गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा एक फलन है। इसकी मदद से आप प्रकृति में होने वाली कई प्रक्रियाओं की कल्पना कर सकते हैं, एक ग्राफ पर सूत्रों, तालिकाओं और छवियों का उपयोग करके कुछ मात्राओं के बीच संबंध को प्रतिबिंबित कर सकते हैं। एक उदाहरण विसर्जन की गहराई पर शरीर पर तरल परत के दबाव की निर्भरता है, त्वरण - किसी वस्तु पर एक निश्चित बल की क्रिया पर, तापमान में वृद्धि - संचरित ऊर्जा पर, और कई अन्य प्रक्रियाएं। किसी फलन के अध्ययन में एक ग्राफ का निर्माण, उसके गुणों का स्पष्टीकरण, दायरा और मान, वृद्धि और कमी के अंतराल शामिल होते हैं। इस प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण बिंदु चरम बिंदुओं का पता लगाना है। इसे सही तरीके से कैसे करें, और बातचीत जारी रहेगी।
एक विशिष्ट उदाहरण पर ही अवधारणा के बारे में
चिकित्सा में, फंक्शन ग्राफ को प्लॉट करने से रोगी के शरीर में रोग की प्रगति के बारे में पता चलता है, जो उसकी स्थिति को दृष्टिगत रूप से दर्शाता है। आइए मान लें कि दिनों में समय ओएक्स अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है, और मानव शरीर का तापमान ओए अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है। आंकड़ा स्पष्ट रूप से दिखाता है कि यह सूचक कैसे तेजी से बढ़ता है, औरफिर गिर जाता है। एकवचन बिंदुओं को नोटिस करना भी आसान है जो उन क्षणों को दर्शाते हैं जब फ़ंक्शन, पहले से बढ़ रहा है, घटने लगता है, और इसके विपरीत। ये चरम बिंदु हैं, यानी रोगी के तापमान के इस मामले में महत्वपूर्ण मूल्य (अधिकतम और न्यूनतम), जिसके बाद उसकी स्थिति में परिवर्तन होता है।
झुकाव कोण
आकृति से यह निर्धारित करना आसान है कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे बदलता है। यदि ग्राफ की सीधी रेखाएं समय के साथ ऊपर जाती हैं, तो यह धनात्मक होती है। और वे जितने तेज होते हैं, व्युत्पन्न का मूल्य उतना ही अधिक होता है, जैसे-जैसे झुकाव का कोण बढ़ता है। कमी की अवधि के दौरान, यह मान ऋणात्मक मान लेता है, चरम बिंदुओं पर शून्य हो जाता है, और बाद के मामले में व्युत्पन्न का ग्राफ OX अक्ष के समानांतर खींचा जाता है।
किसी अन्य प्रक्रिया के साथ भी ऐसा ही व्यवहार किया जाना चाहिए। लेकिन इस अवधारणा के बारे में सबसे अच्छी बात यह है कि विभिन्न पिंडों की गति को स्पष्ट रूप से रेखांकन पर दिखाया गया है।
आंदोलन
मान लीजिए कोई वस्तु एक समान गति प्राप्त करते हुए एक सीधी रेखा में गति करती है। इस अवधि के दौरान, शरीर के निर्देशांक में परिवर्तन एक निश्चित वक्र का रेखांकन करता है, जिसे गणितज्ञ परवलय की एक शाखा कहेगा। उसी समय, फ़ंक्शन लगातार बढ़ रहा है, क्योंकि समन्वय संकेतक हर सेकंड के साथ तेजी से और तेजी से बदलते हैं। गति ग्राफ व्युत्पन्न के व्यवहार को दर्शाता है, जिसका मूल्य भी बढ़ता है। इसका मतलब है कि आंदोलन में कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है।
यह अनिश्चित काल तक चलता रहता। लेकिन अगर शरीर अचानक धीमा होने का फैसला करता है, तो रुकें और दूसरे में चलना शुरू करेंदिशा? इस मामले में, समन्वय संकेतक कम होने लगेंगे। और फ़ंक्शन महत्वपूर्ण मान पास करेगा और बढ़ते से घटते हुए बदल जाएगा।
इस उदाहरण में, आप फिर से समझ सकते हैं कि फ़ंक्शन ग्राफ़ पर चरम बिंदु उस समय दिखाई देते हैं जब यह नीरस होना बंद हो जाता है।
व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ
पहले वर्णित स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि व्युत्पन्न अनिवार्य रूप से फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है। इस शोधन में इसका भौतिक अर्थ है। चरम बिंदु चार्ट पर महत्वपूर्ण क्षेत्र हैं। व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करके उनका पता लगाना और उनका पता लगाना संभव है, जो शून्य के बराबर निकलता है।
एक और संकेत है, जो एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति है। विभक्ति के ऐसे स्थानों में व्युत्पन्न अपना चिह्न बदलता है: अधिकतम क्षेत्र में "+" से "-" और न्यूनतम क्षेत्र में "-" से "+" तक।
गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में आंदोलन
आइए एक और स्थिति की कल्पना करें। गेंद खेल रहे बच्चों ने उसे इस तरह फेंका कि वह एक कोण पर क्षितिज की ओर बढ़ने लगी। प्रारंभिक क्षण में, इस वस्तु की गति सबसे बड़ी थी, लेकिन गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में यह घटने लगी, और प्रत्येक सेकंड के साथ समान मूल्य के साथ, लगभग 9.8 m/s2 के बराबर।. यह उस त्वरण का मान है जो मुक्त रूप से गिरने के दौरान पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होता है। चंद्रमा पर, यह लगभग छह गुना छोटा होगा।
शरीर की गति का वर्णन करने वाला ग्राफ शाखाओं वाला एक परवलय है,नीचे। चरम बिंदु कैसे खोजें? इस मामले में, यह फ़ंक्शन का शीर्ष है, जहां शरीर की गति (गेंद) शून्य मान लेती है। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य हो जाता है। इस मामले में, दिशा, और इसलिए गति का मान विपरीत दिशा में बदल जाता है। शरीर हर सेकंड के साथ तेजी से और तेजी से नीचे की ओर उड़ता है, और उसी मात्रा से गति करता है - 9.8 m/s2।
दूसरा व्युत्पन्न
पिछली स्थिति में, वेग मापांक का ग्राफ एक सीधी रेखा के रूप में खींचा जाता है। इस रेखा को पहले नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, क्योंकि इस राशि का मान लगातार घट रहा है। समय में किसी एक बिंदु पर शून्य पर पहुंचने के बाद, इस मान के संकेतक बढ़ने लगते हैं, और गति मॉड्यूल के चित्रमय प्रतिनिधित्व की दिशा नाटकीय रूप से बदल जाती है। रेखा अब ऊपर की ओर इशारा कर रही है।
वेग, निर्देशांक का समय व्युत्पन्न होने के कारण, एक महत्वपूर्ण बिंदु भी है। इस क्षेत्र में, प्रारंभ में कम होने वाला कार्य बढ़ना शुरू हो जाता है। यह फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के चरम बिंदु का स्थान है। इस मामले में, स्पर्शरेखा का ढलान शून्य हो जाता है। और त्वरण, समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न होने के कारण, संकेत को "-" से "+" में बदल देता है। और समान रूप से धीमी गति से गति समान रूप से तेज हो जाती है।
त्वरण चार्ट
अब चार तस्वीरों पर गौर कीजिए। उनमें से प्रत्येक त्वरण के रूप में ऐसी भौतिक मात्रा के समय के साथ परिवर्तन का एक ग्राफ प्रदर्शित करता है। "ए" के मामले में, इसका मूल्य सकारात्मक और स्थिर रहता है। इसका मतलब है कि शरीर की गति, उसके समन्वय की तरह, लगातार बढ़ रही है। यदि एककल्पना करें कि वस्तु इस तरह से अनंत लंबे समय तक चलती रहेगी, समय पर समन्वय की निर्भरता को दर्शाने वाला कार्य लगातार बढ़ता हुआ निकलेगा। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका कोई महत्वपूर्ण क्षेत्र नहीं है। व्युत्पत्ति के ग्राफ पर कोई चरम बिंदु भी नहीं हैं, यानी रैखिक रूप से बदलती गति।
सकारात्मक और लगातार बढ़ते त्वरण के साथ "बी" केस पर भी यही बात लागू होती है। सच है, निर्देशांक और गति के लिए प्लॉट यहां कुछ अधिक जटिल होंगे।
जब त्वरण शून्य हो जाता है
चित्र "बी" को देखते हुए, आप एक पूरी तरह से अलग तस्वीर देख सकते हैं जो शरीर की गति को दर्शाती है। इसकी गति को नीचे की ओर इशारा करते हुए शाखाओं के साथ एक परवलय के रूप में रेखांकन के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि हम त्वरण में परिवर्तन का वर्णन करने वाली रेखा को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेद न कर दे, और आगे, हम कल्पना कर सकते हैं कि इस महत्वपूर्ण मूल्य तक, जहां त्वरण शून्य के बराबर हो जाता है, वस्तु की गति बढ़ जाएगी अधिक से अधिक धीरे-धीरे। समन्वय समारोह के व्युत्पन्न का चरम बिंदु परवलय के शीर्ष पर होगा, जिसके बाद शरीर मौलिक रूप से आंदोलन की प्रकृति को बदल देगा और दूसरी दिशा में आगे बढ़ना शुरू कर देगा।
बाद के मामले में, "जी", आंदोलन की प्रकृति को ठीक से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। यहां हम केवल यह जानते हैं कि विचाराधीन कुछ अवधि के लिए कोई त्वरण नहीं है। इसका अर्थ है कि वस्तु यथावत रह सकती है या गति स्थिर गति से होती है।
समन्वय जोड़ने का कार्य
आइए उन कार्यों पर चलते हैं जो अक्सर स्कूल में बीजगणित के अध्ययन में पाए जाते हैं और जिनके लिए पेशकश की जाती हैपरीक्षा की तैयारी। नीचे दिया गया चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। चरम बिंदुओं के योग की गणना करना आवश्यक है।
आइए इसे y-अक्ष के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्रों के निर्देशांक निर्धारित करके करते हैं जहां फ़ंक्शन की विशेषताओं में परिवर्तन देखा जाता है। सीधे शब्दों में कहें, हम विभक्ति बिंदुओं के लिए x-अक्ष के साथ मान पाते हैं, और फिर परिणामी शब्दों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ते हैं। ग्राफ के अनुसार, यह स्पष्ट है कि वे निम्नलिखित मान लेते हैं: -8; -7; -5; -3; -2; एक; 3. यह -21 तक जोड़ता है, जो उत्तर है।
इष्टतम समाधान
व्यावहारिक कार्यों के निष्पादन में इष्टतम समाधान का चुनाव कितना महत्वपूर्ण हो सकता है, यह समझाने की आवश्यकता नहीं है। आखिरकार, लक्ष्य प्राप्त करने के कई तरीके हैं, और सबसे अच्छा तरीका, एक नियम के रूप में, केवल एक ही है। यह अत्यंत आवश्यक है, उदाहरण के लिए, इन मानव निर्मित वस्तुओं का इष्टतम आकार खोजने के लिए जहाजों, अंतरिक्ष यान और विमानों, वास्तुशिल्प संरचनाओं को डिजाइन करते समय।
वाहनों की गति काफी हद तक गुरुत्वाकर्षण बलों और कई अन्य संकेतकों के प्रभाव में उत्पन्न होने वाले अधिभार से पानी और हवा के माध्यम से चलते समय उनके द्वारा अनुभव किए जाने वाले प्रतिरोध के सक्षम न्यूनतमकरण पर निर्भर करती है। समुद्र में एक जहाज को तूफान के दौरान स्थिरता जैसे गुणों की आवश्यकता होती है; नदी के जहाज के लिए, न्यूनतम ड्राफ्ट महत्वपूर्ण है। इष्टतम डिज़ाइन की गणना करते समय, ग्राफ़ पर चरम बिंदु नेत्रहीन रूप से एक जटिल समस्या के सर्वोत्तम समाधान का विचार दे सकते हैं। इस तरह के कार्य अक्सर होते हैंअर्थव्यवस्था में, आर्थिक क्षेत्रों में, कई अन्य जीवन स्थितियों में हल होते हैं।
प्राचीन इतिहास से
अत्यधिक समस्याओं ने प्राचीन ऋषियों को भी घेर लिया। ग्रीक वैज्ञानिकों ने गणितीय गणनाओं के माध्यम से क्षेत्रों और आयतनों के रहस्य को सफलतापूर्वक सुलझा लिया। उन्होंने यह समझने वाले पहले व्यक्ति थे कि समान परिधि वाले विभिन्न आकृतियों के तल पर, वृत्त का क्षेत्रफल हमेशा सबसे बड़ा होता है। इसी तरह, एक गेंद समान सतह क्षेत्र के साथ अंतरिक्ष में अन्य वस्तुओं के बीच अधिकतम मात्रा के साथ संपन्न होती है। आर्किमिडीज, यूक्लिड, अरस्तू, अपोलोनियस जैसी प्रसिद्ध हस्तियों ने ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए खुद को समर्पित कर दिया। बगुला चरम बिंदुओं को खोजने में बहुत सफल रहा, जिसने गणना का सहारा लिया, सरल उपकरणों का निर्माण किया। इनमें भाप के माध्यम से चलने वाली स्वचालित मशीनें, एक ही सिद्धांत पर चलने वाले पंप और टर्बाइन शामिल थे।
कार्थेज का निर्माण
एक किवदंती है, जिसका कथानक चरम समस्याओं में से एक को हल करने पर आधारित है। फोनीशियन राजकुमारी द्वारा प्रदर्शित व्यावसायिक दृष्टिकोण का परिणाम, जो मदद के लिए संतों की ओर मुड़ा, कार्थेज का निर्माण था। इस प्राचीन और प्रसिद्ध शहर के लिए भूमि भूखंड अफ्रीकी जनजातियों में से एक के नेता द्वारा डिडो (जो शासक का नाम था) को प्रस्तुत किया गया था। आवंटन का क्षेत्र उसे पहले बहुत बड़ा नहीं लगता था, क्योंकि अनुबंध के अनुसार इसे ऑक्साइड से ढंकना पड़ता था। लेकिन राजकुमारी ने अपने सैनिकों को इसे पतली पट्टियों में काटने और उनमें से एक बेल्ट बनाने का आदेश दिया। यह इतना लंबा निकला कि इसने साइट को कवर कर लिया,जहां पूरा शहर फिट बैठता है।
कलन की उत्पत्ति
और अब प्राचीन काल से बाद के युग में चलते हैं। दिलचस्प बात यह है कि 17वीं शताब्दी में, केप्लर को एक शराब विक्रेता के साथ बैठक करके गणितीय विश्लेषण की नींव को समझने के लिए प्रेरित किया गया था। व्यापारी अपने पेशे में इतना पारंगत था कि वह आसानी से एक लोहे के टूर्निकेट को उसमें कम करके बैरल में पेय की मात्रा निर्धारित कर सकता था। इस तरह की जिज्ञासा पर विचार करते हुए, प्रसिद्ध वैज्ञानिक ने इस दुविधा को अपने लिए हल करने में कामयाबी हासिल की। यह पता चला है कि उस समय के कुशल कूपरों ने बर्तन बनाने का काम इस तरह से किया था कि एक निश्चित ऊंचाई और बन्धन के छल्ले की परिधि की त्रिज्या में उनकी अधिकतम क्षमता होगी।
यह केप्लर कारण के लिए आगे प्रतिबिंब के लिए था। पीढ़ी से पीढ़ी तक अपने अनुभव को पारित करते हुए, एक लंबी खोज, गलतियों और नए प्रयासों के द्वारा बोचर्स इष्टतम समाधान के लिए आए। लेकिन केप्लर इस प्रक्रिया को तेज करना चाहते थे और गणितीय गणनाओं के माध्यम से कम समय में इसे करना सीखना चाहते थे। उनके सभी विकास, सहयोगियों द्वारा उठाए गए, फ़र्मेट और न्यूटन - लीबनिज़ के अब ज्ञात प्रमेयों में बदल गए।
अधिकतम क्षेत्र की समस्या
मान लें कि हमारे पास 50 सेमी लंबा एक तार है। इसमें से सबसे बड़े क्षेत्रफल के साथ एक आयत कैसे बनाएं?
निर्णय की शुरुआत करते हुए सरल और ज्ञात सत्य से आगे बढ़ना चाहिए। यह स्पष्ट है कि हमारी आकृति का परिमाप 50 सेमी होगा। इसमें दोनों पक्षों की लंबाई का दोगुना भी शामिल है। इसका मतलब यह है कि, उनमें से एक को "X" के रूप में नामित करने पर, दूसरे को (25 - X) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यहाँ से हमें मिलता हैएक्स (25 - एक्स) के बराबर क्षेत्र। इस अभिव्यक्ति को एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है जो कई मान लेता है। समस्या के समाधान के लिए उनमें से अधिकतम खोजने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि आपको चरम बिंदुओं का पता लगाना चाहिए।
ऐसा करने के लिए, हम पहला व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं। परिणाम एक साधारण समीकरण है: 25 - 2X=0.
इससे हमें पता चलता है कि एक भुजा X=12, 5.
इसलिए, दूसरा: 25 - 12, 5=12, 5.
यह पता चला है कि समस्या का समाधान 12.5 सेमी की भुजा वाला एक वर्ग होगा।
अधिकतम गति कैसे ज्ञात करें
आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। कल्पना कीजिए कि एक पिंड है जिसकी सीधी गति समीकरण S=- t3 + 9t2 - 24t - 8 द्वारा वर्णित है, जहां दूरी यात्रा मीटर में व्यक्त की जाती है, और समय सेकंड में होता है। अधिकतम गति ज्ञात करना आवश्यक है। यह कैसे करना है? डाउनलोड की गई गति का पता लगाएं, जो कि पहला व्युत्पन्न है।
हम समीकरण प्राप्त करते हैं: V=- 3t2 + 18t – 24. अब, समस्या को हल करने के लिए, हमें फिर से चरम बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है। यह पिछले कार्य की तरह ही किया जाना चाहिए। गति का पहला अवकलज ज्ञात कीजिए और इसे शून्य के बराबर कीजिए।
हम पाते हैं: - 6t + 18=0. इसलिए t=3 s। यह वह समय है जब शरीर की गति महत्वपूर्ण मान लेती है। हम प्राप्त डेटा को वेग समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: V=3 m/s.
लेकिन कैसे समझें कि यह बिल्कुल अधिकतम गति है, क्योंकि किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके अधिकतम या न्यूनतम मान हो सकते हैं? जाँच करने के लिए, आपको एक सेकंड खोजने की आवश्यकता हैगति का व्युत्पन्न। इसे माइनस साइन के साथ संख्या 6 के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि पाया गया बिंदु अधिकतम है। और दूसरे व्युत्पन्न के सकारात्मक मूल्य के मामले में, न्यूनतम होगा। तो, पाया गया समाधान सही निकला।
उदाहरण के रूप में दिए गए कार्य उन कार्यों का केवल एक हिस्सा हैं जिन्हें किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने में सक्षम होने से हल किया जा सकता है। वास्तव में, और भी बहुत कुछ हैं। और ऐसा ज्ञान मानव सभ्यता के लिए असीमित संभावनाएं खोलता है।
