कार्य और इसकी विशेषताओं का अध्ययन आधुनिक गणित के प्रमुख अध्यायों में से एक है। किसी भी फ़ंक्शन का मुख्य घटक न केवल उसके गुणों को दर्शाने वाले ग्राफ़ हैं, बल्कि इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के पैरामीटर भी हैं। आइए एक नजर डालते हैं इस पेचीदा विषय पर। तो किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक खोजने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?
कार्य: परिभाषा
कोई भी वेरिएबल जो किसी तरह से दूसरे वैल्यू के वैल्यू पर निर्भर करता है उसे फंक्शन कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x2) द्विघात है और पूरे सेट x के लिए मान निर्धारित करता है। मान लें कि x=9, तो हमारे फ़ंक्शन का मान 92=81 के बराबर होगा।
कार्य कई अलग-अलग प्रकारों में आते हैं: तार्किक, वेक्टर, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, संख्यात्मक और अन्य। लैक्रोइक्स, लैग्रेंज, लाइबनिज़ और बर्नौली जैसे उत्कृष्ट दिमाग उनके अध्ययन में लगे हुए थे। उनके लेखन कार्यों के अध्ययन के आधुनिक तरीकों में एक बाधा के रूप में कार्य करते हैं। न्यूनतम अंक खोजने से पहले, फ़ंक्शन के अर्थ और उसके व्युत्पन्न को समझना बहुत महत्वपूर्ण है।
व्युत्पन्न और उसकी भूमिका
सभी कार्य चालू हैंउनके परिवर्तनीय मूल्यों के आधार पर, जिसका अर्थ है कि वे किसी भी समय अपना मूल्य बदल सकते हैं। ग्राफ़ पर, इसे एक वक्र के रूप में दर्शाया जाएगा जो या तो y-अक्ष के साथ उतरता है या ऊपर उठता है (यह ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर के साथ "y" संख्याओं का पूरा सेट है)। और इसलिए अधिकतम और न्यूनतम फ़ंक्शन के बिंदु की परिभाषा इन "दोलनों" से जुड़ी हुई है। आइए बताते हैं क्या है ये रिश्ता.
किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इसकी मुख्य विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए एक ग्राफ पर खींचा जाता है और गणना करता है कि फ़ंक्शन कितनी जल्दी बदलता है (अर्थात चर "x" के आधार पर इसका मान बदलता है)। जिस समय फ़ंक्शन बढ़ता है, उसके व्युत्पन्न का ग्राफ भी बढ़ेगा, लेकिन किसी भी समय फ़ंक्शन घटने लग सकता है, और फिर व्युत्पन्न का ग्राफ घट जाएगा। वे बिंदु जिन पर अवकलज माइनस से प्लस में जाता है, न्यूनतम अंक कहलाते हैं। यह जानने के लिए कि न्यूनतम अंक कैसे ज्ञात करें, आपको व्युत्पन्न की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझना चाहिए।
व्युत्पत्ति की गणना कैसे करें?
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को परिभाषित करना और उसकी गणना करना डिफरेंशियल कैलकुलस से कई अवधारणाओं का तात्पर्य है। सामान्य तौर पर, व्युत्पन्न की परिभाषा को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: यह वह मान है जो फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
कई छात्रों के लिए इसे निर्धारित करने का गणितीय तरीका जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल है। आपको बस अनुसरण करने की आवश्यकता हैकिसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए मानक योजना। निम्नलिखित वर्णन करता है कि आप भेदभाव के नियमों को लागू किए बिना और डेरिवेटिव की तालिका को याद किए बिना किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु कैसे प्राप्त कर सकते हैं।
- आप ग्राफ़ का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन को स्वयं चित्रित करने की आवश्यकता है, फिर उस पर एक बिंदु लें (अंजीर में बिंदु ए।) एब्सिस्सा अक्ष के लिए लंबवत रूप से एक रेखा खींचें (बिंदु x0), और बिंदु A पर ग्राफिक कार्य करने के लिए एक स्पर्शरेखा बनाएं। भुज अक्ष और स्पर्शरेखा एक कोण बनाते हैं। फ़ंक्शन कितनी तेजी से बढ़ता है, इसके मूल्य की गणना करने के लिए, आपको इस कोण के स्पर्शरेखा की गणना करने की आवश्यकता है।
- यह पता चला है कि स्पर्शरेखा और x-अक्ष की दिशा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा बिंदु A के साथ एक छोटे से क्षेत्र में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। इस विधि को व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए एक ज्यामितीय तरीका माना जाता है।.
फ़ंक्शन पर शोध करने के तरीके
गणित के विद्यालयी पाठ्यक्रम में किसी फलन का न्यूनतम बिंदु दो प्रकार से ज्ञात करना संभव है। हम पहले ही ग्राफ का उपयोग करके पहली विधि का विश्लेषण कर चुके हैं, लेकिन व्युत्पन्न के संख्यात्मक मूल्य का निर्धारण कैसे करें? ऐसा करने के लिए, आपको कई फ़ार्मुलों को सीखना होगा जो व्युत्पन्न के गुणों का वर्णन करते हैं और "x" जैसे चर को संख्याओं में बदलने में मदद करते हैं। निम्नलिखित विधि सार्वभौमिक है, इसलिए इसे लगभग सभी प्रकार के कार्यों (ज्यामितीय और लघुगणक दोनों) पर लागू किया जा सकता है।
- यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन को व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर किया जाए, और फिर नियमों का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाया जाएभेदभाव।
- शून्य से भाग दें।
- उसके बाद, आपको फ़ंक्शन के मूल रूप को एक साधारण समीकरण में बदलना चाहिए, पूरे एक्सप्रेशन को शून्य के बराबर करना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन इस तरह दिखता है: f(x)=2x3+38x, तो भेदभाव के नियमों के अनुसार, इसका व्युत्पन्न f'(x)=3x के बराबर है 2 +1. फिर हम इस व्यंजक को निम्नलिखित रूप के समीकरण में बदलते हैं: 3x2+1=0.
- समीकरण को हल करने और "x" अंक खोजने के बाद, आपको उन्हें x-अक्ष पर खींचना चाहिए और यह निर्धारित करना चाहिए कि इन क्षेत्रों में चिह्नित बिंदुओं के बीच व्युत्पन्न सकारात्मक या नकारात्मक है या नहीं। पदनाम के बाद, यह स्पष्ट हो जाएगा कि फ़ंक्शन किस बिंदु पर कम होना शुरू होता है, अर्थात यह ऋण से विपरीत में संकेत बदलता है। इस तरह आप न्यूनतम और अधिकतम दोनों अंक प्राप्त कर सकते हैं।
भेदभाव नियम
किसी फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न को सीखने का सबसे बुनियादी हिस्सा भेदभाव के नियमों को जानना है। केवल उनकी मदद से बोझिल अभिव्यक्तियों और बड़े जटिल कार्यों को बदलना संभव है। आइए उनसे परिचित हों, उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन वे सभी शक्ति और लघुगणक कार्यों दोनों के नियमित गुणों के कारण बहुत सरल हैं।
- किसी अचर का अवकलज शून्य होता है (f(x)=0)। अर्थात्, अवकलज f(x)=x5+ x - 160 निम्नलिखित रूप लेगा: f' (x)=5x4+1.
- दो पदों के योग का अवकलज: (f+w)'=f'w + fw'।
- लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न: (लॉगad)'=d/ln ad. यह सूत्र सभी प्रकार के लघुगणक पर लागू होता है।
- डिग्री का व्युत्पन्न: (x)'=nxn-1। उदाहरण के लिए, (9x2)'=92x=18x।
- साइनसॉइडल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न: (sin a)'=cos a. यदि कोण a का पाप 0.5 है, तो इसका अवकलज √3/2 है।
अत्यधिक बिंदु
हमने पहले ही पता लगा लिया है कि न्यूनतम अंक कैसे प्राप्त करें, हालांकि, फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं की अवधारणा है। यदि न्यूनतम उन बिंदुओं को दर्शाता है जिन पर फ़ंक्शन माइनस से प्लस तक जाता है, तो अधिकतम अंक x-अक्ष पर वे बिंदु होते हैं, जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्लस से विपरीत - माइनस में बदल जाता है।
आप ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करके अधिकतम अंक प्राप्त कर सकते हैं, केवल यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि वे उन क्षेत्रों को दर्शाते हैं जहां फ़ंक्शन कम होना शुरू होता है, अर्थात व्युत्पन्न शून्य से कम होगा।
गणित में, दोनों अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए प्रथागत है, उन्हें "चरम बिंदु" वाक्यांश के साथ बदल दिया गया है। जब कार्य इन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए कहता है, तो इसका मतलब है कि इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करना और न्यूनतम और अधिकतम अंक खोजना आवश्यक है।
