ज्यामिति सुंदर है क्योंकि, बीजगणित के विपरीत, जहां यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि आप क्या सोचते हैं और क्यों, यह वस्तु को दृश्यता देता है। विभिन्न शरीरों के इस अद्भुत संसार को नियमित बहुफलक से सजाया गया है।
नियमित पॉलीहेड्रा के बारे में सामान्य जानकारी
कई लोगों के अनुसार, नियमित पॉलीहेड्रा, या जैसा कि उन्हें प्लेटोनिक ठोस भी कहा जाता है, में अद्वितीय गुण होते हैं। इन वस्तुओं के साथ कई वैज्ञानिक परिकल्पनाएँ जुड़ी हुई हैं। जब आप इन ज्यामितीय निकायों का अध्ययन करना शुरू करते हैं, तो आप समझते हैं कि आप नियमित पॉलीहेड्रा जैसी अवधारणा के बारे में व्यावहारिक रूप से कुछ भी नहीं जानते हैं। स्कूल में इन वस्तुओं की प्रस्तुति हमेशा दिलचस्प नहीं होती है, इसलिए बहुतों को यह भी याद नहीं रहता कि उन्हें क्या कहा जाता है। ज्यादातर लोगों को सिर्फ क्यूब ही याद रहता है। ज्यामिति में कोई भी पिंड नियमित पॉलीहेड्रा की तरह परिपूर्ण नहीं है। इन सभी ज्यामितीय निकायों के नाम प्राचीन ग्रीस से उत्पन्न हुए हैं। उनका मतलब चेहरों की संख्या से है: टेट्राहेड्रोन - चार-तरफा, हेक्साहेड्रोन - छह-पक्षीय, ऑक्टाहेड्रोन - ऑक्टाहेड्रल, डोडेकेहेड्रोन - बारह-पक्षीय, इकोसाहेड्रोन - बीस-पक्षीय। ये सभी ज्यामितीय निकायप्लेटो की ब्रह्मांड की अवधारणा में एक महत्वपूर्ण स्थान पर कब्जा कर लिया। उनमें से चार ने तत्वों या संस्थाओं को व्यक्त किया: टेट्राहेड्रोन - अग्नि, इकोसाहेड्रोन - जल, घन - पृथ्वी, अष्टफलक - वायु। डोडेकाहेड्रॉन ने जो कुछ भी मौजूद है उसे शामिल किया। इसे मुख्य माना गया, क्योंकि यह ब्रह्मांड का प्रतीक था।
बहुफलक की अवधारणा का सामान्यीकरण
एक पॉलीहेड्रॉन बहुभुजों की एक सीमित संख्या का एक संग्रह है जैसे:
- किसी भी बहुभुज की प्रत्येक भुजा एक ही समय में एक ही भुजा पर केवल एक अन्य बहुभुज की भुजा होती है;
- प्रत्येक पॉलीगॉन से आप दूसरे पॉलीगॉन से सटे पॉलीगॉन से गुजरते हुए दूसरे तक पहुंच सकते हैं।
बहुभुज बनाने वाले बहुभुज इसके फलक होते हैं, और उनके किनारे किनारे होते हैं। बहुफलक के शीर्ष बहुभुज के शीर्ष होते हैं। यदि बहुभुज की अवधारणा को फ्लैट बंद टूटी हुई रेखाओं के रूप में समझा जाता है, तो एक पॉलीहेड्रॉन की एक परिभाषा पर आता है। मामले में जब इस अवधारणा का मतलब विमान का एक हिस्सा है जो टूटी हुई रेखाओं से सीमित है, तो बहुभुज टुकड़ों से युक्त सतह को समझा जाना चाहिए। उत्तल पॉलीहेड्रॉन एक पिंड है जो अपने चेहरे से सटे एक विमान के एक तरफ पड़ा होता है।
बहुफलक और उसके तत्वों की एक और परिभाषा
एक पॉलीहेड्रॉन एक सतह है जिसमें बहुभुज होते हैं जो एक ज्यामितीय शरीर को सीमित करते हैं। वे हैं:
- गैर उत्तल;
- उत्तल (सही और गलत)।
एक नियमित पॉलीहेड्रॉन अधिकतम समरूपता वाला उत्तल पॉलीहेड्रॉन है। नियमित पॉलीहेड्रा के तत्व:
- टेट्राहेड्रॉन: 6 किनारे, 4 फलक, 5 कोने;
- हेक्साहेड्रोन (घन): 12, 6, 8;
- डोडेकाहेड्रॉन: 30, 12, 20;
- ऑक्टाहेड्रोन: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
यूलर की प्रमेय
यह किनारों, शीर्षों और चेहरों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करता है जो एक गोले के टोपोलॉजिकल रूप से समतुल्य होते हैं। विभिन्न नियमित पॉलीहेड्रा के कोने और चेहरे (बी + डी) की संख्या जोड़कर और किनारों की संख्या के साथ उनकी तुलना करके, एक पैटर्न स्थापित किया जा सकता है: चेहरों और शिखरों की संख्या का योग किनारों की संख्या के बराबर होता है (पी) वृद्धि हुई द्वारा 2. आप एक सरल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
बी + डी=आर + 2
यह सूत्र सभी उत्तल बहुफलकों के लिए सत्य है।
मूल परिभाषाएं
एक नियमित पॉलीहेड्रॉन की अवधारणा को एक वाक्य में वर्णित नहीं किया जा सकता है। यह अधिक सार्थक और विशाल है। किसी निकाय को इस रूप में पहचाने जाने के लिए, उसे कई परिभाषाओं को पूरा करना होगा। तो, एक ज्यामितीय निकाय एक नियमित पॉलीहेड्रॉन होगा यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
- यह उत्तल है;
- इसके प्रत्येक कोने पर किनारों की समान संख्या अभिसरण करती है;
- इसके सभी फलक नियमित बहुभुज हैं, एक दूसरे के बराबर;
- इसके सभी विकर्ण कोण समान हैं।
नियमित पॉलीहेड्रा के गुण
नियमित पॉलीहेड्रा के 5 विभिन्न प्रकार हैं:
- घन (हेक्साहेड्रोन) - इसके शीर्ष पर एक समतल कोण 90° है।इसमें तीन तरफा कोण है। शीर्ष पर समतल कोणों का योग 270° है।
- चतुष्फलक - शीर्ष पर समतल कोण - 60°। इसमें तीन तरफा कोण है। शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180° होता है।
- ऑक्टाहेड्रोन - समतल शीर्ष कोण - 60°। इसमें चार तरफा कोना है। शीर्ष पर समतल कोणों का योग 240° है।
- डोडेकाहेड्रोन - शीर्ष 108° पर समतल कोण। इसमें तीन तरफा कोण है। शीर्ष पर समतल कोणों का योग 324° है।
- Icosahedron - इसके शीर्ष पर एक समतल कोण है - 60°। इसमें 5-पक्षीय कोण है। शीर्ष पर समतल कोणों का योग 300° होता है।
नियमित बहुफलक का क्षेत्रफल
इन ज्यामितीय निकायों (एस) के सतह क्षेत्र की गणना एक नियमित बहुभुज के क्षेत्र के रूप में की जाती है जो इसके चेहरों (जी) की संख्या से गुणा होती है:
S=(a: 2) x 2G ctg /p
एक नियमित बहुफलक का आयतन
इस मान की गणना एक नियमित पिरामिड के आयतन को गुणा करके की जाती है, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, चेहरे की संख्या से, और इसकी ऊंचाई खुदे हुए गोले की त्रिज्या होती है (r):
वी=1: 3आरएस
नियमित बहुफलक के आयतन
किसी भी अन्य ज्यामितीय निकाय की तरह, नियमित पॉलीहेड्रा में अलग-अलग वॉल्यूम होते हैं। नीचे वे सूत्र दिए गए हैं जिनके द्वारा आप उनकी गणना कर सकते हैं:
- टेट्राहेड्रॉन: α x 3√2: 12;
- ऑक्टाहेड्रोन: α x 3√2: 3;
- आइकोसाहेड्रोन; α x 3;
- हेक्साहेड्रोन (घन): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- डोडेकाहेड्रॉन: α x 3 (15 + 7√5): 4.
नियमित पॉलीहेड्रा के तत्व
हेक्साहेड्रोन और ऑक्टाहेड्रोन दोहरे ज्यामितीय निकाय हैं। दूसरे शब्दों में, वे एक दूसरे से प्राप्त किए जा सकते हैं यदि एक के चेहरे के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को दूसरे के शीर्ष के रूप में लिया जाता है, और इसके विपरीत। इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन भी दोहरे हैं। केवल चतुष्फलक अपने आप में द्वैत है। यूक्लिड विधि के अनुसार, आप एक घन के फलकों पर "छतें" बनाकर एक हेक्साहेड्रोन से एक डोडेकाहेड्रॉन प्राप्त कर सकते हैं। एक चतुष्फलक के शीर्ष एक घन के कोई भी 4 शीर्ष होंगे जो एक किनारे के साथ जोड़े में आसन्न नहीं हैं। हेक्साहेड्रोन (घन) से आप अन्य नियमित पॉलीहेड्रा प्राप्त कर सकते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि अनगिनत नियमित बहुभुज हैं, केवल 5 नियमित पॉलीहेड्रा हैं।
नियमित बहुभुजों की त्रिज्या
इन ज्यामितीय निकायों में से प्रत्येक के साथ 3 संकेंद्रित गोले जुड़े हुए हैं:
- वर्णित, अपनी चोटियों से गुजरते हुए;
- अंकित, इसके प्रत्येक चेहरे को इसके केंद्र में स्पर्श करते हुए;
- माध्यिका, बीच में सभी किनारों को छूते हुए।
वर्णित गोले की त्रिज्या की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:
R=a: 2 x tg /g x tg: 2
एक खुदे हुए गोले की त्रिज्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
R=a: 2 x ctg /p x tg: 2,
जहां θ आसन्न फलकों के बीच द्विफलकीय कोण है।
माध्यिका क्षेत्र की त्रिज्या की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
जहाँ h मान=4, 6, 6, 10 या 10. परिबद्ध और अंकित त्रिज्या का अनुपात p और q के सन्दर्भ में सममित है। यहसूत्र द्वारा परिकलित:
आर/आर=टीजी π/पी एक्स टीजी π/क्यू
पॉलीहेड्रा की समरूपता
नियमित पॉलीहेड्रा की समरूपता इन ज्यामितीय निकायों में मुख्य रुचि का कारण बनती है। इसे अंतरिक्ष में शरीर की ऐसी गति के रूप में समझा जाता है, जो समान संख्या में कोने, फलक और किनारों को छोड़ती है। दूसरे शब्दों में, एक समरूपता परिवर्तन के प्रभाव में, एक किनारा, शीर्ष, चेहरा या तो अपनी मूल स्थिति को बरकरार रखता है या दूसरे किनारे, शीर्ष या चेहरे की मूल स्थिति में चला जाता है।
नियमित पॉलीहेड्रा के समरूपता के तत्व ऐसे सभी प्रकार के ज्यामितीय निकायों की विशेषता हैं। यहां हम एक समान परिवर्तन के बारे में बात कर रहे हैं जो किसी भी बिंदु को उसकी मूल स्थिति में छोड़ देता है। इसलिए, जब आप एक बहुभुज प्रिज्म को घुमाते हैं, तो आप कई समरूपताएँ प्राप्त कर सकते हैं। उनमें से किसी को भी प्रतिबिंबों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक समरूपता जो परावर्तनों की एक सम संख्या का गुणनफल होती है, एक सीधी रेखा कहलाती है। यदि यह विषम संख्या में परावर्तनों का गुणनफल है, तो इसे प्रतिलोम कहा जाता है। इस प्रकार, किसी रेखा के परितः सभी घूर्णन प्रत्यक्ष सममिति होते हैं। बहुफलक का कोई भी परावर्तन प्रतिलोम सममिति होता है।
नियमित पॉलीहेड्रा के समरूपता तत्वों को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम एक चतुष्फलक का उदाहरण ले सकते हैं। कोई भी सीधी रेखा जो किसी एक शीर्ष और इस ज्यामितीय आकृति के केंद्र से होकर जाएगी, वह भी इसके विपरीत फलक के केंद्र से होकर जाएगी। 120° और 240° में से प्रत्येक रेखा के चारों ओर घुमाव बहुवचन है।टेट्राहेड्रोन की समरूपता। चूँकि इसके 4 शीर्ष और 4 फलक हैं, इसलिए केवल आठ सीधी समरूपताएँ हैं। इस पिंड के किनारे और केंद्र के बीच से गुजरने वाली कोई भी रेखा इसके विपरीत किनारे के बीच से होकर गुजरती है। कोई भी 180° घुमाव, जिसे एक सीधी रेखा के चारों ओर आधा मोड़ कहा जाता है, एक समरूपता है। चूंकि टेट्राहेड्रोन में किनारों के तीन जोड़े होते हैं, इसलिए तीन और सीधी समरूपताएं होती हैं। पूर्वगामी के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समान परिवर्तन सहित प्रत्यक्ष समरूपता की कुल संख्या बारह तक पहुंच जाएगी। टेट्राहेड्रोन में कोई अन्य प्रत्यक्ष समरूपता नहीं है, लेकिन इसमें 12 व्युत्क्रम समरूपताएं हैं। इसलिए, टेट्राहेड्रोन को कुल 24 समरूपता की विशेषता है। स्पष्टता के लिए, आप कार्डबोर्ड से एक नियमित टेट्राहेड्रोन का एक मॉडल बना सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि इस ज्यामितीय निकाय में वास्तव में केवल 24 समरूपताएं हैं।
डोडेकाहेड्रॉन और इकोसाहेड्रोन शरीर के गोले के सबसे करीब हैं। इकोसाहेड्रोन में चेहरों की सबसे बड़ी संख्या होती है, सबसे बड़ा डायहेड्रल कोण होता है, और इसे एक खुदे हुए गोले के खिलाफ सबसे कसकर दबाया जा सकता है। डोडेकाहेड्रोन में सबसे छोटा कोणीय दोष है, शीर्ष पर सबसे बड़ा ठोस कोण है। वह अपने वर्णित गोले को अधिकतम तक भर सकता है।
पॉलीहेड्रा की झाडू
रेगुलर अनलिप्ड पॉलीहेड्रा, जिसे हम सभी बचपन में एक साथ चिपकाते थे, कई अवधारणाएं हैं। यदि बहुभुजों का एक संग्रह है, जिसके प्रत्येक पक्ष को बहुफलक के केवल एक पक्ष के साथ पहचाना जाता है, तो पक्षों की पहचान को दो शर्तों को पूरा करना होगा:
- प्रत्येक बहुभुज से, आप उन बहुभुजों पर जा सकते हैं जिनमेंपहचाना गया पक्ष;
- पहचाने गए पक्षों की लंबाई समान होनी चाहिए।
यह बहुभुजों का समुच्चय है जो इन शर्तों को पूरा करता है जिसे बहुफलक का विकास कहा जाता है। इनमें से प्रत्येक निकाय में उनमें से कई हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक घन में 11 होते हैं।
