यह संभावना नहीं है कि बहुत से लोग इस बारे में सोचते हैं कि क्या कम या ज्यादा यादृच्छिक घटनाओं की गणना करना संभव है। सरल शब्दों में, क्या यह जानना यथार्थवादी है कि पासे में पासे की कौन सी भुजा आगे निकलेगी। यह सवाल दो महान वैज्ञानिकों ने पूछा था, जिन्होंने प्रायिकता के सिद्धांत जैसे विज्ञान की नींव रखी, जिसमें किसी घटना की प्रायिकता का काफी विस्तार से अध्ययन किया जाता है।
उत्पत्ति
यदि आप इस तरह की अवधारणा को संभाव्यता सिद्धांत के रूप में परिभाषित करने का प्रयास करते हैं, तो आपको निम्न मिलता है: यह गणित की शाखाओं में से एक है जो यादृच्छिक घटनाओं की निरंतरता का अध्ययन करती है। बेशक, यह अवधारणा वास्तव में पूरे सार को प्रकट नहीं करती है, इसलिए इस पर अधिक विस्तार से विचार करना आवश्यक है।
मैं सिद्धांत के रचनाकारों के साथ शुरुआत करना चाहूंगा। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, उनमें से दो थे, ये पियरे फ़र्मेट और ब्लेज़ पास्कल हैं। यह वे लोग थे जिन्होंने पहले सूत्र और गणितीय गणनाओं का उपयोग करके किसी घटना के परिणाम की गणना करने का प्रयास किया था। कुल मिलाकर, इस विज्ञान की मूल बातें जैसे ही दिखाई दींमध्य युग। उस समय, विभिन्न विचारकों और वैज्ञानिकों ने जुए का विश्लेषण करने की कोशिश की, जैसे कि रूले, क्रेप्स, और इसी तरह, जिससे एक विशेष संख्या का पैटर्न और प्रतिशत गिर रहा है। उपरोक्त वैज्ञानिकों द्वारा सत्रहवीं शताब्दी में नींव रखी गई थी।
सबसे पहले, उनके काम को इस क्षेत्र में महान उपलब्धियों के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता था, क्योंकि उन्होंने जो कुछ भी किया वह केवल अनुभवजन्य तथ्य थे, और प्रयोगों को सूत्रों के उपयोग के बिना, दृष्टिगत रूप से सेट किया गया था। समय के साथ, यह महान परिणाम प्राप्त करने के लिए निकला, जो पासा फेंकने के परिणामस्वरूप दिखाई दिया। यह वह उपकरण था जिसने पहले सुगम सूत्रों को प्राप्त करने में मदद की।
सहयोगी
"संभाव्यता सिद्धांत" नामक विषय का अध्ययन करने की प्रक्रिया में क्रिश्चियन ह्यूजेंस जैसे व्यक्ति का उल्लेख नहीं करना असंभव है (किसी घटना की संभावना को इस विज्ञान में ठीक से कवर किया गया है)। यह व्यक्ति बहुत दिलचस्प है। उन्होंने, ऊपर प्रस्तुत वैज्ञानिकों की तरह, गणितीय सूत्रों के रूप में यादृच्छिक घटनाओं की नियमितता प्राप्त करने का प्रयास किया। उल्लेखनीय है कि उन्होंने पास्कल और फ़र्मेट के साथ मिलकर ऐसा नहीं किया, यानी उनके सभी काम किसी भी तरह से इन दिमागों को नहीं काटते थे। हाइजेन्स ने संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ व्युत्पन्न कीं।
एक दिलचस्प तथ्य यह है कि उनका काम पायनियरों के काम के परिणामों से बहुत पहले, या बल्कि बीस साल पहले सामने आया था। निर्दिष्ट अवधारणाओं में, सबसे प्रसिद्ध हैं:
- संभावना के परिमाण के रूप में संभाव्यता की अवधारणा;
- असतत की अपेक्षामामले;
- गुणन और प्रायिकताओं के योग के प्रमेय।
जेब बर्नौली को याद न करना भी असंभव है, जिन्होंने समस्या के अध्ययन में भी महत्वपूर्ण योगदान दिया। अपने स्वयं के परीक्षणों का संचालन करते हुए, किसी से स्वतंत्र होकर, वह बड़ी संख्या में कानून का प्रमाण प्रस्तुत करने में सफल रहे। बदले में, उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में काम करने वाले वैज्ञानिक पॉइसन और लाप्लास मूल प्रमेयों को साबित करने में सक्षम थे। इसी क्षण से प्रेक्षणों के दौरान त्रुटियों का विश्लेषण करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग किया जाने लगा। रूसी वैज्ञानिक, या बल्कि मार्कोव, चेबीशेव और डायपुनोव, इस विज्ञान को भी दरकिनार नहीं कर सके। महान प्रतिभाओं द्वारा किए गए कार्यों के आधार पर, उन्होंने इस विषय को गणित की एक शाखा के रूप में निर्धारित किया। ये आंकड़े उन्नीसवीं सदी के अंत में पहले से ही काम कर रहे थे, और उनके योगदान के लिए धन्यवाद, इस तरह की घटनाएं:
- बड़ी संख्या का नियम;
- मार्कोव श्रृंखला सिद्धांत;
- केंद्रीय सीमा प्रमेय।
तो, विज्ञान के जन्म के इतिहास के साथ और इसे प्रभावित करने वाले मुख्य लोगों के साथ, सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है। अब समय आ गया है सभी तथ्यों को ठोस बनाने का।
बुनियादी अवधारणा
नियमों और प्रमेयों को छूने से पहले, यह संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं का अध्ययन करने योग्य है। घटना इसमें अग्रणी भूमिका निभाती है। यह विषय काफी बड़ा है, लेकिन इसके बिना बाकी सब कुछ समझना संभव नहीं होगा।
संभाव्यता सिद्धांत में एक घटना एक प्रयोग के परिणामों का कोई भी सेट है। इस घटना की इतनी सारी अवधारणाएँ नहीं हैं। तो, वैज्ञानिक लोटमैन,इस क्षेत्र में काम करते हुए कहा कि इस मामले में हम कुछ ऐसी बात कर रहे हैं जो "हो गया, हालांकि ऐसा नहीं हुआ होगा।"
यादृच्छिक घटनाएँ (संभाव्यता सिद्धांत उन पर विशेष ध्यान देता है) एक अवधारणा है जिसका तात्पर्य किसी भी घटना से है जो घटित होने की क्षमता रखती है। या, इसके विपरीत, कई शर्तें पूरी होने पर यह परिदृश्य नहीं हो सकता है। यह भी जानने योग्य है कि यह यादृच्छिक घटनाएं हैं जो घटित होने वाली घटनाओं की पूरी मात्रा को पकड़ती हैं। संभाव्यता सिद्धांत इंगित करता है कि सभी स्थितियों को लगातार दोहराया जा सकता है। यह उनका आचरण था जिसे "अनुभव" या "परीक्षा" कहा जाता था।
एक निश्चित घटना वह है जो किसी दिए गए परीक्षण में 100% होगी। तदनुसार, एक असंभव घटना वह है जो घटित नहीं होगी।
एक जोड़ी क्रियाओं का संयोजन (पारंपरिक रूप से केस ए और केस बी) एक घटना है जो एक साथ होती है। उन्हें एबी के रूप में नामित किया गया है।
घटनाओं A और B के युग्मों का योग C है, दूसरे शब्दों में, यदि उनमें से कम से कम एक होता है (A या B), तो C प्राप्त होगा। वर्णित घटना का सूत्र इस प्रकार लिखा गया है: सी=ए + बी.
संभाव्यता सिद्धांत में असंबद्ध घटनाओं का अर्थ है कि दो मामले परस्पर अनन्य हैं। वे एक ही समय में कभी नहीं हो सकते। संभाव्यता सिद्धांत में संयुक्त घटनाएँ उनके प्रतिपद हैं। इसका तात्पर्य यह है कि यदि ए हुआ, तो यह बी के साथ हस्तक्षेप नहीं करता है।
विपरीत घटनाएं (संभाव्यता सिद्धांत उनके साथ बहुत विस्तार से संबंधित है) को समझना आसान है। उनके साथ तुलना करना सबसे अच्छा है। वे लगभग समान हैंऔर प्रायिकता सिद्धांत में असंगत घटनाएँ। लेकिन उनका अंतर इस तथ्य में निहित है कि कई घटनाओं में से एक वैसे भी होना चाहिए।
समतुल्य घटनाएँ वे क्रियाएँ होती हैं, जिनकी सम्भावना बराबर होती है। इसे स्पष्ट करने के लिए, हम एक सिक्के के उछालने की कल्पना कर सकते हैं: इसके एक पक्ष के गिरने से दूसरे के गिरने की भी उतनी ही संभावना है।
एक उदाहरण से शुभ घटना को आसानी से देखा जा सकता है। मान लीजिए कि एपिसोड बी और एपिसोड ए है। पहला पासे का रोल है जिसमें एक विषम संख्या दिखाई देती है, और दूसरी पासे पर संख्या पांच की उपस्थिति है। तब पता चलता है कि A, B का पक्ष लेता है।
संभाव्यता सिद्धांत में स्वतंत्र घटनाओं को केवल दो या दो से अधिक मामलों पर प्रक्षेपित किया जाता है और किसी अन्य से किसी भी कार्रवाई की स्वतंत्रता का संकेत मिलता है। उदाहरण के लिए, ए एक सिक्का उछालने पर पूंछ का नुकसान है, और बी डेक से जैक का चित्रण है। वे संभाव्यता सिद्धांत में स्वतंत्र घटनाएँ हैं। इस क्षण के साथ यह स्पष्ट हो गया।
संभाव्यता सिद्धांत में आश्रित घटनाएं भी केवल उनके सेट के लिए स्वीकार्य हैं। वे एक दूसरे पर निर्भरता को इंगित करते हैं, यानी घटना बी तभी हो सकती है जब ए पहले ही हो चुका हो या इसके विपरीत, नहीं हुआ हो, जब यह बी के लिए मुख्य शर्त है।
एक घटक वाले यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम प्राथमिक घटनाएँ हैं। संभाव्यता सिद्धांत बताता है कि यह एक घटना है जो केवल एक बार हुई है।
मूल सूत्र
तो, "घटना", "संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणाएं,इस विज्ञान की मूल शर्तों की परिभाषा भी दी गई थी। अब महत्वपूर्ण सूत्रों से सीधे परिचित होने का समय आ गया है। ये भाव गणितीय रूप से संभाव्यता सिद्धांत जैसे कठिन विषय में सभी मुख्य अवधारणाओं की पुष्टि करते हैं। किसी घटना की संभावना यहाँ भी बहुत बड़ी भूमिका निभाती है।
कॉम्बिनेटरिक्स के बुनियादी फ़ार्मुलों के साथ बेहतर शुरुआत करें। और उन पर आगे बढ़ने से पहले, यह विचार करने योग्य है कि यह क्या है।
Combinatorics मुख्य रूप से गणित की एक शाखा है, यह बड़ी संख्या में पूर्णांकों के अध्ययन के साथ-साथ स्वयं और उनके तत्वों, विभिन्न डेटा, आदि दोनों संख्याओं के विभिन्न क्रमपरिवर्तनों के अध्ययन से संबंधित है, जिससे किसकी उपस्थिति होती है कई संयोजन। संभाव्यता सिद्धांत के अलावा, यह शाखा सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान और क्रिप्टोग्राफी के लिए महत्वपूर्ण है।
तो अब हम फ़ार्मुलों को स्वयं प्रस्तुत करने और उन्हें परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।
पहला क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए व्यंजक होगा, यह इस तरह दिखता है:
P_n=n (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 2 ⋅ 1=n!
समीकरण तभी लागू होता है जब तत्व केवल क्रम में भिन्न हों।
अब प्लेसमेंट फॉर्मूला पर विचार किया जाएगा, यह इस तरह दिखता है:
ए_एन^एम=एन ⋅ (एन -1) ⋅ (एन -2) ⋅ … ⋅ (एन - एम + 1)=एन!: (एन - एम)!
यह व्यंजक न केवल तत्व के क्रम पर लागू होता है, बल्कि उसकी संरचना पर भी लागू होता है।
संयोजन से तीसरा समीकरण, और यह अंतिम भी है, संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र कहा जाता है:
सी_एन^एम=एन!: ((एन -एम))!:एम!
संयोजन ऐसे चयन होते हैं जिन्हें क्रमशः क्रमित नहीं किया जाता है, और यह नियम उन पर लागू होता है।
कॉम्बिनेटरिक्स के सूत्रों को समझना आसान हो गया, अब हम संभावनाओं की शास्त्रीय परिभाषा पर आगे बढ़ सकते हैं। यह अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:
पी(ए)=एम: एन.
इस सूत्र में, m घटना A के अनुकूल परिस्थितियों की संख्या है, और n बिल्कुल समान रूप से संभव और प्रारंभिक परिणामों की संख्या है।
बड़ी संख्या में भाव हैं, लेख उन सभी को कवर नहीं करेगा, लेकिन उनमें से सबसे महत्वपूर्ण को छुआ जाएगा, जैसे, उदाहरण के लिए, घटनाओं के योग की संभावना:
P(A + B)=P(A) + P(B) - यह प्रमेय केवल असंगत घटनाओं को जोड़ने के लिए है;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - और यह केवल संगत को जोड़ने के लिए है।
घटनाओं के निर्माण की संभावना:
P(A B)=P(A) P(B) – यह प्रमेय स्वतंत्र घटनाओं के लिए है;
(P(A B)=P(A) P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - और यह एक के लिए है नशेड़ी।
इवेंट फॉर्मूला सूची को समाप्त करता है। संभाव्यता सिद्धांत हमें बेयस के प्रमेय के बारे में बताता है, जो इस तरह दिखता है:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, एन
इस सूत्र में, H1, H2, …, H है परिकल्पनाओं का पूरा समूह।
आइए यहीं रुकते हैं, फिर अभ्यास से विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए सूत्रों को लागू करने के उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।
उदाहरण
यदि आप किसी भी सेक्शन का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैंगणित, यह अभ्यास और नमूना समाधान के बिना नहीं करता है। तो प्रायिकता का सिद्धांत है: घटनाएँ, उदाहरण यहाँ एक अभिन्न घटक हैं जो वैज्ञानिक गणनाओं की पुष्टि करते हैं।
क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए सूत्र
मान लें कि कार्ड के एक डेक में तीस कार्ड हैं, जो अंकित मूल्य एक से शुरू होते हैं। अगला प्रश्न। डेक को ढेर करने के कितने तरीके हैं ताकि एक और दो के अंकित मूल्य वाले कार्ड एक दूसरे के बगल में न हों?
कार्य निर्धारित किया गया है, अब इसे हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। पहले आपको तीस तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, इसके लिए हम उपरोक्त सूत्र लेते हैं, यह पता चलता है P_30=30!।
इस नियम के आधार पर, हम यह पता लगाएंगे कि डेक को अलग-अलग तरीकों से मोड़ने के लिए कितने विकल्प हैं, लेकिन हमें उनमें से उन विकल्पों को घटाना होगा जिनमें पहले और दूसरे कार्ड हैं। ऐसा करने के लिए, आइए विकल्प के साथ शुरू करें जब पहला दूसरे से ऊपर हो। यह पता चला है कि पहला कार्ड उनतीस स्थान ले सकता है - पहले से उनतीसवें तक, और दूसरा कार्ड दूसरे से तीसवें तक, यह कार्ड की एक जोड़ी के लिए उनतीस स्थानों पर निकलता है। बदले में, बाकी अट्ठाईस स्थान ले सकते हैं, और किसी भी क्रम में। अर्थात्, अट्ठाईस कार्डों के क्रमपरिवर्तन के लिए, अट्ठाईस विकल्प हैं P_28=28!
परिणामस्वरूप, यह पता चलता है कि यदि हम समाधान पर विचार करते हैं जब पहला कार्ड दूसरे के ऊपर है, तो 29 28 अतिरिक्त संभावनाएं हैं!=29!
उसी पद्धति का उपयोग करते हुए, आपको उस मामले के लिए अनावश्यक विकल्पों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है जब पहला कार्ड दूसरे के नीचे हो।यह भी निकला 29 28!=29!
यह इस प्रकार है कि 2 29 अतिरिक्त विकल्प हैं!, जबकि डेक बनाने के लिए 30 आवश्यक तरीके हैं! - 2 29!. अभी गिनती बाकी है।
30!=29! 30; 30!-2⋅29!=29! (30 - 2)=29! ⋅ 28
अब आपको सभी संख्याओं को एक से उनतीस से गुणा करना है, और फिर अंत में सभी को 28 से गुणा करना है। उत्तर है 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
उदाहरण का समाधान। प्लेसमेंट नंबर के लिए फॉर्मूला
इस समस्या में, आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि एक शेल्फ पर पंद्रह खंड रखने के कितने तरीके हैं, लेकिन इस शर्त के तहत कि कुल तीस खंड हैं।
इस समस्या का समाधान पिछले वाले की तुलना में थोड़ा आसान है। पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग करके, पन्द्रह के तीस खंडों से स्थानों की कुल संख्या की गणना करना आवश्यक है।
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 29 ⋅ 28 … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
उत्तर क्रमशः 202 843 204 931 727 360 000 होगा।
अब काम को थोड़ा और मुश्किल से लेते हैं। आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि दो बुकशेल्फ़ पर तीस पुस्तकों को व्यवस्थित करने के कितने तरीके हैं, बशर्ते कि एक शेल्फ पर केवल पंद्रह खंड हो सकते हैं।
समाधान शुरू करने से पहले, मैं स्पष्ट करना चाहूंगा कि कुछ समस्याओं को कई तरीकों से हल किया जाता है, इसलिए इसमें दो तरीके हैं, लेकिन दोनों में एक ही सूत्र का उपयोग किया जाता है।
इस समस्या में, आप पिछले वाले से उत्तर ले सकते हैं, क्योंकि वहां हमने गणना की थी कि आप पंद्रह पुस्तकों के साथ एक शेल्फ को कितनी बार भर सकते हैं-अलग ढंग से। यह निकला A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 29 ⋅ 28 …⋅ 16.
हम क्रमपरिवर्तन सूत्र का उपयोग करके दूसरे शेल्फ की गणना करेंगे, क्योंकि इसमें पंद्रह पुस्तकें रखी गई हैं, जबकि केवल पंद्रह शेष हैं। सूत्र का प्रयोग करें P_15=15!.
यह पता चला है कि कुल A_30^15 ⋅ P_15 तरीके होंगे, लेकिन, इसके अलावा, तीस से सोलह तक की सभी संख्याओं के गुणनफल को एक से पंद्रह तक की संख्याओं के गुणनफल से गुणा करना होगा, जैसे परिणामस्वरूप, सभी संख्याओं का गुणनफल एक से तीस तक होता है, इसलिए उत्तर 30 है!
लेकिन इस समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता है - आसान। ऐसा करने के लिए, आप कल्पना कर सकते हैं कि तीस पुस्तकों के लिए एक शेल्फ है। उन सभी को इस विमान पर रखा गया है, लेकिन चूंकि शर्त के लिए आवश्यक है कि दो अलमारियां हों, हम आधे में से एक को लंबा काटते हैं, यह प्रत्येक में दो पंद्रह निकलता है। इससे पता चलता है कि प्लेसमेंट विकल्प P_30=30!.
हो सकते हैं।
उदाहरण का समाधान। संयोजन संख्या के लिए सूत्र
अब हम कॉम्बिनेटरिक्स से तीसरी समस्या के एक प्रकार पर विचार करेंगे। आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि पंद्रह पुस्तकों को व्यवस्थित करने के कितने तरीके हैं, बशर्ते कि आपको तीस बिल्कुल समान में से चुनने की आवश्यकता हो।
समाधान के लिए, निश्चित रूप से, संयोजनों की संख्या का सूत्र लागू किया जाएगा। शर्त से यह स्पष्ट हो जाता है कि समान पन्द्रह पुस्तकों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, प्रारंभ में आपको पन्द्रह की तीस पुस्तकों के संयोजनों की कुल संख्या ज्ञात करनी होगी।
C_30^15=30 !: ((30-15))!: पंद्रह !=155 117 520
बस। इस सूत्र का प्रयोग करते हुए कम से कम समय में संभव हो सकाइस तरह की एक समस्या को हल करें, उत्तर क्रमशः 155 117 520 है।
उदाहरण का समाधान। प्रायिकता की क्लासिक परिभाषा
उपरोक्त सूत्र से आप एक साधारण सी समस्या का उत्तर पा सकते हैं। लेकिन यह क्रियाओं के क्रम को देखने और उनका पालन करने में मदद करेगा।
समस्या में दिया गया है कि कलश में दस बिल्कुल समान गेंदें हैं। इनमें से चार पीले और छह नीले हैं। कलश से एक गेंद ली जाती है। आपको नीला होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
समस्या को हल करने के लिए, नीली गेंद को घटना ए के रूप में नामित करना आवश्यक है। इस अनुभव के दस परिणाम हो सकते हैं, जो बदले में प्राथमिक और समान रूप से संभावित हैं। उसी समय, दस में से छह घटना ए के लिए अनुकूल हैं। हम सूत्र के अनुसार हल करते हैं:
पी(ए)=6: 10=0, 6
इस सूत्र को लागू करने पर हमने पाया कि नीली गेंद मिलने की प्रायिकता 0.6 है।
उदाहरण का समाधान। घटनाओं के योग की प्रायिकता
अब एक प्रकार प्रस्तुत किया जाएगा, जिसे घटनाओं के योग की प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है। तो, इस शर्त में कि दो बॉक्स हैं, पहले में एक ग्रे और पांच सफेद गेंदें हैं, और दूसरी में आठ ग्रे और चार सफेद गेंदें हैं। नतीजतन, उनमें से एक को पहले और दूसरे बक्से से लिया गया था। आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि क्या संभावना है कि आपको मिलने वाली गेंदें ग्रे और सफेद होंगी।
इस समस्या को हल करने के लिए, आपको घटनाओं को लेबल करना होगा।
- तो, ए - पहले बॉक्स से एक ग्रे बॉल लें: पी(ए)=1/6.
- A' - पहले बॉक्स से एक सफेद गेंद भी लें: P(A')=5/6.
- B - ग्रे बॉल को दूसरे बॉक्स से पहले ही निकाल लिया गया है: P(B)=2/3.
- B' - दूसरे बॉक्स से एक ग्रे बॉल लें: P(B')=1/3.
समस्या की स्थिति के अनुसार, एक घटना अवश्य होनी चाहिए: AB' या A'B। सूत्र का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18।
अब प्रायिकता गुणन सूत्र का उपयोग किया गया है। इसके बाद, उत्तर जानने के लिए, आपको उनके जोड़ के लिए समीकरण लागू करना होगा:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
इस प्रकार, सूत्र का उपयोग करके, आप इसी तरह की समस्याओं को हल कर सकते हैं।
परिणाम
लेख ने "संभाव्यता सिद्धांत" विषय पर जानकारी प्रदान की, जिसमें किसी घटना की संभावना एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। बेशक, सब कुछ ध्यान में नहीं रखा गया था, लेकिन, प्रस्तुत पाठ के आधार पर, कोई सैद्धांतिक रूप से गणित के इस खंड से परिचित हो सकता है। प्रश्न में विज्ञान न केवल पेशेवर काम में, बल्कि रोजमर्रा की जिंदगी में भी उपयोगी हो सकता है। इसकी मदद से आप किसी भी घटना की किसी भी संभावना की गणना कर सकते हैं।
पाठ ने एक विज्ञान के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के गठन के इतिहास में महत्वपूर्ण तिथियों को भी छुआ, और उन लोगों के नाम जिनके कार्यों में निवेश किया गया था। इस तरह मानवीय जिज्ञासा ने इस तथ्य को जन्म दिया कि लोगों ने यादृच्छिक घटनाओं की गणना करना भी सीख लिया। एक बार वे सिर्फ इसमें रुचि रखते थे, लेकिन आज हर कोई इसके बारे में पहले से ही जानता है। और कोई यह नहीं कहेगा कि भविष्य में हमारा क्या इंतजार है, विचाराधीन सिद्धांत से संबंधित और क्या शानदार खोजें की जाएंगी। लेकिन एक बात पक्की है - शोध अभी भी खड़ा नहीं है!
