पॉलीहेड्रा न केवल ज्यामिति में एक प्रमुख स्थान रखता है, बल्कि प्रत्येक व्यक्ति के दैनिक जीवन में भी होता है। विभिन्न बहुभुजों के रूप में कृत्रिम रूप से निर्मित घरेलू वस्तुओं का उल्लेख नहीं करना, एक माचिस से शुरू होकर वास्तुशिल्प तत्वों के साथ समाप्त होना, एक घन (नमक), प्रिज्म (क्रिस्टल), पिरामिड (स्कीलाइट), ऑक्टाहेड्रोन (हीरा) के रूप में क्रिस्टल, आदि ई.
एक बहुफलक की अवधारणा, ज्यामिति में बहुफलक के प्रकार
ज्यामिति एक विज्ञान के रूप में स्टीरियोमेट्री का एक खंड होता है जो त्रि-आयामी आंकड़ों की विशेषताओं और गुणों का अध्ययन करता है। ज्यामितीय निकाय, जिसके किनारे त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सीमित विमानों (चेहरे) द्वारा बनते हैं, को "पॉलीहेड्रा" कहा जाता है। पॉलीहेड्रा के प्रकारों में एक दर्जन से अधिक प्रतिनिधि शामिल हैं, जो चेहरे की संख्या और आकार में भिन्न हैं।
हालांकि, सभी पॉलीहेड्रा में समान गुण होते हैं:
- इन सभी में 3 आवश्यक घटक होते हैं: चेहरा(बहुभुज की सतह), शीर्ष (फलकों के जंक्शन पर बने कोने), किनारा (एक आकृति की भुजा या दो फलकों के जंक्शन पर बनने वाला खंड)।
- प्रत्येक बहुभुज किनारा दो और केवल दो चेहरों को जोड़ता है जो एक दूसरे से सटे हुए हैं।
- उत्तलता का अर्थ है कि शरीर पूरी तरह से समतल के केवल एक तरफ स्थित होता है, जिस पर एक फलक होता है। यह नियम बहुफलक के सभी फलकों पर लागू होता है। स्टीरियोमेट्री में ऐसी ज्यामितीय आकृतियों को उत्तल पॉलीहेड्रा कहा जाता है। अपवाद स्टार के आकार का पॉलीहेड्रा है, जो नियमित पॉलीहेड्रल ज्यामितीय ठोस के व्युत्पन्न हैं।
पॉलीहेड्रा को सशर्त रूप से विभाजित किया जा सकता है:
- उत्तल पॉलीहेड्रा के प्रकार, निम्नलिखित वर्गों से मिलकर बनता है: साधारण या शास्त्रीय (प्रिज्म, पिरामिड, समानांतर चतुर्भुज), नियमित (जिसे प्लेटोनिक ठोस भी कहा जाता है), अर्ध-नियमित (दूसरा नाम - आर्किमिडीयन ठोस)।
- गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा (तारे के आकार का)।
प्रिज्म और उसके गुण
ज्यामिति की एक शाखा के रूप में स्टीरियोमेट्री त्रि-आयामी आकृतियों के गुणों का अध्ययन करती है, पॉलीहेड्रा के प्रकार (एक प्रिज्म उनमें से एक है)। एक प्रिज्म एक ज्यामितीय निकाय है जिसमें आवश्यक रूप से दो बिल्कुल समान चेहरे होते हैं (उन्हें आधार भी कहा जाता है) समानांतर विमानों में स्थित होते हैं, और n-th संख्या समानांतर चतुर्भुज के रूप में होती है। बदले में, प्रिज्म की भी कई किस्में होती हैं, जिनमें इस प्रकार के पॉलीहेड्रा शामिल हैं:
- समांतर चतुर्भुज - यदि आधार समांतर चतुर्भुज हो तो बनता है -समान सम्मुख कोणों के 2 युग्म और सर्वांगसम सम्मुख भुजाओं के 2 युग्मों वाला बहुभुज।
- एक सीधे प्रिज्म के किनारे आधार से लंबवत होते हैं।
- झुका हुआ प्रिज्म फलकों और आधार के बीच गैर-समकोण (90 के अलावा) की उपस्थिति की विशेषता है।
- एक नियमित प्रिज्म को आधारों द्वारा एक समान बहुभुज के रूप में चित्रित किया जाता है जिसमें समान पक्ष फलक होते हैं।
प्रिज्म के मूल गुण:
- सर्वांगसम आधार।
- प्रिज्म के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर और समानांतर हैं।
- सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज के आकार के होते हैं।
पिरामिड
पिरामिड एक ज्यामितीय निकाय है, जिसमें एक आधार और n-वें त्रिकोणीय फलकों की संख्या होती है, जो एक बिंदु - शीर्ष पर जुड़े होते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि पिरामिड के पार्श्व चेहरों को आवश्यक रूप से त्रिभुजों द्वारा दर्शाया जाता है, तो आधार या तो एक त्रिकोणीय बहुभुज, या एक चतुर्भुज, या एक पंचकोण हो सकता है, और इसी तरह एड इनफिनिटम पर। इस मामले में, पिरामिड का नाम आधार पर बहुभुज के अनुरूप होगा। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रिभुज एक पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो यह एक त्रिभुजाकार पिरामिड है, एक चतुर्भुज एक चतुर्भुज है, आदि।
पिरामिड शंकु जैसे पॉलीहेड्रा होते हैं। इस समूह के पॉलीहेड्रा के प्रकारों में, ऊपर सूचीबद्ध लोगों के अलावा, निम्नलिखित प्रतिनिधि भी शामिल हैं:
- एक नियमित पिरामिड के आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और इसकी ऊंचाई केंद्र की ओर प्रक्षेपित होती हैआधार में खुदा हुआ या उसके चारों ओर घेरा हुआ एक वृत्त।
- एक आयताकार पिरामिड तब बनता है जब एक भुजा का किनारा आधार के साथ समकोण पर प्रतिच्छेद करता है। ऐसे में इस किनारे को पिरामिड की ऊंचाई कहना भी उचित है।
पिरामिड गुण:
- यदि पिरामिड के सभी किनारे एक समान (समान ऊंचाई के) हैं, तो वे सभी एक ही कोण पर आधार के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, और आधार के चारों ओर आप एक वृत्त खींच सकते हैं जिसमें केंद्र के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है पिरामिड का शीर्ष।
- यदि पिरामिड का आधार एक नियमित बहुभुज है, तो सभी भुजाएँ सर्वांगसम होती हैं, और फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।
नियमित बहुफलक: बहुफलक के प्रकार और गुण
स्टीरियोमेट्री में, बिल्कुल समान चेहरों वाले ज्यामितीय निकायों द्वारा एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लिया जाता है, जिसके शीर्षों पर समान संख्या में किनारे जुड़े होते हैं। इन ठोसों को प्लेटोनिक ठोस या नियमित पॉलीहेड्रा कहा जाता है। ऐसे गुणों वाले पॉलीहेड्रा के प्रकारों में केवल पांच आकार होते हैं:
- टेट्राहेड्रॉन।
- हेक्साहेड्रोन।
- ऑक्टाहेड्रोन।
- डोडेकाहेड्रॉन।
- आइकोसाहेड्रोन।
नियमित पॉलीहेड्रा का नाम प्राचीन यूनानी दार्शनिक प्लेटो के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने लेखन में इन ज्यामितीय निकायों का वर्णन किया और उन्हें प्राकृतिक तत्वों से जोड़ा: पृथ्वी, जल, अग्नि, वायु। पांचवें आंकड़े को ब्रह्मांड की संरचना के साथ समानता से सम्मानित किया गया था। उनकी राय में, आकार में प्राकृतिक तत्वों के परमाणु नियमित पॉलीहेड्रा के प्रकार के समान होते हैं। इसकी सबसे रोमांचक संपत्ति के कारण -समरूपता, ये ज्यामितीय निकाय न केवल प्राचीन गणितज्ञों और दार्शनिकों के लिए, बल्कि सभी समय के वास्तुकारों, कलाकारों और मूर्तिकारों के लिए भी बहुत रुचि रखते थे। पूर्ण समरूपता के साथ केवल 5 प्रकार के पॉलीहेड्रा की उपस्थिति को एक मौलिक खोज माना जाता था, उन्हें दैवीय सिद्धांत के साथ एक संबंध भी दिया गया था।
हेक्साहेड्रोन और उसके गुण
एक षट्भुज के रूप में प्लेटो के उत्तराधिकारियों ने पृथ्वी के परमाणुओं की संरचना के साथ समानता ग्रहण की। बेशक, वर्तमान में, इस परिकल्पना का पूरी तरह से खंडन किया गया है, जो, हालांकि, आधुनिक समय में प्रसिद्ध हस्तियों के मन को उनके सौंदर्यशास्त्र से आकर्षित करने से नहीं रोकता है।
ज्यामिति में, एक हेक्साहेड्रोन, जिसे घन के रूप में भी जाना जाता है, एक समानांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला माना जाता है, जो बदले में, एक प्रकार का प्रिज्म होता है। तदनुसार, घन के गुण प्रिज्म के गुणों से संबंधित हैं, केवल अंतर यह है कि घन के सभी फलक और कोने एक दूसरे के बराबर हैं। निम्नलिखित गुण इससे अनुसरण करते हैं:
- घन के सभी किनारे सर्वांगसम हैं और एक दूसरे के सापेक्ष समांतर तलों में स्थित हैं।
- सभी फलक सर्वांगसम वर्ग हैं (एक घन में कुल 6 होते हैं), जिनमें से किसी को भी आधार के रूप में लिया जा सकता है।
- सभी इंटरफ़ेस कोण 90 हैं।
- प्रत्येक शीर्ष से समान संख्या में किनारे निकलते हैं, अर्थात् 3.
- घन में समरूपता के 9 अक्ष हैं, जो सभी षट्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे समरूपता का केंद्र कहा जाता है।
टेट्राहेड्रॉन
एक चतुष्फलक त्रिभुज के रूप में समान फलकों वाला एक चतुष्फलक है, जिसके प्रत्येक शीर्षतीन फलकों का जंक्शन बिंदु है।
नियमित चतुष्फलक के गुण:
- चतुष्फलक के सभी फलक समबाहु त्रिभुज होते हैं, जिसका अर्थ है कि चतुष्फलक के सभी फलक सर्वांगसम होते हैं।
- चूंकि आधार एक नियमित ज्यामितीय आकृति द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात इसकी समान भुजाएँ हैं, चतुष्फलक के फलक एक ही कोण पर अभिसरित होते हैं, अर्थात सभी कोण समान होते हैं।
- प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180 है, क्योंकि सभी कोण समान हैं, तो एक सम चतुष्फलक का कोई भी कोण 60 होता है।
- प्रत्येक कोने को विपरीत (ऑर्थोसेंटर) फलक की ऊंचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।
अष्टफलक और उसके गुण
नियमित पॉलीहेड्रा के प्रकारों का वर्णन करते हुए, कोई ऐसी वस्तु को अष्टफलक के रूप में नोट करने में विफल नहीं हो सकता है, जिसे आधारों द्वारा एक साथ चिपके हुए दो चतुर्भुज नियमित पिरामिड के रूप में देखा जा सकता है।
अष्टफलक के गुण:
- एक ज्यामितीय निकाय का नाम ही उसके चेहरों की संख्या बताता है। ऑक्टाहेड्रोन में 8 सर्वांगसम समबाहु त्रिभुज होते हैं, जिनमें से प्रत्येक कोने में समान संख्या में फलक अभिसरण होते हैं, अर्थात् 4.
- चूंकि एक अष्टफलक के सभी फलक बराबर होते हैं, इसके अंतरफलक कोण भी बराबर होते हैं, जिनमें से प्रत्येक 60 के बराबर होता है, और किसी भी शीर्ष के समतल कोणों का योग इस प्रकार 240 होता है।
डोडेकाहेड्रॉन
यदि हम कल्पना करें कि एक ज्यामितीय निकाय के सभी फलक एक नियमित पंचभुज हैं, तो हमें एक डोडेकाहेड्रोन मिलता है -12 बहुभुजों की एक आकृति।
डोडेकाहेड्रॉन के गुण:
- तीन फलक प्रत्येक शीर्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं।
- सभी फलक समान हैं और किनारे की लंबाई और क्षेत्रफल समान है।
- डोडेकाहेड्रोन में 15 अक्ष और समरूपता के विमान हैं, और उनमें से कोई भी चेहरे के शीर्ष और विपरीत किनारे के मध्य से होकर गुजरता है।
इकोसाहेड्रोन
डोडेकाहेड्रोन से कम दिलचस्प नहीं, आईकोसाहेड्रोन की आकृति एक त्रि-आयामी ज्यामितीय निकाय है जिसमें 20 समान चेहरे हैं। एक नियमित बीस-हेड्रोन के गुणों में, निम्नलिखित पर ध्यान दिया जा सकता है:
- आइकोसाहेड्रोन के सभी फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
- बहुफलक के प्रत्येक शीर्ष पर पांच फलक अभिसरित होते हैं, और शीर्ष के आसन्न कोणों का योग 300 होता है।
- आइकोसाहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन की तरह, 15 अक्ष और समरूपता के विमान विपरीत चेहरों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं।
अर्द्ध नियमित बहुभुज
प्लैटोनिक ठोस के अलावा, उत्तल पॉलीहेड्रा के समूह में आर्किमिडीयन ठोस भी शामिल हैं, जिन्हें नियमित पॉलीहेड्रा काटा जाता है। इस समूह के पॉलीहेड्रा के प्रकारों में निम्नलिखित गुण होते हैं:
- ज्यामितीय पिंडों में कई प्रकार के समान फलक होते हैं, उदाहरण के लिए, एक काटे गए चतुष्फलक में नियमित चतुष्फलक की तरह 8 फलक होते हैं, लेकिन एक आर्किमिडीयन ठोस के मामले में, 4 फलक त्रिकोणीय होंगे और 4 षट्कोणीय होंगे।
- एक शीर्ष के सभी कोण सर्वांगसम होते हैं।
स्टार पॉलीहेड्रा
गैर-वॉल्यूमेट्रिक प्रकार के ज्यामितीय निकायों के प्रतिनिधि तारकीय पॉलीहेड्रा होते हैं जिनके चेहरे एक दूसरे को काटते हैं। वे दो नियमित 3D ठोसों को मिलाकर या उनके चेहरों को फैलाकर बनाए जा सकते हैं।
इस प्रकार, इस तरह के तारकीय पॉलीहेड्रा के रूप में जाना जाता है: ऑक्टाहेड्रोन के तारकीय रूप, डोडेकाहेड्रॉन, इकोसाहेड्रोन, क्यूबोक्टाहेड्रोन, इकोसोडोडेकेड्रोन।
