कई, "संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा का सामना कर रहे हैं, यह सोचकर भयभीत हैं कि यह कुछ भारी है, बहुत जटिल है। लेकिन यह वास्तव में इतना दुखद नहीं है। आज हम संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा पर विचार करेंगे, विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके समस्याओं को हल करना सीखेंगे।
विज्ञान
गणित की ऐसी शाखा "प्रायिकता सिद्धांत" का क्या अध्ययन करती है? यह यादृच्छिक घटनाओं और मात्राओं के पैटर्न को नोट करता है। अठारहवीं शताब्दी में पहली बार वैज्ञानिकों को इस मुद्दे में दिलचस्पी हुई, जब उन्होंने जुए का अध्ययन किया। संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है। यह कोई भी तथ्य है जो अनुभव या अवलोकन से पता चलता है। लेकिन अनुभव क्या है? संभाव्यता सिद्धांत की एक और बुनियादी अवधारणा। इसका मतलब है कि परिस्थितियों की यह रचना संयोग से नहीं, बल्कि एक विशिष्ट उद्देश्य के लिए बनाई गई थी। अवलोकन के लिए, यहाँ शोधकर्ता स्वयं प्रयोग में भाग नहीं लेता है, लेकिन केवल इन घटनाओं का साक्षी है, वह किसी भी तरह से जो हो रहा है उसे प्रभावित नहीं करता है।
घटनाक्रम
हमने सीखा कि संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है, लेकिन वर्गीकरण पर विचार नहीं किया। उन सभी को निम्नलिखित श्रेणियों में बांटा गया है:
- विश्वसनीय।
- असंभव।
- यादृच्छिक।
कोई बात नहींअनुभव के क्रम में किस प्रकार की घटनाएँ देखी या निर्मित की जाती हैं, वे सभी इस वर्गीकरण के अधीन हैं। हम प्रत्येक प्रजाति से अलग से परिचित होने की पेशकश करते हैं।
कुछ घटना
यह एक ऐसी परिस्थिति है जिसके पहले आवश्यक उपाय किए गए हैं। सार को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कुछ उदाहरण देना बेहतर है। भौतिकी, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और उच्च गणित इस कानून के अधीन हैं। संभाव्यता सिद्धांत में एक निश्चित घटना के रूप में ऐसी महत्वपूर्ण अवधारणा शामिल है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
- हम काम करते हैं और मजदूरी के रूप में पारिश्रमिक प्राप्त करते हैं।
- हमने परीक्षा अच्छी उत्तीर्ण की, प्रतियोगिता उत्तीर्ण की, इसके लिए हमें एक शैक्षणिक संस्थान में प्रवेश के रूप में पुरस्कार मिलता है।
- हमने बैंक में पैसा लगाया है, जरूरत पड़ी तो वापस कर देंगे।
ऐसे आयोजन विश्वसनीय होते हैं। यदि हमने सभी आवश्यक शर्तें पूरी कर ली हैं, तो हमें निश्चित रूप से अपेक्षित परिणाम मिलेगा।
असंभव घटनाएँ
अब हम प्रायिकता सिद्धांत के तत्वों पर विचार कर रहे हैं। हम अगले प्रकार की घटना, अर्थात् असंभव की व्याख्या पर आगे बढ़ने का प्रस्ताव करते हैं। सबसे पहले, आइए सबसे महत्वपूर्ण नियम निर्दिष्ट करें - एक असंभव घटना की संभावना शून्य है।
समस्याओं को हल करते समय आप इस शब्द से विचलित नहीं हो सकते। स्पष्ट करने के लिए, ऐसी घटनाओं के उदाहरण यहां दिए गए हैं:
- प्लस टेन पर पानी जम गया (यह असंभव है)।
- बिजली की कमी किसी भी तरह से उत्पादन को प्रभावित नहीं करती है (जैसा कि पिछले उदाहरण में असंभव है)।
और उदाहरणयह उद्धृत करने योग्य नहीं है, क्योंकि ऊपर वर्णित सभी इस श्रेणी के सार को स्पष्ट रूप से दर्शाते हैं। असंभव घटना कभी भी अनुभव के दौरान किसी भी परिस्थिति में नहीं होगी।
रैंडम इवेंट
संभाव्यता सिद्धांत के तत्वों का अध्ययन करते हुए इस विशेष प्रकार की घटना पर विशेष ध्यान देना चाहिए। वही विज्ञान पढ़ रहा है। अनुभव के परिणामस्वरूप, कुछ हो भी सकता है और नहीं भी। इसके अलावा, परीक्षण को असीमित बार दोहराया जा सकता है। ज्वलंत उदाहरण हैं:
- सिक्का उछालना एक अनुभव है, या एक परीक्षा, शीर्षक एक घटना है।
- एक बैग से एक गेंद को आँख बंद करके निकालना एक परीक्षा है, एक लाल गेंद को पकड़ा जाना एक घटना है और इसी तरह।
ऐसे उदाहरणों की असीमित संख्या हो सकती है, लेकिन सामान्य तौर पर, सार स्पष्ट होना चाहिए। घटनाओं के बारे में प्राप्त ज्ञान को संक्षेप और व्यवस्थित करने के लिए, एक तालिका दी गई है। प्रायिकता सिद्धांत सभी प्रस्तुत किए गए अंतिम प्रकार का ही अध्ययन करता है।
| शीर्षक | परिभाषा | उदाहरण |
| विश्वसनीय | ऐसे इवेंट जो कुछ शर्तों के तहत 100% गारंटी के साथ होते हैं। | अच्छे प्रवेश परीक्षा के साथ शैक्षणिक संस्थान में प्रवेश। |
| असंभव | ऐसे आयोजन जो किसी भी परिस्थिति में कभी नहीं होंगे। | प्लस तीस डिग्री सेल्सियस के तापमान पर बर्फबारी हो रही है। |
| यादृच्छिक | एक घटना जो प्रयोग/परीक्षण के दौरान हो भी सकती है और नहीं भी। | बास्केटबॉल को हूप में फेंकते समय हिट या मिस करें। |
कानून
संभाव्यता सिद्धांत एक विज्ञान है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना का अध्ययन करता है। दूसरों की तरह इसके भी कुछ नियम हैं। प्रायिकता सिद्धांत के निम्नलिखित नियम हैं:
- यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का अभिसरण।
- बड़ी संख्या का नियम।
एक जटिल की संभावना की गणना करते समय, आप परिणाम को आसान और तेज़ तरीके से प्राप्त करने के लिए सरल घटनाओं के एक जटिल का उपयोग कर सकते हैं। ध्यान दें कि कुछ प्रमेयों की सहायता से संभाव्यता सिद्धांत के नियम आसानी से सिद्ध हो जाते हैं। आइए पहले नियम से शुरू करते हैं।
यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का अभिसरण
ध्यान दें कि अभिसरण कई प्रकार के होते हैं:
- यादृच्छिक चरों का अनुक्रम प्रायिकता में अभिसरण करता है।
- लगभग असंभव।
- आरएमएस अभिसरण।
- वितरण में अभिसरण।
तो, उड़ते हुए, इसकी तह तक जाना बहुत कठिन है। इस विषय को समझने में आपकी सहायता के लिए यहां कुछ परिभाषाएं दी गई हैं। आइए पहले लुक से शुरू करते हैं। एक अनुक्रम को संभाव्यता में अभिसरण कहा जाता है यदि निम्न शर्त पूरी होती है: n अनंत की ओर जाता है, जिस संख्या में अनुक्रम की ओर झुकाव होता है वह शून्य से अधिक और एक के करीब होता है।
अगले दृश्य पर जा रहे हैं, लगभग निश्चित रूप से । वे कहते हैं किअनुक्रम लगभग निश्चित रूप से एक यादृच्छिक चर में परिवर्तित हो जाता है जिसमें n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है और P एक मान के करीब होता है।
अगला प्रकार रूट-माध्य-वर्ग अभिसरण है। एससी-अभिसरण का उपयोग करते समय, वेक्टर यादृच्छिक प्रक्रियाओं का अध्ययन उनके समन्वय यादृच्छिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के लिए कम हो जाता है।
आखिरी प्रकार शेष है, आइए समस्याओं को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ने के लिए इस पर एक संक्षिप्त नज़र डालें। वितरण अभिसरण का एक और नाम है - "कमजोर", हम नीचे बताएंगे कि क्यों। कमजोर अभिसरण सीमा वितरण फलन की निरंतरता के सभी बिंदुओं पर वितरण फलनों का अभिसरण है।
वादे को पूरा करना सुनिश्चित करें: कमजोर अभिसरण उपरोक्त सभी से अलग है कि यादृच्छिक चर को संभाव्यता स्थान पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह संभव है क्योंकि स्थिति विशेष रूप से वितरण कार्यों का उपयोग करके बनाई गई है।
बड़ी संख्या का नियम
इस नियम को सिद्ध करने में उत्कृष्ट सहायक प्रायिकता सिद्धांत के प्रमेय होंगे, जैसे:
- चेबीशेव की असमानता।
- चेबीशेव की प्रमेय।
- चेबीशेव के प्रमेय को सामान्यीकृत किया।
- मार्कोव का प्रमेय।
यदि हम इन सभी प्रमेयों पर विचार करें, तो यह प्रश्न कई दर्जन शीटों तक खिंच सकता है। हमारा मुख्य कार्य संभाव्यता के सिद्धांत को व्यवहार में लागू करना है। हम आपको अभी ऐसा करने के लिए आमंत्रित करते हैं। लेकिन इससे पहले, आइए संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्धों पर विचार करें, वे समस्याओं को हल करने में मुख्य सहायक होंगे।
स्वयंसिद्ध
जब हमने असंभव घटना के बारे में बात की तो हम पहले ही मिल चुके थे। आइए याद रखें: एक असंभव घटना की संभावना शून्य है। हमने एक बहुत ही ज्वलंत और यादगार उदाहरण दिया: तीस डिग्री सेल्सियस के हवा के तापमान पर बर्फबारी हुई।
दूसरा ऐसा लगता है: एक विश्वसनीय घटना एक के बराबर संभावना के साथ होती है। अब आइए दिखाते हैं कि इसे गणितीय भाषा का उपयोग करके कैसे लिखा जाता है: P(B)=1.
तीसरा: एक यादृच्छिक घटना हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है, लेकिन संभावना हमेशा शून्य से एक तक होती है। मान जितना करीब होगा, मौका उतना ही अधिक होगा; यदि मान शून्य के करीब पहुंचता है, तो संभावना बहुत कम है। आइए इसे गणितीय भाषा में लिखें: 0<Р(С)<1।
आइए अंतिम, चौथे स्वयंसिद्ध पर विचार करें, जो इस तरह लगता है: दो घटनाओं के योग की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है। हम गणितीय भाषा में लिखते हैं: पी (ए + बी) u003d पी (ए) + पी (बी)।
संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सबसे सरल नियम हैं जिन्हें याद रखना आसान है। आइए पहले से प्राप्त ज्ञान के आधार पर कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें।
लॉटरी टिकट
सबसे पहले, सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें - लॉटरी। कल्पना कीजिए कि आपने सौभाग्य के लिए एक लॉटरी टिकट खरीदा है। क्या संभावना है कि आप कम से कम बीस रूबल जीतेंगे? कुल मिलाकर, एक हजार टिकट संचलन में भाग लेते हैं, जिनमें से एक का पुरस्कार पांच सौ रूबल, दस सौ रूबल, पचास बीस रूबल और एक सौ पांच है। संभाव्यता सिद्धांत में समस्याएं संभावना खोजने पर आधारित होती हैंसफलता मिले। अब हम सब मिलकर उपरोक्त प्रस्तुत कार्य के समाधान का विश्लेषण करेंगे।
यदि हम अक्षर A से पांच सौ रूबल की जीत दर्शाते हैं, तो A प्राप्त करने की संभावना 0.001 होगी। हमें यह कैसे मिला? आपको बस "भाग्यशाली" टिकटों की संख्या को उनकी कुल संख्या (इस मामले में: 1/1000) से विभाजित करने की आवश्यकता है।
बी एक सौ रूबल की जीत है, संभावना 0.01 होगी। अब हमने उसी सिद्धांत के अनुसार काम किया जैसा कि पिछली कार्रवाई (10/1000) में किया गया था
सी - जीत बीस रूबल के बराबर है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए, यह 0.05 के बराबर है।
बाकी टिकटों में हमारी कोई दिलचस्पी नहीं है, क्योंकि उनकी पुरस्कार राशि शर्त में निर्दिष्ट राशि से कम है। आइए चौथे स्वयंसिद्ध को लागू करें: कम से कम बीस रूबल जीतने की संभावना P(A)+P(B)+P(C) है। अक्षर P इस घटना के घटित होने की संभावना को दर्शाता है, हम उन्हें पिछले चरणों में पहले ही पा चुके हैं। यह केवल आवश्यक डेटा जोड़ने के लिए रहता है, उत्तर में हमें 0, 061 मिलता है। यह संख्या असाइनमेंट के प्रश्न का उत्तर होगी।
कार्ड डेक
संभाव्यता सिद्धांत की समस्याएं अधिक जटिल हो सकती हैं, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित कार्य करें। आपके सामने छत्तीस कार्डों का एक डेक है। आपका काम ढेर को मिलाए बिना एक पंक्ति में दो पत्ते बनाना है, पहला और दूसरा पत्ता इक्के होना चाहिए, सूट कोई मायने नहीं रखता।
पहले, पहले कार्ड के इक्का होने की प्रायिकता ज्ञात करते हैं, इसके लिए हम चार को छत्तीस से भाग देते हैं। उन्होंने इसे एक तरफ रख दिया। हम दूसरा कार्ड निकालते हैं, यह तीन पैंतीसवें हिस्से की संभावना वाला इक्का होगा। दूसरी घटना की प्रायिकता इस बात पर निर्भर करती है कि हमने पहले कौन सा कार्ड खींचा, हम इसमें रुचि रखते हैंइक्का था या नहीं। यह इस प्रकार है कि घटना बी घटना ए पर निर्भर करती है।
अगला कदम एक साथ कार्यान्वयन की संभावना का पता लगाना है, अर्थात, हम ए और बी को गुणा करते हैं। उनका उत्पाद निम्नानुसार पाया जाता है: एक घटना की संभावना दूसरे की सशर्त संभावना से गुणा की जाती है, जिसकी हम गणना करते हैं, यह मानते हुए कि पहली घटना हुई, यानी पहले कार्ड से हमने एक इक्का निकाला।
सब कुछ स्पष्ट करने के लिए, आइए ऐसे तत्व को किसी घटना की सशर्त संभावना के रूप में एक पदनाम दें। यह मानते हुए गणना की जाती है कि घटना ए हुई है। निम्नानुसार परिकलित: P(B/A).
हमारी समस्या का समाधान जारी रखें: P(AB)=P(A)P(B/A) या P (एबी)=पी(बी)पी(ए/बी)। प्रायिकता है (4/36)((3/35)/(4/36)। सौवें तक पूर्णांकित करके परिकलित करें। हमारे पास है: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. हमारे द्वारा एक पंक्ति में दो इक्के लगाने की प्रायिकता नौ सौवां है. मान बहुत छोटा है, यह इस प्रकार है कि घटना के घटित होने की संभावना बहुत कम है।
भूल गए नंबर
हम संभाव्यता सिद्धांत द्वारा अध्ययन किए जाने वाले कार्यों के लिए कुछ और विकल्पों का विश्लेषण करने का प्रस्ताव करते हैं। आप इस लेख में उनमें से कुछ को हल करने के उदाहरण पहले ही देख चुके हैं, आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने का प्रयास करें: लड़का अपने दोस्त के फोन नंबर का अंतिम अंक भूल गया, लेकिन चूंकि कॉल बहुत महत्वपूर्ण थी, उसने बारी-बारी से सब कुछ डायल करना शुरू कर दिया। हमें इस संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि वह तीन बार से अधिक कॉल नहीं करेगा। समस्या का समाधान सबसे सरल है यदि संभाव्यता सिद्धांत के नियम, कानून और स्वयंसिद्ध ज्ञात हैं।
देखने से पहलेसमाधान, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें। हम जानते हैं कि अंतिम अंक शून्य से नौ तक हो सकता है, यानी कुल दस मान होते हैं। सही पाने की प्रायिकता 1/10 है।
अगला, हमें घटना की उत्पत्ति के विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है, मान लीजिए कि लड़के ने सही अनुमान लगाया और तुरंत सही स्कोर किया, ऐसी घटना की संभावना 1/10 है। दूसरा विकल्प: पहला कॉल मिस है, और दूसरा निशाने पर है। हम ऐसी घटना की संभावना की गणना करते हैं: 9/10 को 1/9 से गुणा करें, परिणामस्वरूप हमें 1/10 भी मिलता है। तीसरा विकल्प: पहली और दूसरी कॉल गलत पते पर निकलीं, तीसरे से ही लड़के को वह मिला जहां वह चाहता था। हम इस तरह की घटना की संभावना की गणना करते हैं: हम 9/10 को 8/9 से गुणा करते हैं और 1/8 से हमें परिणाम के रूप में 1/10 मिलता है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हमें अन्य विकल्पों में कोई दिलचस्पी नहीं है, इसलिए यह हमारे लिए परिणाम जोड़ने के लिए रहता है, परिणामस्वरूप हमारे पास 3/10 है। उत्तर: लड़के द्वारा तीन बार से अधिक कॉल न करने की प्रायिकता 0.3 है।
नंबर वाले कार्ड
आपके सामने नौ कार्ड हैं, जिनमें से प्रत्येक पर एक से नौ तक की संख्या लिखी हुई है, संख्याएँ दोहराई नहीं जाती हैं। उन्हें एक बॉक्स में रखा गया और अच्छी तरह मिलाया गया। आपको इस संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि
- एक सम संख्या आएगी;
- दो अंकों का।
समाधान के लिए आगे बढ़ने से पहले, मान लें कि m सफल मामलों की संख्या है, और n विकल्पों की कुल संख्या है। संख्या के सम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। यह गणना करना मुश्किल नहीं होगा कि चार सम संख्याएं हैं, यह हमारा एम होगा, कुल नौ विकल्प हैं, यानी एम=9। तब प्रायिकता0, 44, या 4/9 के बराबर है।
दूसरे मामले पर विचार करें: विकल्पों की संख्या नौ है, और कोई भी सफल परिणाम बिल्कुल भी नहीं हो सकता है, यानी एम शून्य के बराबर है। निकाले गए कार्ड में दो अंकों की संख्या होने की प्रायिकता भी शून्य है।
