घूर्णन का क्षण और जड़ता का क्षण: सूत्र, समस्या को हल करने का एक उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

भौतिकी में वृत्ताकार गति करने वाले पिंडों को आमतौर पर सूत्रों का उपयोग करके वर्णित किया जाता है जिसमें कोणीय वेग और कोणीय त्वरण शामिल होते हैं, साथ ही ऐसी मात्राएँ जैसे रोटेशन के क्षण, बल और जड़ता। आइए लेख में इन अवधारणाओं पर करीब से नज़र डालें।

अक्ष के परितः घूर्णन का आघूर्ण

इस भौतिक राशि को कोणीय संवेग भी कहते हैं। "टोक़" शब्द का अर्थ है कि संबंधित विशेषता का निर्धारण करते समय रोटेशन की धुरी की स्थिति को ध्यान में रखा जाता है। तो, द्रव्यमान m के एक कण का कोणीय संवेग, जो गति v के साथ अक्ष O के चारों ओर घूमता है और बाद वाले से r दूरी पर स्थित है, निम्न सूत्र द्वारा वर्णित है:

L¯=r¯mv¯=r¯p¯, जहां p¯ कण का संवेग है।

चिह्न "¯" संबंधित मात्रा की सदिश प्रकृति को दर्शाता है। कोणीय गति वेक्टर L¯ की दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है (चार अंगुलियों को वेक्टर r¯ के अंत से p¯ के अंत तक निर्देशित किया जाता है, और बायां अंगूठा दिखाता है कि L¯ को कहां निर्देशित किया जाएगा)। सभी नामित वैक्टर के निर्देश लेख के मुख्य फोटो पर देखे जा सकते हैं।

जबव्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, वे एक अदिश के रूप में कोणीय गति के सूत्र का उपयोग करते हैं। इसके अलावा, रैखिक गति को कोणीय द्वारा बदल दिया जाता है। इस मामले में, एल के लिए सूत्र इस तरह दिखेगा:

L=mr²ω, जहां ω=vr कोणीय वेग है।

मान mr² अक्षर I से निरूपित किया जाता है और इसे जड़त्व का क्षण कहा जाता है। यह रोटेशन सिस्टम के जड़त्वीय गुणों की विशेषता है। सामान्य तौर पर, L के लिए व्यंजक इस प्रकार लिखा जाता है:

एल=मैंω.

यह सूत्र न केवल m द्रव्यमान के घूर्णन कण के लिए मान्य है, बल्कि मनमाने आकार के किसी भी पिंड के लिए भी मान्य है जो किसी अक्ष के बारे में गोलाकार गति करता है।

जड़ता का क्षण I

सामान्य स्थिति में, मेरे द्वारा पिछले पैराग्राफ में दर्ज किए गए मान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

मैं=∑_मैं(एम_मैंआर_मैं ²).

यहाँ मैं द्रव्यमान के साथ तत्व की संख्या को इंगित करता है m_i दूरी पर स्थित है r_i रोटेशन अक्ष से। यह अभिव्यक्ति आपको मनमाना आकार के एक अमानवीय शरीर की गणना करने की अनुमति देती है। अधिकांश आदर्श त्रि-आयामी ज्यामितीय आंकड़ों के लिए, यह गणना पहले ही की जा चुकी है, और जड़ता के क्षण के प्राप्त मूल्यों को संबंधित तालिका में दर्ज किया गया है। उदाहरण के लिए, एक समांगी डिस्क के लिए जो अपने तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर गोलाकार गति करती है और द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरती है, I=mr²/2.

घूर्णन I की जड़ता के क्षण के भौतिक अर्थ को समझने के लिए, किसी को इस प्रश्न का उत्तर देना चाहिए कि एमओपी को घुमाने के लिए कौन सी धुरी आसान है: वह जो एमओपी के साथ चलती हैया वह जो इसके लंबवत है? दूसरे मामले में, आपको अधिक बल लगाना होगा, क्योंकि एमओपी की इस स्थिति के लिए जड़ता का क्षण बड़ा होता है।

एल के संरक्षण का कानून

समय के साथ टोक़ में परिवर्तन नीचे दिए गए सूत्र द्वारा वर्णित है:

dL/dt=M, जहाँ M=rF.

यहाँ M परिणामी बाह्य बल F का आघूर्ण है जो घूर्णन अक्ष के परितः कंधे r पर लगाया जाता है।

सूत्र से पता चलता है कि यदि एम=0, तो कोणीय गति एल में परिवर्तन नहीं होगा, अर्थात, यह सिस्टम में आंतरिक परिवर्तनों की परवाह किए बिना, मनमाने ढंग से लंबे समय तक अपरिवर्तित रहेगा। यह मामला एक व्यंजक के रूप में लिखा गया है:

मैं₁ω₁=मैं₂ω ₂.

अर्थात, क्षण की प्रणाली में कोई भी परिवर्तन मैं कोणीय वेग में परिवर्तन का कारण बनूंगा ω इस तरह से उनका उत्पाद स्थिर रहेगा।

इस कानून के प्रकट होने का एक उदाहरण फिगर स्केटिंग में एक एथलीट है, जो अपनी बाहों को बाहर निकालकर शरीर पर दबाता है, अपना I बदलता है, जो उसकी रोटेशन गति में बदलाव में परिलक्षित होता है.

सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के घूमने की समस्या

आइए एक दिलचस्प समस्या का समाधान करते हैं: उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके, हमारे ग्रह के अपनी कक्षा में घूमने के क्षण की गणना करना आवश्यक है।

चूंकि बाकी ग्रहों के गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा की जा सकती है, और साथ हीयह देखते हुए कि पृथ्वी पर सूर्य से कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का क्षण शून्य (कंधे r=0) के बराबर है, फिर L=स्थिरांक। एल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हैं:

एल=मैंω; मैं=एमआर²;=2पीआई/टी.

यहाँ हमने माना है कि पृथ्वी को द्रव्यमान m=5.97210²⁴kg के साथ एक भौतिक बिंदु माना जा सकता है, क्योंकि इसके आयाम सूर्य से दूरी से बहुत छोटे हैं आर=149.6 मिलियन किमी। टी=365, 256 दिन - अपने तारे के चारों ओर ग्रह की क्रांति की अवधि (1 वर्ष)। उपरोक्त व्यंजक में सभी डेटा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

एल=मैंω=5, 97210²⁴(149, 610⁹) ²23, 14/(365, 256243600)=2, 6610⁴⁰kgm^{2 /एस.}

कोणीय गति का परिकलित मान विशाल है, ग्रह के बड़े द्रव्यमान, इसकी उच्च कक्षीय गति और विशाल खगोलीय दूरी के कारण।