बर्ट्रेंड का विरोधाभास संभाव्यता सिद्धांत की शास्त्रीय व्याख्या में एक समस्या है। जोसेफ ने इसे अपने काम कैलकुल डेस प्रोबेबिलिटेस (1889) में एक उदाहरण के रूप में पेश किया कि यदि कोई तंत्र या विधि एक यादृच्छिक चर उत्पन्न करती है तो संभावनाओं को अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है।
समस्या वक्तव्य
बर्ट्रेंड का विरोधाभास इस प्रकार है।
सबसे पहले, एक वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज पर विचार करें। इस मामले में, व्यास को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह त्रिभुज की भुजा से लंबा है?
बर्ट्रेंड ने तीन तर्क दिए, जो सभी सही प्रतीत होते हैं, लेकिन अलग-अलग परिणाम देते हैं।
यादृच्छिक समापन बिंदु विधि
आपको वृत्त पर दो स्थानों का चयन करना होगा और उन्हें जोड़ने वाला एक चाप बनाना होगा। गणना के लिए, बर्ट्रेंड की संभाव्यता विरोधाभास पर विचार किया जाता है। यह कल्पना करना आवश्यक है कि त्रिभुज को घुमाया जाता है ताकि उसका शीर्ष जीवा के किसी एक अंतिम बिंदु के साथ मेल खाता हो। भुगतान के लायकध्यान दें कि यदि दूसरा भाग दो स्थानों के बीच चाप पर है, तो वृत्त त्रिभुज की भुजा से लंबा है। चाप की लंबाई वृत्त का एक तिहाई है, इसलिए एक यादृच्छिक जीवा के लंबे होने की प्रायिकता 1/3 है।
चयन विधि
वृत्त की त्रिज्या और उस पर एक बिंदु का चयन करना आवश्यक है। उसके बाद, आपको इस जगह के माध्यम से व्यास के लंबवत एक तार बनाने की जरूरत है। संभाव्यता सिद्धांत के बर्ट्रेंड के विरोधाभास की गणना करने के लिए, किसी को कल्पना करनी चाहिए कि त्रिभुज को घुमाया जाता है ताकि पक्ष त्रिज्या के लंबवत हो। यदि चयनित बिंदु वृत्त के केंद्र के करीब है, तो जीवा पैर से लंबी होती है। और इस स्थिति में, त्रिभुज की भुजा त्रिज्या को समद्विभाजित करती है। इसलिए, जीवा के उत्कीर्ण आकृति की भुजा से लंबी होने की प्रायिकता 1/2 है।
यादृच्छिक तार
मध्यबिंदु विधि। सर्कल पर एक जगह चुनना और दिए गए मध्य के साथ एक राग बनाना आवश्यक है। अक्ष उत्कीर्ण त्रिभुज के किनारे से अधिक लंबा है, यदि चयनित स्थान 1/2 त्रिज्या के एक संकेंद्रित वृत्त के भीतर है। छोटे वृत्त का क्षेत्रफल बड़ी आकृति का एक चौथाई है। इसलिए, एक यादृच्छिक जीवा की प्रायिकता उत्कीर्ण त्रिभुज की भुजा से लंबी होती है और 1/4 के बराबर होती है।
जैसा कि ऊपर प्रस्तुत किया गया है, चयन के तरीके अलग-अलग जीवाओं को दिए गए वजन में भिन्न होते हैं, जो व्यास हैं। विधि 1 में, प्रत्येक जीवा को ठीक एक तरह से चुना जा सकता है, चाहे वह व्यास हो या नहीं।
विधि 2 में, प्रत्येक सीधी रेखा को दो तरीकों से चुना जा सकता है। जबकि कोई अन्य राग चुना जाएगासंभावनाओं में से केवल एक।
विधि 3 में, प्रत्येक मध्यबिंदु चयन में एक ही पैरामीटर होता है। वृत्त के केंद्र को छोड़कर, जो सभी व्यासों का मध्यबिंदु है। परिणामी संभावनाओं को प्रभावित किए बिना मापदंडों को बाहर करने के लिए सभी प्रश्नों को "आदेश" देकर इन समस्याओं से बचा जा सकता है।
चुनने के तरीकों को इस प्रकार भी देखा जा सकता है। एक जीवा जो व्यास नहीं है, उसके मध्य बिंदु द्वारा विशिष्ट रूप से पहचानी जाती है। ऊपर प्रस्तुत तीन चयन विधियों में से प्रत्येक मध्य का एक अलग वितरण उत्पन्न करता है। और विकल्प 1 और 2 दो अलग-अलग गैर-समान विभाजन प्रदान करते हैं, जबकि विधि 3 एक समान वितरण देता है।
बर्ट्रेंड की समस्या को हल करने का क्लासिक विरोधाभास उस विधि पर निर्भर करता है जिसके द्वारा कॉर्ड को "यादृच्छिक" चुना जाता है। यह पता चला है कि यदि यादृच्छिक चयन की एक विधि पहले से निर्दिष्ट है, तो समस्या का एक अच्छी तरह से परिभाषित समाधान है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक व्यक्तिगत विधि में जीवाओं का अपना वितरण होता है। बर्ट्रेंड द्वारा दिखाए गए तीन नियम चयन के विभिन्न तरीकों से मेल खाते हैं और, अधिक जानकारी के अभाव में, एक को दूसरे के पक्ष में करने का कोई कारण नहीं है। तदनुसार, बताई गई समस्या का एक भी समाधान नहीं है।
एक सामान्य उत्तर को अद्वितीय बनाने का एक उदाहरण यह निर्दिष्ट करना है कि जीवा के अंतिम बिंदु समान रूप से 0 और c के बीच हैं, जहाँ c वृत्त की परिधि है। यह बंटन बर्ट्रेंड के पहले तर्क के समान है और परिणामी अद्वितीय प्रायिकता 1/3 होगी।
यह बर्ट्रेंड रसेल विरोधाभास और शास्त्रीय की अन्य विशिष्टताएँसंभावना की व्याख्या अधिक कठोर योगों को सही ठहराती है। संभाव्यता आवृत्ति और विषयवादी बायेसियन सिद्धांत सहित।
बर्ट्रेंड के विरोधाभास में क्या निहित है
अपने 1973 के लेख "द वेल-पोज़्ड प्रॉब्लम" में, एडविन जेनेस ने अपना अनूठा समाधान पेश किया। उन्होंने कहा कि बर्ट्रेंड का विरोधाभास "अधिकतम अज्ञानता" के सिद्धांत पर आधारित एक आधार पर आधारित है। इसका मतलब है कि आपको ऐसी किसी भी जानकारी का उपयोग नहीं करना चाहिए जो समस्या विवरण में प्रदान नहीं की गई है। जेनेस ने बताया कि बर्ट्रेंड की समस्या सर्कल की स्थिति या आकार को निर्धारित नहीं करती है। और तर्क दिया कि इसलिए कोई भी निश्चित और वस्तुनिष्ठ निर्णय आकार और स्थिति के प्रति "उदासीन" होना चाहिए।
उदाहरण के लिए
यह मानते हुए कि सभी जीवाओं को 2 सेमी के घेरे पर बेतरतीब ढंग से रखा गया है, अब आपको दूर से उस पर तिनके फेंकने की जरूरत है।
फिर आपको एक छोटे व्यास (उदाहरण के लिए, 1 सेंटीमीटर) के साथ एक और सर्कल लेने की जरूरत है, जो एक बड़ी आकृति में फिट बैठता है। तब इस छोटे वृत्त पर जीवाओं का वितरण वही होना चाहिए जो अधिकतम पर होता है। यदि दूसरा आंकड़ा भी पहले के अंदर चलता है, तो संभावना, सिद्धांत रूप में, नहीं बदलनी चाहिए। यह देखना बहुत आसान है कि विधि 3 के लिए निम्नलिखित परिवर्तन होंगे: छोटे लाल वृत्त पर जीवाओं का वितरण बड़े वृत्त पर वितरण से गुणात्मक रूप से भिन्न होगा।
विधि 1 के लिए भी ऐसा ही होता है। हालांकि ग्राफिकल दृश्य में इसे देखना कठिन है।
विधि 2 ही एक हैजो एक पैमाना और अनुवाद अपरिवर्तनीय दोनों साबित होता है।
विधि संख्या 3 सरलता से एक्स्टेंसिबल प्रतीत होती है।
विधि 1 न तो है।
हालाँकि, जेन्स ने इन तरीकों को स्वीकार या अस्वीकार करने के लिए इनवेरिएंट्स का आसानी से उपयोग नहीं किया। यह इस संभावना को छोड़ देगा कि एक और अघोषित विधि है जो उचित अर्थ के अपने पहलुओं को फिट करेगी। जेनेस ने इनवेरिएंस का वर्णन करते हुए अभिन्न समीकरणों को लागू किया। संभाव्यता वितरण को सीधे निर्धारित करने के लिए। उनकी समस्या में, इंटीग्रल इक्वेशन का वास्तव में एक अनूठा समाधान होता है, और यह वही है जिसे ऊपर दूसरी रैंडम रेडियस मेथड कहा जाता था।
2015 के एक पेपर में, एलोन ड्रोरी का तर्क है कि जेनेस का सिद्धांत दो अन्य बर्ट्रेंड समाधान भी उत्पन्न कर सकता है। लेखक ने आश्वासन दिया है कि इनवेरिएंस के उपरोक्त गुणों का गणितीय कार्यान्वयन अद्वितीय नहीं है, लेकिन मूल यादृच्छिक चयन प्रक्रिया पर निर्भर करता है जिसे एक व्यक्ति उपयोग करने का निर्णय लेता है। वह दिखाता है कि तीन बर्ट्रेंड समाधानों में से प्रत्येक को घूर्णी, स्केलिंग और ट्रांसलेशनल इनवेरिएंस का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। साथ ही, यह निष्कर्ष निकालते हुए कि जेनेस सिद्धांत उतनी ही व्याख्या के अधीन है जितना कि उदासीनता का तरीका।
शारीरिक प्रयोग
विधि 2 एकमात्र समाधान है जो परिवर्तन अपरिवर्तनीयों को संतुष्ट करता है जो विशिष्ट शारीरिक अवधारणाओं जैसे सांख्यिकीय यांत्रिकी और गैस संरचना में मौजूद हैं। प्रस्तावित में भीएक छोटे से गोले से तिनके फेंकने का जेन्स का प्रयोग।
हालांकि, अन्य व्यावहारिक प्रयोग तैयार किए जा सकते हैं जो अन्य तरीकों के अनुसार उत्तर प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, पहले यादृच्छिक समापन बिंदु विधि के समाधान पर पहुंचने के लिए, आप क्षेत्र के केंद्र में एक काउंटर संलग्न कर सकते हैं। और दो स्वतंत्र घुमावों के परिणामों को जीवा के अंतिम स्थानों को उजागर करने दें। तीसरी विधि के समाधान पर पहुंचने के लिए, उदाहरण के लिए, सर्कल को गुड़ के साथ कवर किया जा सकता है, और पहले बिंदु को चिह्नित कर सकते हैं जिस पर मक्खी मध्य तार के रूप में उतरती है। कई विचारकों ने अलग-अलग निष्कर्ष निकालने के लिए अध्ययन तैयार किए हैं और परिणामों की आनुभविक रूप से पुष्टि की है।
नवीनतम घटनाएँ
अपने 2007 के लेख "द बर्ट्रेंड पैराडॉक्स एंड द इंडिफरेंस प्रिंसिपल" में, निकोलस शेकेल का तर्क है कि एक सदी से भी अधिक समय बाद, समस्या अभी भी अनसुलझी है। वह उदासीनता के सिद्धांत का खंडन करती है। इसके अलावा, अपने 2013 के पेपर में, "द बर्ट्रेंड रसेल पैराडॉक्स रिविजिटेड: व्हाई ऑल सॉल्यूशंस आर नॉट प्रैक्टिकल," डैरेल आर। रोबोटॉम ने दिखाया कि सभी प्रस्तावित फैसलों का उनके अपने प्रश्न से कोई लेना-देना नहीं है। तो यह पता चला कि पहले के विचार से विरोधाभास को हल करना अधिक कठिन होगा।
शैकेल इस बात पर जोर देते हैं कि अब तक कई वैज्ञानिकों और विज्ञान से दूर लोगों ने बर्ट्रेंड के विरोधाभास को सुलझाने की कोशिश की है। यह अभी भी दो अलग-अलग तरीकों की मदद से दूर किया जाता है।
उनमें गैर-समकक्ष समस्याओं के बीच का अंतर माना जाता था, और जिनमें समस्या को हमेशा सही माना जाता था। शेकेल ने अपनी किताबों में लुई को उद्धृत कियामारिनॉफ (भेदभाव की रणनीति के एक विशिष्ट प्रतिपादक के रूप में) और एडविन जेनेस (एक सुविचारित सिद्धांत के लेखक के रूप में)।
हालाँकि, अपने हाल के काम में एक जटिल समस्या का समाधान, डिडेरिक एर्ट्स और मासिमिलियानो सासोली डी बियांची का मानना है कि बर्ट्रेंड विरोधाभास को हल करने के लिए, मिश्रित रणनीति में परिसर की तलाश की जानी चाहिए। इन लेखकों के अनुसार, पहला कदम इकाई की प्रकृति को यादृच्छिक रूप से स्पष्ट रूप से बताकर समस्या को ठीक करना है। और ऐसा करने के बाद ही किसी भी समस्या को सही माना जा सकता है। जेन्स यही सोचते हैं।
तो इसे हल करने के लिए अधिकतम अज्ञानता के सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। इसके लिए, और चूंकि समस्या यह निर्दिष्ट नहीं करती है कि एक राग को कैसे चुना जाना चाहिए, इस सिद्धांत को विभिन्न संभावनाओं के स्तर पर नहीं, बल्कि बहुत गहरे स्तर पर लागू किया जाता है।
भागों का चयन
समस्या के इस भाग के लिए सभी संभावित तरीकों पर एक मेटा-औसत की गणना की आवश्यकता होती है, जिसे लेखक सार्वभौमिक माध्य कहते हैं। इससे निपटने के लिए, वे विवेकीकरण विधि का उपयोग करते हैं। वीनर प्रक्रियाओं में संभाव्यता के नियम को परिभाषित करने में क्या किया जा रहा है, इससे प्रेरित होकर। उनका परिणाम जेनेस के संख्यात्मक परिणाम के अनुरूप है, हालांकि उनकी अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई समस्या मूल लेखक की समस्या से भिन्न है।
अर्थशास्त्र और वाणिज्य में, बर्ट्रेंड विरोधाभास, इसके निर्माता जोसेफ बर्ट्रेंड के नाम पर, एक ऐसी स्थिति का वर्णन करता है जिसमें दो खिलाड़ी (फर्म) नैश संतुलन तक पहुंचते हैं। जब दोनों फर्में सीमांत लागत के बराबर मूल्य निर्धारित करती हैं(एमएस)।
बर्ट्रेंड का विरोधाभास एक आधार पर आधारित है। यह इस तथ्य में निहित है कि कोर्टनॉट प्रतियोगिता जैसे मॉडलों में, फर्मों की संख्या में वृद्धि मामूली लागत के साथ कीमतों के अभिसरण से जुड़ी होती है। इन वैकल्पिक मॉडलों में, बर्ट्रेंड का विरोधाभास कम संख्या में फर्मों के एकाधिकार में है, जो लागत से अधिक कीमत वसूल कर सकारात्मक लाभ अर्जित करती हैं।
शुरू करने के लिए, यह मानने योग्य है कि दो फर्म ए और बी एक सजातीय उत्पाद बेचते हैं, जिनमें से प्रत्येक की उत्पादन और वितरण की लागत समान होती है। यह इस प्रकार है कि खरीदार केवल कीमत के आधार पर उत्पाद चुनते हैं। इसका मतलब यह है कि मांग असीमित कीमत लोचदार है। न तो ए और न ही बी दूसरों की तुलना में अधिक कीमत निर्धारित करेंगे, क्योंकि इससे पूरे बर्ट्रेंड विरोधाभास का पतन हो जाएगा। बाजार सहभागियों में से एक अपने प्रतिद्वंद्वी के सामने झुक जाएगा। यदि वे समान मूल्य निर्धारित करते हैं, तो कंपनियां लाभ साझा करेंगी।
दूसरी ओर, यदि कोई फर्म अपनी कीमत को थोड़ा भी कम करती है, तो उसे पूरा बाजार मिलेगा और काफी अधिक रिटर्न मिलेगा। चूंकि ए और बी यह जानते हैं, वे प्रत्येक प्रतियोगी को तब तक कम करने की कोशिश करेंगे जब तक कि उत्पाद शून्य आर्थिक लाभ के लिए नहीं बेचता।
हाल के काम से पता चला है कि बर्ट्रेंड की मिश्रित रणनीति विरोधाभास में सकारात्मक आर्थिक लाभ के साथ एक अतिरिक्त संतुलन हो सकता है, बशर्ते कि एकाधिकार राशि अनंत हो। अंतिम लाभ के मामले में, यह दिखाया गया था कि मिश्रित संतुलन में मूल्य प्रतिस्पर्धा के तहत सकारात्मक वृद्धि असंभव है और यहां तक कि अधिक सामान्य मामले में भीसहसंबद्ध प्रणाली।
वास्तव में, अर्थशास्त्र में बर्ट्रेंड का विरोधाभास शायद ही कभी व्यवहार में देखा जाता है, क्योंकि वास्तविक उत्पादों को कीमत के अलावा लगभग हमेशा किसी न किसी तरह से विभेदित किया जाता है (उदाहरण के लिए, एक लेबल के लिए अधिक भुगतान)। फर्मों के उत्पादन और वितरण की उनकी क्षमता की सीमा होती है। यही कारण है कि दो व्यवसायों की लागत विरले ही समान होती है।
बर्ट्रेंड का परिणाम विरोधाभासी है क्योंकि यदि फर्मों की संख्या एक से दो तक बढ़ जाती है, तो कीमत एकाधिकार से प्रतिस्पर्धी हो जाती है और उसी स्तर पर बनी रहती है जैसे उसके बाद बढ़ने वाली फर्मों की संख्या। यह बहुत यथार्थवादी नहीं है, क्योंकि वास्तव में, बाजार शक्ति वाली कुछ फर्मों वाले बाजार सीमांत लागत से अधिक कीमत वसूलते हैं। अनुभवजन्य विश्लेषण से पता चलता है कि दो प्रतिस्पर्धियों वाले अधिकांश उद्योग सकारात्मक लाभ उत्पन्न करते हैं।
आधुनिक दुनिया में, वैज्ञानिक उस विरोधाभास का समाधान खोजने की कोशिश कर रहे हैं जो प्रतिस्पर्धा के कोर्टनोट मॉडल के साथ अधिक संगत है। जहां एक बाजार में दो फर्म सकारात्मक लाभ कमा रही हैं जो कहीं पूरी तरह से प्रतिस्पर्धी और एकाधिकार स्तरों के बीच हैं।
कुछ कारण क्यों बर्ट्रेंड का विरोधाभास सीधे अर्थशास्त्र से संबंधित नहीं है:
- क्षमता सीमा। कभी-कभी फर्मों के पास सभी मांगों को पूरा करने की पर्याप्त क्षमता नहीं होती है। इस बिंदु को सबसे पहले फ्रांसिस एडगेवर्थ ने उठाया और बर्ट्रेंड-एजवर्थ मॉडल को जन्म दिया।
- पूर्णांक मूल्य। एमसी से ऊपर की कीमतों को बाहर रखा गया है क्योंकि एक फर्म यादृच्छिक रूप से दूसरे को कम कर सकती है।एक छोटी राशि। यदि कीमतें असतत हैं (उदाहरण के लिए, उन्हें पूर्णांक मान लेना चाहिए), तो एक फर्म को कम से कम एक रूबल से दूसरे को कम करना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि छोटी मुद्रा का मूल्य एमसी से अधिक है। यदि कोई अन्य फर्म इसके लिए अधिक कीमत निर्धारित करती है, तो दूसरी फर्म इसे कम कर सकती है और पूरे बाजार पर कब्जा कर सकती है, बर्ट्रेंड का विरोधाभास ठीक इसी में है। इससे उसे कोई लाभ नहीं होगा। यह व्यवसाय किसी अन्य फर्म के साथ बिक्री 50/50 साझा करना पसंद करेगा और विशुद्ध रूप से सकारात्मक राजस्व प्राप्त करेगा।
- उत्पाद भेदभाव। यदि विभिन्न फर्मों के उत्पाद एक-दूसरे से भिन्न होते हैं, तो उपभोक्ता कम कीमत वाले उत्पादों पर पूरी तरह से स्विच नहीं कर सकते हैं।
- गतिशील प्रतियोगिता। बार-बार बातचीत या बार-बार मूल्य प्रतिस्पर्धा से मूल्य का संतुलन हो सकता है।
- अधिक राशि के लिए अधिक आइटम। यह बार-बार बातचीत से होता है। यदि एक कंपनी अपनी कीमत थोड़ी अधिक निर्धारित करती है, तो उसे अभी भी लगभग उतनी ही खरीद मिलेगी, लेकिन प्रति आइटम अधिक लाभ होगा। इसलिए, दूसरी कंपनी अपने मार्कअप आदि को बढ़ाएगी। (केवल रिप्ले में, नहीं तो डायनामिक्स दूसरी दिशा में चला जाता है)।
अल्पाधिकार
यदि दो कंपनियां एक कीमत पर सहमत हो सकती हैं, तो समझौते को बनाए रखना उनके दीर्घकालिक हित में है: मूल्य में कमी राजस्व समझौते के अनुपालन से राजस्व के दोगुने से कम है और केवल तब तक रहता है जब तक कि दूसरी फर्म अपनी कटौती नहीं कर लेती खुद की कीमतें।
सिद्धांतप्रायिकता (बाकी गणित की तरह) वास्तव में एक हालिया आविष्कार है। और विकास सुचारू नहीं रहा है। प्रायिकता के कलन को औपचारिक रूप देने का पहला प्रयास मार्क्विस डी लाप्लास द्वारा किया गया था, जिन्होंने इस अवधारणा को एक परिणाम की ओर ले जाने वाली घटनाओं की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित करने का प्रस्ताव रखा था।
यह, ज़ाहिर है, केवल तभी समझ में आता है जब सभी संभावित घटनाओं की संख्या सीमित हो। और इसके अलावा, सभी घटनाओं की समान रूप से संभावना है।
इस प्रकार, उस समय, इन अवधारणाओं का कोई ठोस आधार नहीं था। घटनाओं की अनंत संख्या के मामले में परिभाषा का विस्तार करने के प्रयासों ने और भी अधिक कठिनाइयों को जन्म दिया है। बर्ट्रेंड का विरोधाभास एक ऐसी खोज है जिसने गणितज्ञों को प्रायिकता की पूरी अवधारणा से सावधान कर दिया है।
