टोर्क। टोक़: सूत्र। बल का क्षण: परिभाषा

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

रोटेशन एक विशिष्ट प्रकार की यांत्रिक गति है जो अक्सर प्रकृति और प्रौद्योगिकी में पाई जाती है। विचाराधीन प्रणाली पर किसी बाहरी बल की कार्रवाई के परिणामस्वरूप कोई भी घुमाव उत्पन्न होता है। यह बल तथाकथित टॉर्क बनाता है। यह क्या है, यह किस पर निर्भर करता है, इस पर लेख में चर्चा की गई है।

रोटेशन प्रक्रिया

आघूर्ण की अवधारणा पर विचार करने से पहले, आइए उन प्रणालियों को चिह्नित करें जिन पर इस अवधारणा को लागू किया जा सकता है। रोटेशन की प्रणाली इसमें एक अक्ष की उपस्थिति मानती है जिसके चारों ओर एक गोलाकार गति या रोटेशन किया जाता है। इस अक्ष से निकाय के भौतिक बिंदुओं तक की दूरी को घूर्णन त्रिज्या कहते हैं।

कीनेमेटिक्स के दृष्टिकोण से, प्रक्रिया तीन कोणीय मूल्यों की विशेषता है:

• घूर्णन कोण θ (रेडियन में मापा जाता है);
• कोणीय वेग ω (प्रति सेकंड रेडियन में मापा जाता है);
• कोणीय त्वरण α (रेडियन प्रति वर्ग सेकंड में मापा जाता है)।

ये राशियाँ आपस में इस प्रकार संबंधित हैंबराबर:

ω=डीθ/डीटी;

α=dω/dt.

प्रकृति में घूमने के उदाहरण हैं ग्रहों की अपनी कक्षाओं में और अपनी कुल्हाड़ियों के चारों ओर घूमना, बवंडर की गति। रोजमर्रा की जिंदगी और प्रौद्योगिकी में, इंजन मोटर, रिंच, बिल्डिंग क्रेन, दरवाजे खोलने आदि के लिए विचाराधीन आंदोलन विशिष्ट है।

बल के क्षण का निर्धारण

अब लेख के वास्तविक विषय पर चलते हैं। भौतिक परिभाषा के अनुसार, बल का क्षण रोटेशन की धुरी और स्वयं बल के वेक्टर के सापेक्ष बल अनुप्रयोग के वेक्टर का वेक्टर उत्पाद है। संबंधित गणितीय व्यंजक इस प्रकार लिखा जा सकता है:

M¯=[r¯F¯].

यहाँ सदिश r¯ को रोटेशन के अक्ष से बल F¯ के अनुप्रयोग बिंदु तक निर्देशित किया जाता है।

इस टोक़ सूत्र M¯ में, बल F¯ को अक्ष की दिशा के सापेक्ष किसी भी दिशा में निर्देशित किया जा सकता है। हालाँकि, अक्ष-समानांतर बल घटक रोटेशन नहीं बनाएगा यदि अक्ष को सख्ती से तय किया गया है। भौतिकी की अधिकांश समस्याओं में, F¯ बलों पर विचार करना पड़ता है, जो घूर्णन अक्ष के लंबवत तल में स्थित होते हैं। इन मामलों में, टॉर्क का निरपेक्ष मान निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

|एम¯|=|r¯||F¯|sin(β).

जहां β सदिश r¯ और F¯ के बीच का कोण है।

उत्तोलन क्या है?

बल का लीवर बल के क्षण के परिमाण को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। हम किस बारे में बात कर रहे हैं, इसे समझने के लिए विचार करेंअगली तस्वीर।

यहां हम लंबाई L की कुछ छड़ दिखाते हैं, जो इसके एक सिरे से धुरी बिंदु पर तय होती है। दूसरे सिरे पर एक न्यून कोण पर निर्देशित बल F द्वारा कार्य किया जाता है। बल आघूर्ण की परिभाषा के अनुसार कोई भी लिख सकता है:

M=FLsin(180^o-φ).

कोण (180^o-φ) दिखाई दिया क्योंकि वेक्टर L¯ निश्चित छोर से मुक्त छोर तक निर्देशित है। त्रिकोणमितीय साइन फ़ंक्शन की आवधिकता को देखते हुए, हम इस समानता को निम्नलिखित रूप में फिर से लिख सकते हैं:

एम=एफएलपाप(φ).

अब आइए L, d और F पक्षों पर बने एक समकोण त्रिभुज पर ध्यान दें। साइन फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, कर्ण L का गुणनफल और कोण φ का गुणन पैर d का मान देता है। तब हम समानता पर आते हैं:

एम=एफडी.

रैखिक मान d को बल का उत्तोलक कहा जाता है। यह बल सदिश F¯ से घूर्णन अक्ष तक की दूरी के बराबर है। जैसा कि सूत्र से देखा जा सकता है, पल एम की गणना करते समय बल लीवर की अवधारणा का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। परिणामी सूत्र कहता है कि किसी बल एफ के लिए अधिकतम टोक़ तभी होगा जब त्रिज्या वेक्टर की लंबाई r¯ (L¯ ऊपर की आकृति में) बल लीवर के बराबर है, अर्थात r¯ और F¯ परस्पर लंबवत होंगे।

M¯

की दिशा

यह ऊपर दिखाया गया था कि टोक़ किसी दिए गए सिस्टम के लिए एक वेक्टर विशेषता है। यह वेक्टर कहाँ निर्देशित है? इस प्रश्न का उत्तर दें नहींविशेष रूप से कठिन है यदि हमें याद है कि दो वैक्टर के उत्पाद का परिणाम तीसरा वेक्टर है, जो मूल वैक्टर के विमान के लंबवत अक्ष पर स्थित है।

यह तय करना बाकी है कि बल का क्षण उक्त विमान के सापेक्ष ऊपर या नीचे (पाठक की ओर या दूर) निर्देशित किया जाएगा। आप इसे या तो गिलेट नियम से या दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके निर्धारित कर सकते हैं। यहाँ दोनों नियम हैं:

• दाहिने हाथ का नियम। यदि आप दाहिने हाथ को इस तरह रखते हैं कि उसकी चार उंगलियां वेक्टर r¯ की शुरुआत से उसके अंत तक चलती हैं, और फिर वेक्टर F¯ की शुरुआत से उसके अंत तक, तो अंगूठा, फैला हुआ, इंगित करेगा पल की दिशा M¯.
• गिलेट नियम। यदि किसी काल्पनिक गिमलेट के घूर्णन की दिशा प्रणाली की घूर्णी गति की दिशा से मेल खाती है, तो गिलेट का अनुवादात्मक आंदोलन वेक्टर M¯ की दिशा को इंगित करेगा। याद रखें कि यह केवल दक्षिणावर्त घूमता है।

दोनों नियम समान हैं, इसलिए हर कोई उस नियम का उपयोग कर सकता है जो उसके लिए अधिक सुविधाजनक हो।

व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, "+" या "-" संकेतों का उपयोग करके टोक़ की विभिन्न दिशा (ऊपर-नीचे, बाएं-दाएं) को ध्यान में रखा जाता है। यह याद रखना चाहिए कि क्षण M¯ की सकारात्मक दिशा को वह माना जाता है जो सिस्टम के वामावर्त घुमाने की ओर ले जाता है। तदनुसार, यदि कोई बल घड़ी की दिशा में सिस्टम के घूमने की ओर ले जाता है, तो इसके द्वारा बनाए गए क्षण का ऋणात्मक मान होगा।

भौतिक अर्थमात्रा एम¯

घूर्णन के भौतिकी और यांत्रिकी में, मान M¯ बल की क्षमता या घुमाने के लिए बलों के योग को निर्धारित करता है। चूंकि मात्रा M¯ की गणितीय परिभाषा में न केवल बल होता है, बल्कि इसके अनुप्रयोग का त्रिज्या वेक्टर भी होता है, यह बाद वाला है जो बड़े पैमाने पर विख्यात घूर्णी क्षमता को निर्धारित करता है। यह स्पष्ट करने के लिए कि हम किस क्षमता के बारे में बात कर रहे हैं, यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• हर व्यक्ति ने अपने जीवन में कम से कम एक बार दरवाज़े को हैंडल से नहीं, बल्कि टिका के पास धकेल कर खोलने की कोशिश की। बाद के मामले में, आपको वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए एक महत्वपूर्ण प्रयास करना होगा।
• बोल्ट से नट को हटाने के लिए, विशेष रिंच का उपयोग करें। रिंच जितना लंबा होगा, नट को ढीला करना उतना ही आसान होगा।
• शक्ति के लीवर के महत्व को महसूस करने के लिए, हम पाठकों को निम्नलिखित प्रयोग करने के लिए आमंत्रित करते हैं: एक कुर्सी ले लो और इसे एक हाथ से वजन पर पकड़ने की कोशिश करो, एक मामले में, शरीर के खिलाफ हाथ झुकाओ, दूसरा, सीधे हाथ पर कार्य करें। उत्तरार्द्ध कई लोगों के लिए एक भारी काम साबित होगा, हालांकि कुर्सी का वजन वही रहता है।

बल के क्षण की इकाइयाँ

उन एसआई इकाइयों के बारे में भी कुछ शब्द कहे जाने चाहिए जिनमें टॉर्क को मापा जाता है। इसके लिए लिखे गए सूत्र के अनुसार इसे न्यूटन प्रति मीटर (Nm) में मापा जाता है। हालाँकि, ये इकाइयाँ भौतिकी में कार्य और ऊर्जा को भी मापती हैं (1 Nm=1 जूल)। क्षण के लिए जूल M¯ लागू नहीं होता क्योंकि कार्य एक अदिश राशि है, जबकि M¯ एक सदिश है।

फिर भीऊर्जा की इकाइयों के साथ बल के क्षण की इकाइयों का संयोग आकस्मिक नहीं है। सिस्टम के रोटेशन पर काम, पल एम द्वारा किया जाता है, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

ए=एमθ.

जहां हम पाते हैं कि एम को जूल प्रति रेडियन (जे/रेड) में भी व्यक्त किया जा सकता है।

रोटेशन डायनामिक्स

लेख की शुरुआत में, हमने गतिज विशेषताओं को लिखा था जिनका उपयोग रोटेशन की गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। घूर्णी गतिकी में, इन विशेषताओं का उपयोग करने वाला मुख्य समीकरण है:

एम=मैंα.

एक प्रणाली पर जड़ता के क्षण के साथ पल एम की क्रिया मैं कोणीय त्वरण की उपस्थिति की ओर जाता है α।

इस सूत्र का प्रयोग प्रौद्योगिकी में घूर्णन की कोणीय आवृत्तियों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अतुल्यकालिक मोटर के टॉर्क को जानना, जो स्टेटर कॉइल में करंट की आवृत्ति और बदलते चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण पर निर्भर करता है, साथ ही घूर्णन रोटर के जड़त्वीय गुणों को जानने के लिए, यह निर्धारित करना संभव है। किस घूर्णन गति तक ω मोटर रोटर एक ज्ञात समय में घूमता है t.

समस्या समाधान का उदाहरण

एक भारहीन लीवर, 2 मीटर लंबा, बीच में एक सहारा होता है। लीवर के एक सिरे पर कितना भार रखा जाना चाहिए ताकि वह संतुलन की स्थिति में रहे, यदि सहारे के दूसरी तरफ 0.5 मीटर की दूरी पर 10 किग्रा का द्रव्यमान हो?

जाहिर है, लीवर का संतुलन तभी आएगा जब भार द्वारा बनाए गए बलों के क्षण निरपेक्ष मान में बराबर हों। शक्ति जो बनाता हैइस समस्या में पल शरीर के वजन का प्रतिनिधित्व करता है। बल के उत्तोलक भार से सहारे की दूरी के बराबर होते हैं। आइए इसी समानता को लिखें:

एम₁=एम₂=>

म₁gd₁=m₂gd 2 _=>

P₂=m₂g=m₁gd 1_/डी2.

वजन पी₂ यदि हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं तो हमें मिलता है एम₁=10 किग्रा समस्या की स्थिति से, डी 1=0.5 मीटर, d₂=1 मीटर। लिखित समीकरण उत्तर देता है: P₂=49.05 न्यूटन।