त्रिभुज, वर्ग, षट्भुज - ये आंकड़े लगभग सभी को पता हैं। लेकिन हर कोई नहीं जानता कि एक नियमित बहुभुज क्या है। लेकिन ये सभी एक ही ज्यामितीय आकार हैं। एक नियमित बहुभुज वह होता है जिसमें समान कोण और भुजाएँ होती हैं। ऐसे बहुत से आंकड़े हैं, लेकिन उन सभी के गुण समान हैं, और उन पर समान सूत्र लागू होते हैं।
नियमित बहुभुज के गुण
कोई भी नियमित बहुभुज, चाहे वह वर्ग हो या अष्टकोण, एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है। इस मूल संपत्ति का उपयोग अक्सर एक आकृति का निर्माण करते समय किया जाता है। इसके अलावा, एक बहुभुज में एक वृत्त भी अंकित किया जा सकता है। इस मामले में, संपर्क के बिंदुओं की संख्या इसके पक्षों की संख्या के बराबर होगी। यह महत्वपूर्ण है कि एक नियमित बहुभुज में अंकित एक वृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ केंद्र होगा। ये ज्यामितीय आंकड़े समान प्रमेयों के अधीन हैं। कोई भी पक्षएक नियमित एन-गॉन का संबंध इसके चारों ओर घेरे हुए वृत्त की त्रिज्या R से होता है। इसलिए, इसकी गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: a=2R sin180°। वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से, आप न केवल भुजाएँ, बल्कि बहुभुज का परिमाप भी ज्ञात कर सकते हैं।
एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या कैसे ज्ञात करें
किसी भी नियमित एन-गॉन में एक दूसरे के बराबर खंडों की एक निश्चित संख्या होती है, जो कनेक्ट होने पर एक बंद रेखा बनाती है। इस मामले में, गठित आकृति के सभी कोनों का मान समान है। बहुभुज को सरल और जटिल में विभाजित किया गया है। पहले समूह में एक त्रिभुज और एक वर्ग शामिल है। जटिल बहुभुजों में अधिक भुजाएँ होती हैं। इनमें तारे के आकार की आकृतियाँ भी शामिल हैं। जटिल नियमित बहुभुजों के लिए, पक्षों को एक वृत्त में अंकित करके पाया जाता है। आइए एक प्रमाण देते हैं। पक्षों की मनमानी संख्या के साथ एक नियमित बहुभुज बनाएं n। इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें। त्रिज्या R निर्दिष्ट करें। अब कल्पना करें कि कुछ n-gon दिया गया है। यदि इसके कोणों के बिंदु एक वृत्त पर स्थित हों और एक दूसरे के बराबर हों, तो भुजाएँ सूत्र द्वारा ज्ञात की जा सकती हैं: a=2R ∙ sinα: 2.
एक उत्कीर्ण नियमित त्रिभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात करना
एक समबाहु त्रिभुज एक सम बहुभुज होता है। वर्ग और एन-गॉन के समान ही सूत्र इस पर लागू होते हैं। एक त्रिभुज को सही माना जाएगा यदि उसकी भुजाएँ समान हों। इस मामले में, कोण 60⁰ हैं। दी गई भुजा की लंबाई a के साथ एक त्रिभुज की रचना कीजिए। इसकी माध्यिका और ऊँचाई को जानकर,आप इसकी भुजाओं का मान ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र a \u003d x: cosα के माध्यम से खोजने की विधि का उपयोग करेंगे, जहाँ x माध्यिका या ऊँचाई है। चूँकि त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए हमें a=b=c प्राप्त होता है। तब निम्नलिखित कथन सत्य होगा a=b=c=x: cosα. इसी तरह, आप एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं का मान ज्ञात कर सकते हैं, लेकिन x दी गई ऊँचाई होगी। साथ ही, इसे आकृति के आधार पर सख्ती से पेश किया जाना चाहिए। तो, ऊँचाई x जानने के बाद, हम सूत्र a \u003d b \u003d x: cosα का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा पाते हैं। a का मान ज्ञात करने के बाद, आप आधार c की लंबाई की गणना कर सकते हैं। आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें। हम आधा आधार c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα के मान की तलाश करेंगे। फिर सी=2xtanα। यहाँ किसी भी खुदे हुए बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात करने का एक आसान तरीका दिया गया है।
एक वृत्त में अंकित वर्ग की भुजाओं की गणना करें
किसी भी अन्य खुदे हुए नियमित बहुभुज की तरह, एक वर्ग में समान भुजाएँ और कोण होते हैं। त्रिभुज के समान ही सूत्र उस पर लागू होते हैं। आप विकर्ण के मान का उपयोग करके एक वर्ग की भुजाओं की गणना कर सकते हैं। आइए इस विधि पर अधिक विस्तार से विचार करें। यह ज्ञात है कि विकर्ण कोण को समद्विभाजित करता है। प्रारंभ में इसका मान 90 डिग्री था। इस प्रकार, विभाजन के बाद, दो समकोण त्रिभुज बनते हैं। इनका बेस एंगल 45 डिग्री होगा। तदनुसार, वर्ग का प्रत्येक पक्ष समान होगा, अर्थात्: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e cosα \u003d e 2: 2, जहां e वर्ग का विकर्ण है, या का आधार है विभाजन के बाद बनने वाला समकोण त्रिभुज। यह एकमात्र तरीका नहीं हैएक वर्ग के पक्षों का पता लगाना। आइए इस आकृति को एक वृत्त में अंकित करें। इस वृत्त R की त्रिज्या जानने के बाद, हम वर्ग की भुजा ज्ञात करते हैं। हम इसकी गणना इस प्रकार करेंगे: a4=R√2। नियमित बहुभुजों की त्रिज्या की गणना सूत्र R=a: 2tg (360o: 2n) द्वारा की जाती है, जहां a भुजा की लंबाई है।
एन-गॉन की परिधि की गणना कैसे करें
एक n-gon का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है। इसकी गणना करना आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको सभी पक्षों के मूल्यों को जानना होगा। कुछ प्रकार के बहुभुजों के लिए विशेष सूत्र होते हैं। वे आपको परिधि को बहुत तेजी से खोजने की अनुमति देते हैं। यह ज्ञात है कि किसी भी सम बहुभुज की भुजाएँ समान होती हैं। इसलिए, इसकी परिधि की गणना करने के लिए, उनमें से कम से कम एक को जानना पर्याप्त है। सूत्र आकृति के पक्षों की संख्या पर निर्भर करेगा। सामान्य तौर पर, यह इस तरह दिखता है: P \u003d a, जहां a पक्ष का मान है, और n कोणों की संख्या है। उदाहरण के लिए, 3 सेमी की भुजा वाले एक नियमित अष्टकोण की परिधि को खोजने के लिए, आपको इसे 8 से गुणा करना होगा, अर्थात P=3 8=24 सेमी। 5 सेमी की भुजा वाले षट्भुज के लिए, हम गणना करते हैं इस प्रकार है: P=5 6=30 सेमी. और इसलिए प्रत्येक बहुभुज के लिए।
एक समांतर चतुर्भुज, एक वर्ग और एक समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करना
एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं, इसके आधार पर इसकी परिधि की गणना की जाती है। इससे कार्य बहुत आसान हो जाता है। दरअसल, अन्य आंकड़ों के विपरीत, इस मामले में इसके सभी पक्षों की तलाश करना जरूरी नहीं है, केवल एक ही पर्याप्त है। इसी सिद्धांत से, हम परिमाप पाते हैंचतुर्भुज, अर्थात् एक वर्ग और एक समचतुर्भुज। इस तथ्य के बावजूद कि ये अलग-अलग आंकड़े हैं, उनके लिए सूत्र समान P=4a है, जहां एक पक्ष है। आइए एक उदाहरण लेते हैं। यदि एक समचतुर्भुज या वर्ग की भुजा 6 सेमी है, तो हम परिधि को इस प्रकार पाते हैं: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 सेमी। एक समांतर चतुर्भुज में केवल विपरीत भुजाएँ होती हैं। इसलिए, इसकी परिधि एक अलग विधि का उपयोग करके पाई जाती है। इसलिए, हमें आकृति की लंबाई a और चौड़ाई b जानने की जरूरत है। फिर हम सूत्र P=(a + c) ∙ 2 लागू करते हैं। एक समांतर चतुर्भुज, जिसमें सभी भुजाएँ और उनके बीच के कोण बराबर हों, समचतुर्भुज कहलाता है।
एक समबाहु और समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करना
एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप सूत्र P=3a द्वारा ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। यदि यह अज्ञात है, तो इसे माध्यिका के माध्यम से पाया जा सकता है। एक समकोण त्रिभुज में केवल दो भुजाएँ बराबर होती हैं। आधार पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से पाया जा सकता है। तीनों पक्षों के मान ज्ञात होने के बाद, हम परिधि की गणना करते हैं। यह सूत्र P \u003d a + b + c को लागू करके पाया जा सकता है, जहाँ a और b समान भुजाएँ हैं, और c आधार है। याद रखें कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में a \u003d b \u003d a, इसलिए, a + b \u003d 2a, फिर P \u003d 2a + c। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा 4 सेमी है, इसका आधार और परिमाप ज्ञात कीजिए। हम पाइथागोरस प्रमेय c=√a2 + v2=√16+16=√32=5.65 सेमी का उपयोग करके कर्ण के मान की गणना करते हैं। अब हम परिमाप की गणना करते हैं Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13.65 सेमी.
एक नियमित बहुभुज के कोनों को कैसे खोजें
नियमित बहुभुजहमारे जीवन में हर दिन होता है, उदाहरण के लिए, एक साधारण वर्ग, त्रिभुज, अष्टकोण। ऐसा लगता है कि इस आंकड़े को खुद बनाने से आसान कुछ नहीं है। लेकिन यह सिर्फ पहली नजर में है। किसी भी n-gon की रचना करने के लिए, आपको उसके कोणों का मान जानना होगा। लेकिन आप उन्हें कैसे ढूंढते हैं? प्राचीन काल के वैज्ञानिकों ने भी नियमित बहुभुज बनाने की कोशिश की। उन्होंने उन्हें हलकों में फिट करने का अनुमान लगाया। और फिर उस पर आवश्यक बिंदुओं को चिह्नित किया गया, सीधी रेखाओं से जुड़ा हुआ। सरल आंकड़ों के लिए, निर्माण समस्या हल हो गई है। सूत्र और प्रमेय प्राप्त हुए हैं। उदाहरण के लिए, यूक्लिड अपने प्रसिद्ध काम "द बिगिनिंग" में 3-, 4-, 5-, 6- और 15-गॉन के लिए समस्याओं को हल करने में लगे हुए थे। उन्होंने उन्हें बनाने और कोण खोजने के तरीके खोजे। आइए देखें कि यह 15-गॉन के लिए कैसे करें। सबसे पहले आपको इसके आंतरिक कोणों के योग की गणना करने की आवश्यकता है। सूत्र S=180⁰(n-2) का उपयोग करना आवश्यक है। तो, हमें एक 15-गॉन दिया गया है, जिसका अर्थ है कि संख्या n 15 है। हम उस डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं जिसे हम सूत्र में जानते हैं और S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ प्राप्त करते हैं। हमने 15-गॉन के सभी आंतरिक कोणों का योग पाया है। अब हमें उनमें से प्रत्येक का मूल्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। कुल 15 कोण हैं। हम गणना 2340⁰: 15=156⁰ करते हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक आंतरिक कोण 156⁰ है, अब एक शासक और एक कंपास का उपयोग करके, आप नियमित रूप से 15-गॉन बना सकते हैं। लेकिन अधिक जटिल n-gons के बारे में क्या? सदियों से वैज्ञानिक इस समस्या के समाधान के लिए संघर्ष करते रहे हैं। यह केवल 18 वीं शताब्दी में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा पाया गया था। वह 65537-गॉन बनाने में सक्षम था। तब से, समस्या को आधिकारिक तौर पर पूरी तरह से हल माना जाता है।
n-gons के कोणों की गणनारेडियंस में
बेशक, बहुभुज के कोनों को खोजने के कई तरीके हैं। अक्सर उनकी गणना डिग्री में की जाती है। लेकिन आप उन्हें रेडियन में भी व्यक्त कर सकते हैं। यह कैसे करना है? निम्नानुसार आगे बढ़ना आवश्यक है। सबसे पहले, हम एक नियमित बहुभुज के पक्षों की संख्या का पता लगाते हैं, फिर उसमें से 2 घटाते हैं। इसलिए, हमें मान मिलता है: n - 2. संख्या n ("pi"=3, 14) से प्राप्त अंतर को गुणा करें। अब यह केवल परिणामी उत्पाद को n-gon में कोणों की संख्या से विभाजित करने के लिए रहता है। उसी पंद्रह-पक्षीय के उदाहरण का उपयोग करके इन गणनाओं पर विचार करें। तो, संख्या n 15 है। सूत्र S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72 लागू करें। यह, निश्चित रूप से, रेडियन में कोण की गणना करने का एकमात्र तरीका नहीं है। आप बस कोण के आकार को अंशों में 57, 3 संख्या से विभाजित कर सकते हैं। आखिरकार, कई डिग्री एक रेडियन के बराबर होती हैं।
कोणों के मान को अंशों में परिकलित करें
डिग्री और रेडियन के अलावा, आप ग्रेड में एक नियमित बहुभुज के कोणों का मान ज्ञात करने का प्रयास कर सकते हैं। यह निम्न प्रकार से किया जाता है। कोणों की कुल संख्या में से 2 घटाएं, परिणामी अंतर को एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या से विभाजित करें। हम पाए गए परिणाम को 200 से गुणा करते हैं। वैसे, कोणों की माप की ऐसी इकाई जैसे ओलों का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है।
एन-गॉन के बाहरी कोणों की गणना
आंतरिक बहुभुज को छोड़कर किसी भी नियमित बहुभुज के लिए, आप बाहरी कोण की गणना भी कर सकते हैं। इसका मान अन्य आंकड़ों की तरह ही पाया जाता है। अतः, एक सम बहुभुज का बहिष्कोण ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिएभीतर का अर्थ जानते हैं। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इन दोनों कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। इसलिए, हम गणना निम्नानुसार करते हैं: 180⁰ घटा आंतरिक कोण का मान। हम अंतर पाते हैं। यह इससे लगे कोण के मान के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, एक वर्ग का भीतरी कोना 90 डिग्री है, इसलिए बाहरी कोण 180⁰ - 90⁰=90⁰ होगा। जैसा कि हम देख सकते हैं, इसे खोजना मुश्किल नहीं है। बाह्य कोण क्रमशः +180⁰ से -180⁰ तक का मान ले सकता है।
