गणित में, मॉड्यूलर अंकगणित पूर्णांकों के लिए एक गणना प्रणाली है, जिसकी मदद से वे एक निश्चित मूल्य - मॉड्यूल (या उनमें से बहुवचन) तक पहुंचने पर "ओवर ओवर" करते हैं। इस तरह के विज्ञान के लिए आधुनिक दृष्टिकोण कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा 1801 में प्रकाशित अपनी डिस्क्विजिशन्स अरिथमेटिका में विकसित किया गया था। कंप्यूटर वैज्ञानिक इस पद्धति का उपयोग करने के बहुत शौकीन हैं, क्योंकि यह बहुत दिलचस्प है और संख्याओं के साथ संचालन में कुछ नई संभावनाएं खोलता है।
सार
चूंकि घंटों की संख्या 12 तक पहुंचने के बाद फिर से शुरू होती है, यह अंकगणित मॉड्यूल 12 है। नीचे दी गई परिभाषा के अनुसार, 12 न केवल 12 से मेल खाती है, बल्कि 0 से भी मेल खाती है, इसलिए कोई भी समय कहला सकता है " 12:00"। "0:00"। आखिर, 12, 0 मोडुलो 12 के समान है।
मॉड्यूलर अंकगणित को पूर्णांकों के लिए एक सर्वांगसम संबंध प्रस्तुत करके गणितीय रूप से संसाधित किया जा सकता है जो पूर्णांकों पर संचालन के साथ संगत हैसंख्याएँ: जोड़, घटाव और गुणा। एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, दो संख्याएँ a और b को सर्वांगसम मोडुलो n कहा जाता है यदि उनका अंतर a - b n का गुणज है (अर्थात, यदि कोई पूर्णांक k मौजूद है जैसे कि a - b=kn)।
कटौती
सैद्धांतिक गणित में, मॉड्यूलर अंकगणित संख्या सिद्धांत की नींव में से एक है, जो इसके अध्ययन के लगभग सभी पहलुओं को प्रभावित करता है, और इसका व्यापक रूप से समूहों, छल्ले, गांठों और अमूर्त बीजगणित के सिद्धांत में भी उपयोग किया जाता है। अनुप्रयुक्त गणित के क्षेत्र में, इसका उपयोग कंप्यूटर बीजगणित, क्रिप्टोग्राफी, कंप्यूटर विज्ञान, रसायन विज्ञान, दृश्य कला और संगीत में किया जाता है।
अभ्यास
एक बहुत ही व्यावहारिक अनुप्रयोग सीरियल नंबर पहचानकर्ताओं में चेकसम की गणना है। उदाहरण के लिए, कुछ सामान्य पुस्तक मानक अंकगणितीय मॉड्यूल 11 (यदि 1 जनवरी 2007 से पहले जारी किए गए हैं) या मॉड्यूल 10 (यदि 1 जनवरी 2007 से पहले या बाद में जारी किए गए हैं) का उपयोग करते हैं। इसी तरह, उदाहरण के लिए, अंतर्राष्ट्रीय बैंक खाता संख्या (आईबीएएन) में। यह बैंक खाता संख्या में उपयोगकर्ता इनपुट त्रुटियों का पता लगाने के लिए मॉड्यूल 97 अंकगणित का उपयोग करता है।
रसायन विज्ञान में, CAS पंजीकरण संख्या (प्रत्येक रासायनिक यौगिक के लिए विशिष्ट पहचान संख्या) का अंतिम अंक चेक अंक होता है। इसकी गणना सीएएस पंजीकरण संख्या के पहले दो भागों के अंतिम अंक को 1 से गुणा करके, पिछले अंक को 2 बार, पिछले अंक को 3 बार, आदि से गुणा करके की जाती है, इसे सभी को जोड़कर और योग मॉड्यूलो की गणना 10.
क्रिप्टोग्राफी क्या है? तथ्य यह है किचर्चा के विषय के साथ इसका बहुत गहरा संबंध है। क्रिप्टोग्राफी में, मॉड्यूलर अंकगणित के नियम सीधे सार्वजनिक-कुंजी प्रणालियों जैसे आरएसए और डिफी-हेलमैन के अंतर्गत आते हैं। यहाँ यह परिमित क्षेत्र प्रदान करता है जो अण्डाकार वक्रों को रेखांकित करता है। उन्नत एन्क्रिप्शन मानक (एईएस), अंतर्राष्ट्रीय डेटा एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम, और आरसी4 सहित विभिन्न सममित कुंजी एल्गोरिदम में प्रयुक्त।
आवेदन
इस पद्धति का उपयोग उन क्षेत्रों में किया जाता है जहाँ आपको संख्याएँ पढ़ने की आवश्यकता होती है। यह गणितज्ञों द्वारा विकसित किया गया था, और हर कोई इसका उपयोग करता है, खासकर कंप्यूटर वैज्ञानिक। यह डमी के लिए मॉड्यूलर अंकगणित जैसी किताबों में अच्छी तरह से प्रलेखित है। हालांकि, कई विशेषज्ञ ऐसे साहित्य को गंभीरता से नहीं लेने की सलाह देते हैं।
कंप्यूटर विज्ञान में, मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग अक्सर बिटवाइज़ और निश्चित-चौड़ाई वाले सर्कुलर डेटा संरचनाओं से जुड़े अन्य कार्यों में किया जाता है। विश्लेषक इसका इस्तेमाल करना पसंद करते हैं। मोडुलो ऑपरेशन कई प्रोग्रामिंग भाषाओं और कैलकुलेटर में लागू किया गया है। इस मामले में, यह इस तरह के एक आवेदन का एक उदाहरण है। प्रोग्रामिंग में मोडुलो तुलना, शेष के साथ विभाजन, और अन्य ट्रिक्स का भी उपयोग किया जाता है।
संगीत में, अंकगणितीय मोडुलो 12 का उपयोग बारह स्वरों के समान स्वभाव की प्रणाली पर विचार करते समय किया जाता है, जिसमें सप्तक और एन्हार्मोनिक समान होते हैं। दूसरे शब्दों में, 1-2 या 2-1 के अनुपात में कुंजियाँ समतुल्य हैं। संगीत और अन्य मानविकी में, अंकगणित एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, लेकिन पाठ्यपुस्तकों मेंकंप्यूटर वैज्ञानिक आमतौर पर इसके बारे में नहीं लिखते हैं।
नाइन कम करने की विधि
9s रूपांतरण विधि मैन्युअल दशमलव अंकगणितीय गणनाओं की त्वरित जांच प्रदान करती है। यह मॉड्यूलर अंकगणितीय मॉड्यूल 9 और विशेष रूप से निर्णायक संपत्ति 10 10 1 पर आधारित है।
और भी उदाहरण हैं। अंकगणित मॉड्यूल 7 का उपयोग एल्गोरिदम में किया जाता है जो किसी विशेष तिथि के लिए सप्ताह का दिन निर्धारित करता है। विशेष रूप से, ज़ेलर की सर्वांगसमता और डूम्सडे एल्गोरिथम अंकगणितीय मोडुलो का भारी उपयोग करते हैं 7.
अन्य एप्लिकेशन
क्रिप्टोग्राफी में मॉड्यूलर अंकगणित के बारे में पहले ही कहा जा चुका है। इस क्षेत्र में, वह बस अपूरणीय है। आम तौर पर, मॉड्यूलर अंकगणित कानून, अर्थशास्त्र (जैसे गेम थ्योरी) और सामाजिक विज्ञान के अन्य क्षेत्रों जैसे विषयों में भी आवेदन पाता है। दूसरे शब्दों में, जहाँ आनुपातिक विभाजन और संसाधनों का वितरण एक प्रमुख भूमिका निभाता है।
चूंकि मॉड्यूलर अंकगणित में उपयोग की इतनी विस्तृत श्रृंखला है, इसलिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि तुलना की प्रणाली को हल करना कितना मुश्किल है। सर्वांगसमता की एक रैखिक प्रणाली को बहुपद समय में गाऊसी विलोपन के रूप में हल किया जा सकता है। इसे रैखिक सर्वांगसमता प्रमेय द्वारा अधिक विस्तार से वर्णित किया गया है। सरल अंकगणितीय संचालन को कुशलतापूर्वक करने की अनुमति देने के लिए मोंटगोमरी कमी जैसे एल्गोरिदम भी मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, बड़ी संख्या के लिए गुणन और घातांक मोडुलो n। क्या है इसे समझने के लिए यह जानना बहुत जरूरी हैक्रिप्टोग्राफी। आखिरकार, यह समान संचालन के साथ काम करता है।
संगति
कुछ ऑपरेशन, जैसे कि असतत लघुगणक या द्विघात सर्वांगसमता का पता लगाना, पूर्णांक गुणनखंड के रूप में जटिल लगता है और इस प्रकार क्रिप्टोग्राफ़िक एल्गोरिदम और एन्क्रिप्शन के लिए शुरुआती बिंदु हैं। ये समस्याएं एनपी-मध्यवर्ती हो सकती हैं।
उदाहरण
निम्नलिखित तीन काफी तेज़ C फ़ंक्शन हैं - दो मॉड्यूलर गुणन करने के लिए और एक अहस्ताक्षरित पूर्णांकों के लिए 63 बिट तक मॉड्यूलर संख्या बढ़ाने के लिए, बिना क्षणिक अतिप्रवाह के।
पूर्णांक (1, 2, 3, 4, 5…) की खोज के कुछ ही समय बाद यह स्पष्ट हो जाता है कि वे दो समूहों में विभाजित हैं:
- सम: 2 से विभाज्य (0, 2, 4, 6..).
- विषम: 2 से विभाज्य नहीं (1, 3, 5, 7…).
यह भेद क्यों महत्वपूर्ण है? यह अमूर्तन की शुरुआत है। हम संख्या के गुणों को देखते हैं (जैसे, सम या विषम) और न केवल स्वयं संख्या ("37")।
यह हमें गणित को गहरे स्तर पर तलाशने और विशिष्ट प्रकार के बजाय संख्या प्रकारों के बीच संबंध खोजने की अनुमति देता है।
एक संख्या के गुण
एक "तीन" होना एक संख्या का एक और गुण है। हो सकता है कि तुरंत/विषम के रूप में उपयोगी न हो, लेकिन यह वहां है। हम "तेरह x तीन शिरा=तेरह" आदि जैसे नियम बना सकते हैं। लेकिन यह पागल है। हम हर समय नए शब्द नहीं बना सकते।
मोडुलो ऑपरेशन (कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में संक्षिप्त मोड या "%") शेष है जबविभाजन। उदाहरण के लिए, "5 मॉड 3=2", जिसका अर्थ है कि जब आप 5 को 3 से विभाजित करते हैं तो 2 शेष बचता है।
दैनिक शब्दों को गणित में परिवर्तित करते समय, एक "सम संख्या" होती है, जहां यह "0 mod 2" होती है, जिसका अर्थ है कि शेष 0 है जब 2 से विभाजित किया जाता है। एक विषम संख्या "1 mod 2" होती है (इसमें शेष रहता है) 1 का)।
सम और विषम संख्याएं
सम x सम x विषम x विषम क्या है? ठीक है, यह 0 x 0 x 1 x 1=0 है। वास्तव में, आप देख सकते हैं कि क्या किसी सम संख्या को कहीं भी गुणा किया जाता है, जहाँ पूरा परिणाम शून्य होगा।
मॉड्यूलर गणित के साथ चाल यह है कि हम पहले से ही इसका उपयोग समय को स्टोर करने के लिए कर चुके हैं - जिसे कभी-कभी "घड़ी अंकगणित" कहा जाता है।
उदाहरण के लिए: सुबह 7:00 बजे (सुबह/शाम - कोई फर्क नहीं पड़ता)। घंटे की सूई 7 घंटे में कहाँ होगी?
मॉड्यूलेशन
(7 + 7) मॉड 12=(14) मॉड 12=2 मॉड 12 [2 शेष है जब 14 को 12 से विभाजित किया जाता है। समीकरण 14 मॉड 12=2 मॉड 12 का मतलब 14 घंटे और 2 घंटे है 12 घंटे की घड़ी पर वही। वे सर्वांगसम हैं, एक ट्रिपल बराबर चिह्न द्वारा इंगित: 14 ≡ 2 मॉड 12.
एक और उदाहरण: सुबह के 8:00 बजे हैं। 25 घंटे में बड़ा हाथ कहाँ होगा?
25 से 8 जोड़ने के बजाय, आप समझ सकते हैं कि 25 घंटे सिर्फ "1 दिन + 1 घंटा" है। उत्तर सीधा है। तो, घड़ी 1 घंटे आगे - 9:00 बजे समाप्त हो जाएगी।
(8 + 25) मॉड 12 (8) मॉड 12 + (25) मॉड 12 ≡ (8) मॉड 12 + (1) मॉड 12 9 मॉड 12. आपने सहज रूप से 25 को 1 में परिवर्तित किया और इसे जोड़ा से 8.
घड़ी को सादृश्य के रूप में उपयोग करके, हम यह पता लगा सकते हैं कि क्यामॉड्यूलर अंकगणित के नियम, और वे काम करते हैं।
जोड़/घटाव
मान लें कि हमारी घड़ी में दो बार एक जैसा दिखता है ("2:00" और "14:00")। यदि हम दोनों में समान x घंटे जोड़ दें, तो क्या होता है? ठीक है, वे घड़ी पर समान राशि के लिए बदलते हैं! 2:00 + 5 घंटे 14:00 + 5 घंटे - दोनों 7:00 दिखाएंगे।
क्यों? हम केवल 2 शेषफलों में 5 जोड़ सकते हैं जो दोनों के पास हैं और वे उसी तरह आगे बढ़ते हैं। सभी सर्वांगसम संख्याओं (2 और 14) के लिए, जोड़ और घटाव का परिणाम समान होता है।
यह जानना कठिन है कि क्या गुणन वही रहता है। यदि 14 ≡ 2 (मॉड 12), क्या हम दोनों संख्याओं को गुणा करके समान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं? देखते हैं क्या होता है जब हम 3 से गुणा करते हैं।
खैर, 2:003 × 6:00। लेकिन 14:003 क्या है?
याद रखें, 14=12 + 2. तो हम कह सकते हैं
143=(12 + 2)3=(123) + (23)
पहला भाग (123) नजरअंदाज किया जा सकता है! 12 घंटे का अतिप्रवाह, जिसमें 14 घंटे होते हैं, बस खुद को कई बार दोहराता है। पर किसे परवाह है? हम वैसे भी अतिप्रवाह को अनदेखा करते हैं।
गुणा
गुणा करते समय, केवल शेष मायने रखता है, यानी 14:00 और 2:00 के लिए वही 2 घंटे। सहज रूप से, मैं इस तरह देखता हूं कि गुणा मॉड्यूलर गणित के साथ संबंध नहीं बदल रहा है (आप मॉड्यूलर संबंध के दोनों पक्षों को गुणा कर सकते हैं और एक ही परिणाम प्राप्त कर सकते हैं)।
हम इसे सहज रूप से करते हैं, लेकिन इसे एक नाम देना अच्छा है। आपके पास दोपहर 3 बजे एक फ्लाइट आ रही है। वह14 घंटे की देरी से। यह कितने बजे उतरेगा?
14 ≡ 2 मोड 12. तो, इसे 2 बजे समझें, तो विमान सुबह 5 बजे उतरेगा। समाधान सरल है: 3 + 2=5 पूर्वाह्न। यह साधारण मोडुलो ऑपरेशन की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सिद्धांत एक ही है।
