बल का क्षण। बल के क्षण का सूत्र

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

भौतिकी में, "बल के क्षण" की अवधारणा का उपयोग करके संतुलन में घूमने वाले निकायों या प्रणालियों के साथ समस्याओं पर विचार किया जाता है। यह लेख बल के क्षण के सूत्र पर विचार करेगा, साथ ही इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए इसके उपयोग पर भी विचार करेगा।

भौतिकी में बल का क्षण

जैसा कि परिचय में बताया गया है, यह लेख उन प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करेगा जो एक अक्ष के चारों ओर या एक बिंदु के चारों ओर घूम सकती हैं। ऐसे मॉडल के उदाहरण पर विचार करें, जो नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि ग्रे लीवर रोटेशन के अक्ष पर स्थिर है। लीवर के अंत में कुछ द्रव्यमान का एक काला घन होता है, जिस पर एक बल (लाल तीर) कार्य करता है। यह सहज रूप से स्पष्ट है कि इस बल का परिणाम लीवर को अक्ष के चारों ओर वामावर्त घुमाना होगा।

बल का क्षण भौतिकी में एक मात्रा है, जो रोटेशन की धुरी और बल के आवेदन के बिंदु (आकृति में हरा वेक्टर), और बाहरी बल को जोड़ने वाले त्रिज्या के वेक्टर उत्पाद के बराबर है। अपने आप। अर्थात् अक्ष के परितः बल आघूर्ण का सूत्र लिखा होता हैइस प्रकार है:

एम¯=आर¯एफ¯

इस उत्पाद का परिणाम वेक्टर M¯ है। इसकी दिशा गुणक सदिशों, अर्थात् r¯ और F¯ के ज्ञान के आधार पर निर्धारित की जाती है। एक क्रॉस उत्पाद की परिभाषा के अनुसार, एम¯ वैक्टर r¯ और F¯ द्वारा गठित विमान के लंबवत होना चाहिए, और दाहिने हाथ के नियम के अनुसार निर्देशित होना चाहिए (यदि दाहिने हाथ की चार अंगुलियों को पहले गुणन के साथ रखा जाता है) दूसरे के अंत में वेक्टर, फिर अंगूठा इंगित करता है कि वांछित वेक्टर कहाँ निर्देशित है)। आकृति में, आप देख सकते हैं कि वेक्टर M¯ कहाँ निर्देशित है (नीला तीर)।

अदिश संकेतन एम¯

पिछले पैराग्राफ में दिए गए चित्र में, बल (लाल तीर) लीवर पर 90^o के कोण पर कार्य करता है। सामान्य तौर पर, इसे बिल्कुल किसी भी कोण पर लागू किया जा सकता है। नीचे दी गई छवि पर विचार करें।

यहाँ हम देखते हैं कि बल F पहले से ही लीवर L पर एक निश्चित कोण Φ पर कार्य कर रहा है। इस प्रणाली के लिए, स्केलर रूप में एक बिंदु (एक तीर द्वारा दिखाया गया) के सापेक्ष बल के क्षण का सूत्र रूप लेगा:

एम=एलएफपाप(Φ)

यह अभिव्यक्ति से पता चलता है कि बल का क्षण एम जितना बड़ा होगा, बल एफ की क्रिया की दिशा कोण के करीब है 90^o एल के संबंध में इसके विपरीत, यदि F, L के अनुदिश कार्य करता है, तो sin(0)=0 और बल कोई क्षण उत्पन्न नहीं करता (M=0)।

बल के क्षण को अदिश रूप में देखते समय, "बल के लीवर" की अवधारणा का अक्सर उपयोग किया जाता है। यह मान अक्ष के बीच की दूरी है (बिंदुरोटेशन) और वेक्टर एफ। इस परिभाषा को ऊपर की आकृति में लागू करते हुए, हम कह सकते हैं कि डी=एलपाप (Φ) बल का लीवर है (समानता त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन "साइन" की परिभाषा से होती है)। बल के उत्तोलक के माध्यम से, क्षण M के सूत्र को निम्न प्रकार से फिर से लिखा जा सकता है:

एम=डीएफ

एम का भौतिक अर्थ

माना गया भौतिक मात्रा बाहरी बल F की प्रणाली पर एक घूर्णी प्रभाव डालने की क्षमता को निर्धारित करता है। शरीर को घूर्णी गति में लाने के लिए, इसे किसी क्षण M.

की सूचना देना आवश्यक है।

इस प्रक्रिया का एक प्रमुख उदाहरण एक कमरे का दरवाजा खोलना या बंद करना है। हैंडल को पकड़कर व्यक्ति प्रयास करता है और दरवाजे को अपने टिका पर घुमाता है। हर कोई कर सकता है। यदि आप टिका के पास उस पर अभिनय करके दरवाजा खोलने की कोशिश करते हैं, तो आपको इसे स्थानांतरित करने के लिए बहुत प्रयास करने की आवश्यकता होगी।

एक और उदाहरण एक रिंच के साथ अखरोट को ढीला करना है। यह कुंजी जितनी छोटी होगी, कार्य को पूरा करना उतना ही कठिन होगा।

संकेतित विशेषताओं को कंधे पर बल के क्षण के सूत्र द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, जो पिछले पैराग्राफ में दिया गया था। यदि M को एक स्थिर मान माना जाता है, तो छोटा d, अधिक से अधिक F को बल का एक निश्चित क्षण बनाने के लिए लागू किया जाना चाहिए।

सिस्टम में कई अभिनय बल

मामलों पर ऊपर विचार किया गया था जब केवल एक बल F रोटेशन में सक्षम प्रणाली पर कार्य करता है, लेकिन क्या होगा यदि ऐसे कई बल हैं? वास्तव में, यह स्थिति अधिक बार होती है, क्योंकि बल प्रणाली पर कार्य कर सकते हैंविभिन्न प्रकृति (गुरुत्वाकर्षण, विद्युत, घर्षण, यांत्रिक और अन्य)। इन सभी मामलों में, परिणामी बल M¯ सभी क्षणों के सदिश योग का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है M_i¯, अर्थात:

M¯=∑_i(M_i¯), जहां मैं स्ट्रेंथ नंबर F_{i है}

क्षणों की योगात्मकता के गुण से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है, जिसे वेरिग्नों का प्रमेय कहा जाता है, जिसका नाम 17वीं सदी के अंत के गणितज्ञ के नाम पर रखा गया - 18वीं शताब्दी की शुरुआत में - फ्रांसीसी पियरे वेरिग्नन। यह पढ़ता है: "विचाराधीन प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बलों के क्षणों के योग को एक बल के क्षण के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो अन्य सभी के योग के बराबर है और एक निश्चित बिंदु पर लागू होता है।" गणितीय रूप से, प्रमेय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

∑_मैं(एम_मैं¯)=एम¯=डी∑_मैं (एफ_मैं¯)

इस महत्वपूर्ण प्रमेय का प्रयोग अक्सर पिंडों के घूमने और संतुलन की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

क्या बल का क्षण काम करता है?

उपरोक्त सूत्रों का अदिश या सदिश रूप में विश्लेषण करके हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि M का मान कुछ काम है। दरअसल, इसका आयाम Nm है, जो SI में जूल (J) से मेल खाता है। वास्तव में, बल का क्षण कार्य नहीं है, बल्कि केवल एक मात्रा है जो इसे करने में सक्षम है। ऐसा होने के लिए, सिस्टम में एक गोलाकार गति और एक लंबी अवधि की क्रिया एम होना आवश्यक है। इसलिए, बल के क्षण के कार्य का सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

ए=एमθ

बीइस व्यंजक में, वह कोण है जिसके माध्यम से बल M के क्षण द्वारा घूर्णन किया गया था। परिणामस्वरूप, कार्य की इकाई को Nmrad या Jrad के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 60 Jrad का मान इंगित करता है कि जब 1 रेडियन (वृत्त का लगभग 1/3) द्वारा घुमाया जाता है, तो क्षण M बनाने वाले बल F ने 60 जूल कार्य किया। इस सूत्र का उपयोग अक्सर उन प्रणालियों में समस्याओं को हल करते समय किया जाता है जहां घर्षण बल कार्य करते हैं, जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा।

बल का क्षण और संवेग का क्षण

जैसा कि दिखाया गया है, सिस्टम पर पल एम के प्रभाव से इसमें घूर्णी गति का आभास होता है। उत्तरार्द्ध को "गति" नामक मात्रा की विशेषता है। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

एल=मैं

यहाँ मैं जड़त्व का क्षण है (एक मान जो घूर्णन में वही भूमिका निभाता है जो पिंड की रैखिक गति में द्रव्यमान है), ω कोणीय वेग है, यह सूत्र द्वारा रैखिक वेग से संबंधित है=वी/आर.

दोनों क्षण (गति और बल) निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं:

M=Iα, जहां α=dω / dt कोणीय त्वरण है।

आइए एक और सूत्र देते हैं जो बलों के क्षणों के काम के लिए समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है। इस सूत्र का उपयोग करके, आप एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा की गणना कर सकते हैं। वह इस तरह दिखती है:

ई_के=1/2मैंω²

अगला, हम समाधान के साथ दो समस्याएं प्रस्तुत करते हैं, जहां हम दिखाते हैं कि भौतिक सूत्रों का उपयोग कैसे किया जाता है।

कई निकायों का संतुलन

पहला कार्य एक प्रणाली के संतुलन से संबंधित है जिसमें कई बल कार्य करते हैं। परनीचे दिया गया आंकड़ा एक ऐसी प्रणाली को दर्शाता है जिस पर तीन बलों द्वारा कार्य किया जाता है। यह गणना करना आवश्यक है कि इस लीवर से वस्तु को किस द्रव्यमान से निलंबित किया जाना चाहिए और यह किस बिंदु पर किया जाना चाहिए ताकि यह प्रणाली संतुलन में रहे।

समस्या की स्थितियों से हम समझ सकते हैं कि इसे हल करने के लिए Varignon theorem का उपयोग करना चाहिए। समस्या के पहले भाग का उत्तर तुरंत दिया जा सकता है, क्योंकि लीवर से लटकी हुई वस्तु का भार होगा:

पी=एफ₁ - एफ₂ + एफ₃=20 - 10 + 25=35 एच

यहां संकेतों को ध्यान में रखते हुए चुना गया है कि लीवर को वामावर्त घुमाने वाला बल एक नकारात्मक क्षण बनाता है।

बिंदु d की स्थिति, जहां यह भार लटकाया जाना चाहिए, की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एम₁ - एम₂ + एम₃=डीपी=720 - 510 + 325=घ35=> घ=165/35=4, 714 मी

ध्यान दें कि गुरुत्वाकर्षण के क्षण के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमने तीन बलों द्वारा बनाए गए एक के बराबर मान M की गणना की। प्रणाली के संतुलन में होने के लिए, लीवर के दूसरी तरफ अक्ष से बिंदु 4, 714 मीटर पर 35 N वजन वाले शरीर को निलंबित करना आवश्यक है।

चलती डिस्क समस्या

निम्नलिखित समस्या का समाधान घर्षण बल के क्षण के लिए सूत्र के उपयोग और क्रांति के शरीर की गतिज ऊर्जा पर आधारित है। कार्य: r=0.3 मीटर की त्रिज्या वाली एक डिस्क दी गई है, जो ω=1 rad/s की गति से घूमती है। यदि रोलिंग घर्षण गुणांक Μ=0.001 है तो यह गणना करना आवश्यक है कि यह सतह पर कितनी दूर यात्रा कर सकता है।

यदि आप ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं तो इस समस्या का समाधान सबसे आसान है। हमारे पास डिस्क की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा है। जब यह लुढ़कना शुरू करता है, तो यह सारी ऊर्जा घर्षण बल की क्रिया के कारण सतह को गर्म करने में खर्च हो जाती है। दोनों राशियों की बराबरी करने पर, हमें व्यंजक प्राप्त होता है:

मैंω²/2=एन/आरआर

सूत्र का पहला भाग डिस्क की गतिज ऊर्जा है। दूसरा भाग डिस्क के किनारे पर लागू घर्षण बल F=ΜN/r के क्षण का कार्य है (M=Fr).

यह देखते हुए कि N=mg और I=1/2mr², हम गणना करते हैं θ:

θ=एमआर² ω²/(4 एमजी)=आर ² ω²/(4g)=0, 3² 1 ²/(40.0019.81)=2.29358 रेड

चूंकि 2pi रेडियन 2pir की लंबाई के अनुरूप हैं, तो हम पाते हैं कि डिस्क द्वारा तय की जाने वाली आवश्यक दूरी है:

s=θr=2.293580.3=0.688m या लगभग 69cm

ध्यान दें कि डिस्क का द्रव्यमान इस परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।