अंकगणित क्या है? मानवता ने संख्याओं का उपयोग करना और उनके साथ काम करना कब शुरू किया? संख्या, भिन्न, घटाव, जोड़ और गुणा जैसी रोजमर्रा की अवधारणाओं की जड़ें कहां जाती हैं, जिन्हें एक व्यक्ति ने अपने जीवन और विश्वदृष्टि का अविभाज्य हिस्सा बना लिया है? प्राचीन यूनानी दिमाग ने गणित, अंकगणित और ज्यामिति जैसे विज्ञानों को मानव तर्क की सबसे सुंदर सिम्फनी के रूप में सराहा।
शायद अंकगणित अन्य विज्ञानों की तरह गहरा नहीं है, लेकिन अगर कोई व्यक्ति प्रारंभिक गुणन तालिका को भूल जाए तो उनका क्या होगा? संख्याओं, भिन्नों और अन्य साधनों का उपयोग करते हुए हमारे लिए तार्किक सोच की आदत लोगों के लिए आसान नहीं थी और लंबे समय तक हमारे पूर्वजों के लिए दुर्गम थी। दरअसल, अंकगणित के विकास से पहले मानव ज्ञान का कोई भी क्षेत्र वास्तव में वैज्ञानिक नहीं था।
अंकगणित गणित का एबीसी है
अंकगणित संख्याओं का विज्ञान है, जिससे कोई भी व्यक्ति गणित की आकर्षक दुनिया से परिचित होने लगता है। जैसा कि एम. वी. लोमोनोसोव ने कहा, अंकगणित सीखने का द्वार है, जो हमारे लिए विश्व ज्ञान का मार्ग खोलता है। लेकिन वह सही हैक्या संसार के ज्ञान को अंकों और अक्षरों, गणित और वाणी के ज्ञान से अलग किया जा सकता है? शायद पुराने दिनों में, लेकिन आधुनिक दुनिया में नहीं, जहां विज्ञान और प्रौद्योगिकी का तेजी से विकास अपने ही नियमों को तय करता है।
ग्रीक मूल के शब्द "अंकगणित" (ग्रीक "अरिथमोस") का अर्थ है "संख्या"। वह संख्याओं और उनसे जुड़ी हर चीज का अध्ययन करती है। यह है संख्याओं का संसार: संख्याओं पर विभिन्न संक्रियाएँ, संख्यात्मक नियम, गुणा, घटाव आदि से संबंधित समस्याओं को हल करना।
यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि अंकगणित गणित का प्रारंभिक चरण है और इसके अधिक जटिल वर्गों, जैसे बीजगणित, गणितीय विश्लेषण, उच्च गणित, आदि के लिए एक ठोस आधार है।
अंकगणित का मुख्य उद्देश्य
अंकगणित का आधार एक पूर्णांक है, जिसके गुण और पैटर्न उच्च अंकगणित या संख्या सिद्धांत में माने जाते हैं। वास्तव में, पूरे भवन की ताकत - गणित - इस बात पर निर्भर करती है कि इतने छोटे ब्लॉक को प्राकृतिक संख्या मानने में दृष्टिकोण कितना सही है।
इसलिए, अंकगणित क्या है, इस प्रश्न का उत्तर सरलता से दिया जा सकता है: यह संख्याओं का विज्ञान है। हाँ, सामान्य सात, नौ और इस विविध समुदाय के बारे में। और जिस तरह आप एक प्रारंभिक वर्णमाला के बिना अच्छी या सबसे औसत दर्जे की कविता नहीं लिख सकते, वैसे ही आप अंकगणित के बिना एक प्राथमिक समस्या को भी हल नहीं कर सकते। इसीलिए सारे विज्ञान अंकगणित और गणित के विकास के बाद ही आगे बढ़े, उससे पहले केवल धारणाओं का एक समूह था।
अंकगणित एक प्रेत विज्ञान है
अंकगणित क्या है - प्राकृतिक विज्ञान या प्रेत? वास्तव में, जैसा कि प्राचीन यूनानी दार्शनिकों ने तर्क दिया था, वास्तविकता में न तो संख्याएं और न ही आंकड़े मौजूद हैं। यह तो बस एक प्रेत है जो पर्यावरण को उसकी प्रक्रियाओं से देखते हुए मानवीय सोच में पैदा होता है। दरअसल, एक संख्या क्या है? हमारे आस-पास कहीं भी ऐसा कुछ नहीं दिखाई देता है जिसे एक संख्या कहा जा सकता है, बल्कि, एक संख्या मानव मन का दुनिया का अध्ययन करने का एक तरीका है। या शायद यह अंदर से खुद का अध्ययन है? दार्शनिक इस बारे में कई सदियों से लगातार बहस कर रहे हैं, इसलिए हम एक संपूर्ण उत्तर देने का उपक्रम नहीं करते हैं। किसी न किसी रूप में, अंकगणित इतनी मजबूती से अपनी जगह बनाने में कामयाब हो गया है कि आधुनिक दुनिया में किसी को भी इसकी मूल बातें जाने बिना सामाजिक रूप से अनुकूलित नहीं माना जा सकता है।
प्राकृतिक संख्या कैसे प्रकट हुई
बेशक, अंकगणित जिस मुख्य वस्तु पर काम करता है वह एक प्राकृतिक संख्या है, जैसे 1, 2, 3, 4,…, 152… आदि। प्राकृतिक संख्याओं का अंकगणित, घास के मैदान में गायों जैसी सामान्य वस्तुओं को गिनने का परिणाम है। फिर भी, "बहुत" या "छोटा" की परिभाषा एक बार लोगों के अनुकूल नहीं रही, और उन्हें अधिक उन्नत गिनती तकनीकों का आविष्कार करना पड़ा।
लेकिन असली सफलता तब मिली जब मानव विचार इस बिंदु पर पहुंचे कि 2 किलोग्राम, और 2 ईंट, और 2 भागों को समान संख्या "दो" के साथ नामित करना संभव है। तथ्य यह है कि आपको वस्तुओं के रूपों, गुणों और अर्थों से अमूर्त करने की आवश्यकता है, फिर आप इन वस्तुओं के साथ प्राकृतिक संख्याओं के रूप में कुछ क्रियाएं कर सकते हैं। इस प्रकार संख्याओं के अंकगणित का जन्म हुआ, जोआगे विकसित और विस्तारित, समाज के जीवन में कभी भी अधिक से अधिक पदों पर काबिज।
शून्य और ऋणात्मक संख्या, भिन्नों, संख्याओं द्वारा संख्याओं के पदनाम और अन्य तरीकों से संख्या की ऐसी गहन अवधारणाओं का विकास का एक समृद्ध और दिलचस्प इतिहास है।
अंकगणित और व्यावहारिक मिस्रवासी
हमारे आस-पास की दुनिया की खोज करने और रोजमर्रा की समस्याओं को हल करने में दो सबसे पुराने मानव साथी अंकगणित और ज्यामिति हैं।
ऐसा माना जाता है कि अंकगणित का इतिहास प्राचीन पूर्व में उत्पन्न होता है: भारत, मिस्र, बेबीलोन और चीन में। इस प्रकार, मिस्र के मूल के रिंडा पेपिरस (इसलिए नाम दिया गया क्योंकि यह उसी नाम के मालिक का था), 20 वीं शताब्दी में वापस डेटिंग। BC, अन्य मूल्यवान डेटा के अलावा, भिन्न हर के साथ भिन्नों के योग में एक भिन्न का विस्तार और एक के बराबर एक अंश शामिल है।
उदाहरण के लिए: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
लेकिन इस तरह के जटिल अपघटन का क्या मतलब है? तथ्य यह है कि मिस्र के दृष्टिकोण ने संख्याओं के बारे में अमूर्त विचारों को बर्दाश्त नहीं किया, इसके विपरीत, गणना केवल व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए की गई थी। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, केवल एक मकबरा बनाने के लिए, मिस्री गणना के रूप में ऐसी चीज में संलग्न होगा। संरचना के किनारे की लंबाई की गणना करना आवश्यक था, और इसने एक व्यक्ति को पपीरस के पीछे बैठने के लिए मजबूर किया। जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना में मिस्र की प्रगति विज्ञान के प्रति प्रेम के बजाय बड़े पैमाने पर निर्माण के कारण हुई थी।
इस कारण से, पपीरी पर मिलने वाली गणना को भिन्नों के विषय पर प्रतिबिंब नहीं कहा जा सकता है। सबसे अधिक संभावना है, यह एक व्यावहारिक तैयारी है जिसने भविष्य में मदद की।भिन्नों के साथ समस्याओं को हल करें। प्राचीन मिस्रवासी, जो गुणन सारणी को नहीं जानते थे, उन्होंने लंबी गणना की, कई उप-कार्यों में विघटित हो गए। शायद यह उन उप-कार्यों में से एक है। यह देखना आसान है कि इस तरह के वर्कपीस के साथ गणना बहुत श्रमसाध्य और अप्रमाणिक है। शायद इसी कारण से हम गणित के विकास में प्राचीन मिस्र के महान योगदान को नहीं देखते हैं।
प्राचीन ग्रीस और दार्शनिक अंकगणित
प्राचीन पूर्व के कई ज्ञान को प्राचीन यूनानियों, अमूर्त, अमूर्त और दार्शनिक प्रतिबिंबों के प्रसिद्ध प्रेमियों द्वारा सफलतापूर्वक महारत हासिल थी। वे अभ्यास में कम रुचि नहीं रखते थे, लेकिन सर्वश्रेष्ठ सिद्धांतकारों और विचारकों को खोजना मुश्किल है। इससे विज्ञान को लाभ हुआ है, क्योंकि इसे वास्तविकता से तोड़े बिना अंकगणित में तल्लीन करना असंभव है। ज़रूर, आप 10 गायों और 100 लीटर दूध को गुणा कर सकते हैं, लेकिन आपको बहुत दूर नहीं मिलेगा।
गहरी सोच रखने वाले यूनानियों ने इतिहास पर एक महत्वपूर्ण छाप छोड़ी है, और उनके लेखन हमारे पास आए हैं:
- यूक्लिड और तत्व।
- पाइथागोरस।
- आर्किमिडीज।
- इराटोस्थनीज।
- ज़ीनो।
- अनाक्सागोरस।
और, ज़ाहिर है, यूनानी, जिन्होंने सब कुछ दर्शन में बदल दिया, और विशेष रूप से पाइथागोरस के काम के उत्तराधिकारी, संख्याओं से इतने मोहित थे कि वे उन्हें दुनिया के सद्भाव का रहस्य मानते थे। संख्याओं का अध्ययन और शोध इस हद तक किया गया है कि उनमें से कुछ और उनके जोड़े को विशेष गुण दिए गए हैं। उदाहरण के लिए:
- परफेक्ट नंबर वे होते हैं जो अपने सभी भाजक के योग के बराबर होते हैं, केवल संख्या को छोड़कर (6=1+2+3)।
- दोस्ताना नंबर वो नंबर होते हैं, जिनमें से एकदूसरे के सभी भाजक के योग के बराबर है, और इसके विपरीत (पाइथागोरस केवल एक ऐसी जोड़ी को जानते थे: 220 और 284)।
यूनानियों, जो मानते थे कि विज्ञान से प्यार किया जाना चाहिए, और लाभ के लिए इसके साथ नहीं होना चाहिए, ने खोज, खेल और संख्याओं को जोड़कर बड़ी सफलता हासिल की। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उनके सभी शोध व्यापक रूप से उपयोग नहीं किए गए थे, उनमें से कुछ केवल "सुंदरता के लिए" बने रहे।
मध्य युग के पूर्वी विचारक
उसी तरह, मध्य युग में, अंकगणित का विकास पूर्वी समकालीनों के कारण होता है। भारतीयों ने हमें वे संख्याएँ दीं जिनका हम सक्रिय रूप से उपयोग करते हैं, इस तरह की अवधारणा जैसे "शून्य", और कलन का स्थितीय संस्करण, जो आधुनिक धारणा से परिचित है। 15वीं शताब्दी में समरकंद में काम करने वाले अल-काशी से हमें दशमलव अंश विरासत में मिले, जिसके बिना आधुनिक अंकगणित की कल्पना करना मुश्किल है।
कई मायनों में, पूर्व की उपलब्धियों के साथ यूरोप का परिचय इतालवी वैज्ञानिक लियोनार्डो फिबोनाची के काम के लिए संभव हो गया, जिन्होंने पूर्वी नवाचारों को पेश करते हुए "द बुक ऑफ द एबैकस" काम लिखा था। यह यूरोप में बीजगणित और अंकगणित, अनुसंधान और वैज्ञानिक गतिविधियों के विकास की आधारशिला बन गया।
रूसी अंकगणित
और, अंत में, अंकगणित, जिसने अपना स्थान पाया और यूरोप में जड़ें जमा लीं, रूसी भूमि में फैलने लगा। पहला रूसी अंकगणित 1703 में प्रकाशित हुआ था - यह लियोन्टी मैग्निट्स्की द्वारा अंकगणित के बारे में एक पुस्तक थी। लंबे समय तक यह गणित की एकमात्र पाठ्यपुस्तक बनी रही। इसमें बीजगणित और ज्यामिति के प्रारंभिक क्षण शामिल हैं।रूस में पहली अंकगणितीय पाठ्यपुस्तक के उदाहरणों में प्रयुक्त संख्याएं अरबी हैं। हालांकि अरबी अंकों को पहले भी देखा जा चुका है, 17वीं शताब्दी की नक्काशी पर।
पुस्तक को आर्किमिडीज और पाइथागोरस की छवियों से सजाया गया है, और पहली शीट पर - एक महिला के रूप में अंकगणित की छवि। वह एक सिंहासन पर बैठती है, उसके नीचे हिब्रू में एक शब्द लिखा है जो भगवान के नाम को दर्शाता है, और सिंहासन की ओर जाने वाले चरणों पर, "विभाजन", "गुणा", "जोड़", आदि शब्द खुदे हुए हैं। जिन्हें अब सामान्य माना जाता है।
एक 600-पृष्ठ की पाठ्यपुस्तक में नौवहन विज्ञान में जोड़ और गुणा सारणी और अनुप्रयोग जैसे मूल बातें शामिल हैं।
यह आश्चर्य की बात नहीं है कि लेखक ने अपनी पुस्तक के लिए ग्रीक विचारकों की छवियों को चुना, क्योंकि वह खुद अंकगणित की सुंदरता से मोहित हो गया था, कह रहा था: "अंकगणित अंश है, कला ईमानदार, अविश्वसनीय है …". अंकगणित के लिए यह दृष्टिकोण काफी उचित है, क्योंकि यह इसका व्यापक परिचय है जिसे रूस और सामान्य शिक्षा में वैज्ञानिक विचारों के तेजी से विकास की शुरुआत माना जा सकता है।
अनप्राइम प्राइम
एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या है जिसमें केवल 2 धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और स्वयं। 1 को छोड़कर अन्य सभी संख्याएँ भाज्य कहलाती हैं। अभाज्य संख्याओं के उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, और अन्य सभी जिनमें 1 और स्वयं के अलावा कोई भाजक नहीं है।
नंबर 1 के लिए, यह एक विशेष खाते पर है - एक समझौता है कि इसे न तो सरल और न ही समग्र माना जाना चाहिए।पहली नज़र में सरल, एक साधारण संख्या अपने भीतर कई अनसुलझे रहस्यों को छुपाती है।
यूक्लिड का प्रमेय कहता है कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है, और एराटोस्थनीज ने एक विशेष अंकगणितीय "छलनी" का आविष्कार किया जो गैर-अभाज्य संख्याओं को समाप्त करती है, केवल साधारण संख्याओं को छोड़कर।
इसका सार पहली गैर-क्रॉस आउट संख्या को रेखांकित करना है, और बाद में उन संख्याओं को पार करना है जो इसके गुणक हैं। हम इस प्रक्रिया को कई बार दोहराते हैं - और हमें अभाज्य संख्याओं की एक तालिका प्राप्त होती है।
अंकगणित की मौलिक प्रमेय
अभाज्य संख्याओं के प्रेक्षणों में अंकगणित के मूल प्रमेय का विशेष रूप से उल्लेख किया जाना चाहिए।
अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि 1 से बड़ा कोई भी पूर्णांक या तो अभाज्य होता है, या इसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में गुणनखंडों के क्रम तक और एक अनोखे तरीके से विघटित किया जा सकता है।
अंकगणित का मुख्य प्रमेय बल्कि बोझिल साबित हुआ है, और इसे समझना अब सरल बुनियादी बातों जैसा नहीं लगता।
पहली नज़र में, अभाज्य संख्याएँ एक प्राथमिक अवधारणा हैं, लेकिन वे नहीं हैं। भौतिकी भी कभी परमाणु को तब तक प्राथमिक मानती थी, जब तक कि वह अपने भीतर संपूर्ण ब्रह्मांड को न खोज ले। गणितज्ञ डॉन तज़ागीर की एक अद्भुत कहानी "द फर्स्ट फिफ्टी मिलियन प्राइम्स" अभाज्य संख्याओं को समर्पित है।
"तीन सेब" से निगमनात्मक कानूनों तक
जिसे वास्तव में सभी विज्ञानों का प्रबल आधार कहा जा सकता है, वह है अंकगणित के नियम। बचपन में भी गुड़िया की टांगों और भुजाओं की संख्या का अध्ययन करते हुए सभी का सामना अंकगणित से होता है,क्यूब्स, सेब आदि की संख्या। इस तरह हम अंकगणित का अध्ययन करते हैं, जो तब अधिक जटिल नियमों में चला जाता है।
हमारा सारा जीवन हमें अंकगणित के नियमों से परिचित कराता है, जो आम आदमी के लिए विज्ञान द्वारा दिए गए सबसे उपयोगी बन गए हैं। संख्याओं का अध्ययन "अंकगणित-शिशु" है, जो बचपन में ही संख्याओं के रूप में एक व्यक्ति को संख्याओं की दुनिया से परिचित कराता है।
उच्च अंकगणित एक निगमनात्मक विज्ञान है जो अंकगणित के नियमों का अध्ययन करता है। हम उनमें से अधिकांश को जानते हैं, हालाँकि हम उनके सटीक शब्दों को नहीं जानते होंगे।
जोड़ और गुणा का नियम
दो किसी भी प्राकृत संख्या a और b को योग a+b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक प्राकृत संख्या भी होगी। निम्नलिखित कानून जोड़ पर लागू होते हैं:
- कम्यूटेटिव, जो कहता है कि योग शब्दों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है, या a+b=b+a.
- एसोसिएटिव, जो कहता है कि योग इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि किस तरह से पदों को स्थानों में बांटा गया है, या a+(b+c)=(a+ b)+ c.
अंकगणित के नियम, जैसे जोड़, सबसे प्राथमिक में से हैं, लेकिन वे सभी विज्ञानों द्वारा उपयोग किए जाते हैं, रोजमर्रा की जिंदगी का उल्लेख नहीं करने के लिए।
किसी भी प्राकृत संख्या a और b को ab या ab गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो कि एक प्राकृत संख्या भी है। उत्पाद पर जोड़ने के लिए समान कम्यूटेटिव और सहयोगी कानून लागू होते हैं:
- एबी=बी ए;
- ए(बीसी)=(ए बी) सी.
मुझे आश्चर्य हैकि एक ऐसा कानून है जो जोड़ और गुणा को जोड़ता है, जिसे वितरण या वितरण कानून भी कहा जाता है:
a(b+c)=ab+ac
यह कानून वास्तव में हमें कोष्ठकों का विस्तार करके उनके साथ काम करना सिखाता है, इस प्रकार हम अधिक जटिल फ़ार्मुलों के साथ काम कर सकते हैं। ये ऐसे नियम हैं जो बीजगणित की विचित्र और जटिल दुनिया में हमारा मार्गदर्शन करेंगे।
अंकगणितीय क्रम का नियम
व्यवस्था का नियम मानव तर्क द्वारा प्रतिदिन प्रयोग किया जाता है, घड़ियों की तुलना करना और नोटों की गिनती करना। और, फिर भी, इसे विशिष्ट फॉर्मूलेशन के रूप में औपचारिक रूप देने की आवश्यकता है।
यदि हमारे पास दो प्राकृत संख्याएँ a और b हैं, तो निम्नलिखित विकल्प संभव हैं:
- a बराबर b, या a=b;
- a, b से छोटा है, या a < b;
- a, b से बड़ा है, या a > b.
तीन विकल्पों में से केवल एक ही निष्पक्ष हो सकता है। आदेश को नियंत्रित करने वाला मूल कानून कहता है: यदि a < b और b < c, तो a< c.
गुणन और जोड़ के क्रम से संबंधित कानून भी हैं: यदि a< b है, तो a + c < b+c और ac< bc.
अंकगणित के नियम हमें संख्याओं, चिह्नों और कोष्ठकों के साथ काम करना सिखाते हैं, हर चीज़ को संख्याओं के सामंजस्यपूर्ण सिम्फनी में बदल देते हैं।
स्थितीय और गैर-स्थितीय कलन
कहा जा सकता है कि अंक एक गणितीय भाषा है, जिसकी सुविधा पर बहुत कुछ निर्भर करता है। ऐसी कई संख्या प्रणालियाँ हैं, जो विभिन्न भाषाओं के अक्षरों की तरह एक-दूसरे से भिन्न होती हैं।
आइए मात्रात्मक मूल्य पर स्थिति के प्रभाव के दृष्टिकोण से संख्या प्रणालियों पर विचार करेंइस स्थिति में संख्या। इसलिए, उदाहरण के लिए, रोमन प्रणाली गैर-स्थितीय है, जहां प्रत्येक संख्या को विशेष वर्णों के एक निश्चित सेट द्वारा एन्कोड किया गया है: I/V/X/L/C/D/ M. वे क्रमशः संख्या 1 के बराबर हैं। / 5/10/50/100/500/1000। ऐसी प्रणाली में, संख्या अपनी मात्रात्मक परिभाषा को नहीं बदलती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वह किस स्थिति में है: पहली, दूसरी, आदि। अन्य संख्याएँ प्राप्त करने के लिए, आपको आधार जोड़ने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए:
- डीसीसी=700.
- सीसीएम=800.
अरबी अंकों का उपयोग करते हुए हमारे लिए अधिक परिचित संख्या प्रणाली स्थितीय है। ऐसी प्रणाली में, किसी संख्या का अंक अंकों की संख्या निर्धारित करता है, उदाहरण के लिए, तीन अंकों की संख्या: 333, 567, आदि। किसी भी अंक का भार उस स्थिति पर निर्भर करता है जिसमें यह या वह अंक स्थित है, उदाहरण के लिए, दूसरी स्थिति में संख्या 8 का मान 80 है। यह दशमलव प्रणाली के लिए विशिष्ट है, उदाहरण के लिए अन्य स्थितीय प्रणालियाँ हैं, बाइनरी।
बाइनरी अंकगणित
हम दशमलव प्रणाली से परिचित हैं, जिसमें एकल-अंकीय संख्याएँ और बहु-अंक वाले होते हैं। एक बहु-अंकीय संख्या के बाईं ओर की संख्या दाईं ओर की संख्या से दस गुना अधिक महत्वपूर्ण है। तो, हम 2, 17, 467, आदि पढ़ने के आदी हैं। "बाइनरी अंकगणित" नामक खंड में एक पूरी तरह से अलग तर्क और दृष्टिकोण है। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि बाइनरी अंकगणित मानव तर्क के लिए नहीं, बल्कि कंप्यूटर तर्क के लिए बनाया गया था। यदि संख्याओं के अंकगणित की उत्पत्ति वस्तुओं की गिनती से हुई है, जिसे आगे वस्तु के गुणों से "नंगे" अंकगणित में सारणित किया गया था, तो यह कंप्यूटर के साथ काम नहीं करेगा। साझा करने में सक्षम होने के लिएकंप्यूटर के अपने ज्ञान के साथ, एक व्यक्ति को कैलकुलस के ऐसे मॉडल का आविष्कार करना पड़ा।
द्विआधारी अंकगणित द्विआधारी वर्णमाला के साथ कार्य करता है, जिसमें केवल 0 और 1 होते हैं। और इस वर्णमाला के उपयोग को द्विआधारी प्रणाली कहा जाता है।
द्विआधारी अंकगणित और दशमलव अंकगणित के बीच का अंतर यह है कि बाईं ओर की स्थिति का महत्व अब 10 नहीं, बल्कि 2 गुना है। बाइनरी नंबर 111, 1001 आदि के रूप में होते हैं। ऐसी संख्याओं को कैसे समझें? तो, संख्या 1100 पर विचार करें:
- बाईं ओर पहला अंक 18=8 है, यह याद रखने पर कि चौथा अंक, जिसका अर्थ है कि इसे 2 से गुणा करने की आवश्यकता है, हमें स्थिति 8 मिलती है।
- दूसरा अंक 14=4 (स्थिति 4)।
- तीसरा अंक 02=0 (स्थिति 2)।
- चौथा अंक 01=0 (स्थिति 1)।
- तो हमारा नंबर 1100=8+4+0+0=12 है।
अर्थात, बाईं ओर एक नए अंक में जाने पर, बाइनरी सिस्टम में इसका महत्व 2 से गुणा किया जाता है, और दशमलव में - 10 से। ऐसी प्रणाली में एक माइनस होता है: यह बहुत बड़ी वृद्धि है अंक जो संख्या लिखने के लिए आवश्यक हैं। दशमलव संख्याओं को द्विआधारी संख्या के रूप में दर्शाने के उदाहरण निम्न तालिका में पाए जा सकते हैं।
बाइनरी रूप में दशमलव संख्या नीचे दिखाई गई है।
अष्टाधारी और हेक्साडेसिमल दोनों प्रणालियों का भी उपयोग किया जाता है।
यह रहस्यमय अंकगणित
अंकगणित, "दो बार दो" या संख्याओं के अनसुलझे रहस्य क्या हैं? जैसा कि आप देख सकते हैं, अंकगणित पहली नज़र में सरल लग सकता है, लेकिन इसकी स्पष्ट सहजता भ्रामक है। आंटी आउल के साथ-साथ बच्चे भी इसका अध्ययन कर सकते हैंकार्टून "अंकगणित-बेबी", और आप लगभग दार्शनिक क्रम के गहन वैज्ञानिक अनुसंधान में खुद को विसर्जित कर सकते हैं। इतिहास में, वह वस्तुओं को गिनने से लेकर संख्या की सुंदरता की पूजा करने तक चली गई है। केवल एक ही बात निश्चित रूप से जानी जाती है: अंकगणित के मूल सिद्धांतों की स्थापना के साथ, सभी विज्ञान अपने मजबूत कंधे पर भरोसा कर सकते हैं।
