किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु क्या हैं, यह समझने के लिए, पहले और दूसरे डेरिवेटिव की उपस्थिति के बारे में जानना और उनके भौतिक अर्थ को समझना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। सबसे पहले आपको निम्नलिखित को समझने की आवश्यकता है:
- फ़ंक्शन एक्स्ट्रेमा अधिकतम या, इसके विपरीत, मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में फ़ंक्शन के मूल्य को कम करें;
- चरम बिंदु पर फंक्शन ब्रेक नहीं होना चाहिए।
और अब वही, सीधी-सादी भाषा में। बॉलपॉइंट पेन की नोक को देखें। यदि कलम को लंबवत रखा जाता है, लेखन समाप्त होता है, तो गेंद का बिल्कुल मध्य चरम बिंदु होगा - उच्चतम बिंदु। इस मामले में, हम अधिकतम के बारे में बात करते हैं। अब, यदि आप लेखन के अंत के साथ कलम को मोड़ते हैं, तो गेंद के बीच में पहले से ही न्यूनतम कार्य होगा। यहां दी गई आकृति की सहायता से, आप एक स्टेशनरी पेंसिल के लिए सूचीबद्ध जोड़तोड़ की कल्पना कर सकते हैं। तो, किसी फ़ंक्शन का चरम हमेशा महत्वपूर्ण बिंदु होता है: इसका मैक्सिमा या मिनिमा। चार्ट का आसन्न खंड मनमाने ढंग से तेज या चिकना हो सकता है, लेकिन यह दोनों तरफ मौजूद होना चाहिए, केवल इस मामले में बिंदु एक चरम है। यदि चार्ट केवल एक तरफ मौजूद है, तो यह बिंदु एक तरफ होने पर भी चरम नहीं होगाचरम शर्तें पूरी होती हैं। आइए अब वैज्ञानिक दृष्टिकोण से फलन की चरम सीमा का अध्ययन करें। एक बिंदु को एक चरम माना जाने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि:
- पहला व्युत्पन्न शून्य के बराबर था या बिंदु पर मौजूद नहीं था;
- इस बिंदु पर पहले व्युत्पन्न ने अपना चिन्ह बदल दिया।
उच्च-क्रम के डेरिवेटिव के दृष्टिकोण से स्थिति की व्याख्या कुछ अलग तरीके से की जाती है: एक बिंदु पर अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए, यह पर्याप्त है कि एक विषम-क्रम व्युत्पन्न है जो शून्य के बराबर नहीं है, जबकि सभी निचले क्रम के डेरिवेटिव मौजूद होने चाहिए और शून्य के बराबर होने चाहिए। यह उच्च गणित की पाठ्यपुस्तकों से प्रमेयों की सबसे सरल व्याख्या है। लेकिन सबसे आम लोगों के लिए, इस बिंदु को एक उदाहरण के साथ समझाने लायक है। आधार एक साधारण परवलय है। तुरंत आरक्षण करें, शून्य बिंदु पर यह न्यूनतम है। बस थोड़ा सा गणित:
- प्रथम अवकलज (X2)|=2X, शून्य बिंदु 2X=0 के लिए;
- दूसरा अवकलज (2X)|=2, शून्य बिंदु 2 के लिए=2.
यह उन स्थितियों का एक सरल उदाहरण है जो प्रथम-क्रम डेरिवेटिव और उच्च-क्रम डेरिवेटिव दोनों के लिए फ़ंक्शन के चरम को निर्धारित करते हैं। हम इसमें जोड़ सकते हैं कि दूसरा व्युत्पन्न एक विषम क्रम का समान व्युत्पन्न है, जो शून्य के बराबर नहीं है, जिसकी चर्चा थोड़ी अधिक की गई थी। जब दो चर के एक समारोह के चरम की बात आती है, तो दोनों तर्कों के लिए शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए। कबसामान्यीकरण होता है, फिर आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग किया जाता है। यही है, एक बिंदु पर एक चरम की उपस्थिति के लिए यह आवश्यक है कि दोनों प्रथम-क्रम डेरिवेटिव शून्य के बराबर हों, या उनमें से कम से कम एक मौजूद न हो। एक चरम की उपस्थिति की पर्याप्तता के लिए, एक अभिव्यक्ति की जांच की जाती है, जो दूसरे क्रम के डेरिवेटिव के उत्पाद और फ़ंक्शन के मिश्रित द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न के वर्ग के बीच का अंतर है। यदि यह अभिव्यक्ति शून्य से अधिक है, तो एक चरम है, और यदि शून्य है, तो प्रश्न खुला रहता है, और अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होती है।
