तलों की समांतरता एक अवधारणा है जो पहली बार दो हजार साल पहले यूक्लिडियन ज्यामिति में दिखाई दी थी।
शास्त्रीय ज्यामिति की मुख्य विशेषताएं
इस वैज्ञानिक अनुशासन का जन्म प्राचीन यूनानी विचारक यूक्लिड के प्रसिद्ध कार्य से जुड़ा है, जिन्होंने तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में पैम्फलेट "बिगिनिंग्स" लिखा था। तेरह पुस्तकों में विभाजित, तत्व सभी प्राचीन गणित की सर्वोच्च उपलब्धि थी और उन्होंने समतल आकृतियों के गुणों से जुड़े मूलभूत अभिधारणाओं को निर्धारित किया।
तलों की समांतरता के लिए शास्त्रीय स्थिति निम्नानुसार तैयार की गई थी: दो विमानों को समानांतर कहा जा सकता है यदि उनके एक दूसरे के साथ सामान्य बिंदु न हों। यह यूक्लिडियन श्रम की पांचवीं अभिधारणा थी।
समानांतर विमानों के गुण
यूक्लिडियन ज्यामिति में, आमतौर पर उनमें से पांच होते हैं:
पहली संपत्ति (विमानों की समानता और उनकी विशिष्टता का वर्णन करती है)। किसी दिए गए विमान के बाहर स्थित एक बिंदु के माध्यम से, हम इसके समानांतर एक और केवल एक विमान खींच सकते हैं
- दूसरा गुण (जिसे तीन समांतरों का गुण भी कहा जाता है)। जब दो विमान हैंतीसरे के समानांतर, वे एक दूसरे के समानांतर भी हैं।
तीसरा गुण (दूसरे शब्दों में, इसे समतलों की समांतरता को प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा का गुण कहा जाता है)। यदि एक सीधी रेखा इन समांतर तलों में से एक को काटती है, तो वह दूसरे को काटेगी।
चौथा गुण (एक दूसरे के समांतर तलों पर काटी गई सीधी रेखाओं का गुण)। जब दो समानांतर विमान एक तिहाई (किसी भी कोण पर) के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनकी प्रतिच्छेदन रेखाएं भी समानांतर होती हैं
पांचवां गुण (एक संपत्ति जो विभिन्न समानांतर रेखाओं के खंडों का वर्णन करती है जो एक दूसरे के समानांतर विमानों के बीच संलग्न हैं)। उन समानांतर रेखाओं के खंड जो दो समानांतर विमानों के बीच संलग्न हैं, आवश्यक रूप से समान हैं।
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में विमानों की समानता
ऐसे दृष्टिकोण, विशेष रूप से, लोबचेवस्की और रीमैन की ज्यामिति हैं। यदि यूक्लिड की ज्यामिति को समतल स्थानों पर महसूस किया गया था, तो लोबचेवस्की की ज्यामिति को नकारात्मक रूप से घुमावदार स्थानों (बस घुमावदार) में महसूस किया गया था, और रीमैन में यह सकारात्मक रूप से घुमावदार स्थानों (दूसरे शब्दों में, क्षेत्रों) में इसकी प्राप्ति पाता है। एक बहुत ही सामान्य रूढ़िवादी राय है कि लोबचेवस्की के समानांतर विमान (और रेखाएं भी) प्रतिच्छेद करते हैं।
हालांकि, यह सही नहीं है। वास्तव में, अतिपरवलयिक ज्यामिति का जन्म यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा और परिवर्तन के प्रमाण से जुड़ा थाइस पर विचार, हालांकि, समानांतर विमानों और रेखाओं की बहुत परिभाषा का तात्पर्य है कि वे लोबचेवस्की या रीमैन में एक दूसरे को नहीं काट सकते हैं, चाहे वे किसी भी स्थान पर महसूस किए गए हों। और विचारों और योगों में परिवर्तन इस प्रकार था। यह अभिधारणा है कि एक बिंदु के माध्यम से केवल एक समानांतर विमान खींचा जा सकता है जो किसी दिए गए विमान पर नहीं है, एक अन्य सूत्र द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है: एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दिए गए विशेष विमान पर नहीं है, दो, कम से कम, रेखाएं जो झूठ बोलती हैं दिए गए तल के समान और इसे प्रतिच्छेद न करें।
