Ozhegov's Explanatory Dictionary में कहा गया है कि एक पंचभुज एक ज्यामितीय आकृति है जो पांच आंतरिक कोणों के साथ-साथ समान आकार की किसी भी वस्तु को बनाने वाली पांच प्रतिच्छेदन सीधी रेखाओं से घिरी होती है। यदि किसी दिए गए बहुभुज की भुजाएँ और कोण समान हों, तो उसे एक नियमित (पंचकोण) कहा जाता है।
नियमित पंचभुज के बारे में क्या दिलचस्प है?
यह इस रूप में था कि संयुक्त राज्य अमेरिका के रक्षा विभाग की प्रसिद्ध इमारत का निर्माण किया गया था। विशाल नियमित पॉलीहेड्रा में से, केवल डोडेकेहेड्रोन में पेंटागन के आकार के चेहरे होते हैं। और प्रकृति में, क्रिस्टल पूरी तरह से अनुपस्थित हैं, जिनके चेहरे एक नियमित पेंटागन के समान होंगे। इसके अलावा, यह आंकड़ा एक बहुभुज है जिसमें न्यूनतम संख्या में कोने होते हैं जिनका उपयोग किसी क्षेत्र को टाइल करने के लिए नहीं किया जा सकता है। केवल एक पंचभुज के विकर्णों की संख्या उसके भुजाओं के बराबर होती है। सहमत, यह दिलचस्प है!
मूल गुण और सूत्र
सूत्रों का उपयोगमनमाना नियमित बहुभुज, आप पेंटागन के सभी आवश्यक पैरामीटर निर्धारित कर सकते हैं।
- केंद्रीय कोण α=360 / n=360/5=72°।
- आंतरिक कोण β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°। तदनुसार, अंतः कोणों का योग 540° है।
- भुजा के विकर्ण का अनुपात (1+√5) /2 है, जो कि "गोल्डन सेक्शन" (लगभग 1, 618) है।
- एक नियमित पेंटागन के पक्ष की लंबाई की गणना तीन सूत्रों में से एक का उपयोग करके की जा सकती है, जिसके आधार पर पैरामीटर पहले से ही ज्ञात है:
- यदि इसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध है और इसकी त्रिज्या R ज्ञात है, तो a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- उस स्थिति में जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक नियमित पंचभुज में अंकित होता है, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) 1, 453r;
- ऐसा होता है कि त्रिज्या के बजाय विकर्ण D का मान ज्ञात हो जाता है, तो पक्ष निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: a ≈ D/1, 618.
- एक नियमित पंचभुज का क्षेत्रफल फिर से निर्धारित किया जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि हम किस पैरामीटर को जानते हैं:
- अगर कोई खुदा हुआ या घेरा हुआ वृत्त है, तो दो में से एक सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
S=(nar)/2=2, 5ar या S=(nRsin α)/2 2, 3776आर2
;
क्षेत्रफल का निर्धारण केवल भुजा की लंबाई जानकर ही किया जा सकता है a:
एस=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
नियमित पंचकोण: निर्माण
इस ज्यामितीय आकृति को अलग-अलग तरीकों से बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इसे किसी दिए गए त्रिज्या के साथ एक वृत्त में अंकित करें, या किसी दिए गए पार्श्व पक्ष के आधार पर इसे बनाएं। क्रियाओं के क्रम का वर्णन यूक्लिड के तत्वों में लगभग 300 ईसा पूर्व में किया गया था। किसी भी मामले में, हमें एक कम्पास और एक शासक की आवश्यकता है। दिए गए वृत्त का उपयोग करके निर्माण विधि पर विचार करें।
1. एक मनमाना त्रिज्या चुनें और इसके केंद्र को O से चिह्नित करते हुए एक वृत्त बनाएं।
2. वृत्त रेखा पर, उस बिंदु का चयन करें जो हमारे पंचभुज के शीर्षों में से एक के रूप में कार्य करेगा। मान लीजिए यह बिंदु A है। बिंदु O और A को एक सीधी रेखा से जोड़ें।
3. बिंदु O से होकर रेखा OA पर एक रेखा खींचिए। इस रेखा के प्रतिच्छेदन को वृत्त की रेखा के साथ बिंदु B के रूप में निर्दिष्ट करें।
4. बिंदु O और B के बीच की दूरी के बीच में बिंदु C का निर्माण करें।
5. अब एक वृत्त खींचिए जिसका केंद्र बिंदु C पर होगा और जो बिंदु A से होकर जाएगा। रेखा OB के साथ इसके प्रतिच्छेदन का स्थान (यह पहले वृत्त के अंदर होगा) बिंदु D होगा।
6. D से होकर गुजरने वाले एक वृत्त की रचना करें, जिसका केंद्र A में होगा। मूल वृत्त के साथ इसके प्रतिच्छेदन के स्थानों को बिंदुओं E और F से चिह्नित किया जाना चाहिए।
7. अब एक वृत्त का निर्माण करें, जिसका केंद्र E में होगा। आपको ऐसा करने की आवश्यकता है ताकि यह A से होकर गुजरे। मूल वृत्त के इसके अन्य प्रतिच्छेदन को बिंदु G द्वारा इंगित किया जाना चाहिए।
8. अंत में, बिंदु F पर केंद्रित A से होकर एक वृत्त बनाएं। मूल वृत्त के दूसरे प्रतिच्छेदन को बिंदु H से चिह्नित करें।
9. अब छोड़ दियाबस ए, ई, जी, एच, एफ कनेक्ट करें। हमारा नियमित पेंटागन तैयार हो जाएगा!
