित करने के लिए निर्धारित करता है। यही है, उदाहरण 1/3 को 5/3 से गुणा करने के लिए उबलता है। उत्तर 5/9 होगा।
यदि उदाहरण में भिन्न भिन्न हैं…
फिर कई संभावित समाधान हैं। सबसे पहले, एक साधारण भिन्न हो सकता हैदशमलव में बदलने का प्रयास करें। फिर उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार पहले से ही दो दशमलव को विभाजित करें।
दूसरा, प्रत्येक अंतिम दशमलव अंश को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। अक्सर, ऐसे अंश बहुत बड़े हो जाते हैं। हां, और जवाब बोझिल हैं। इसलिए, पहला दृष्टिकोण अधिक बेहतर माना जाता है।
