एक भौतिक बिंदु और एक कठोर शरीर की जड़ता का क्षण: सूत्र, स्टेनर की प्रमेय, एक समस्या को हल करने का एक उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

घूर्णन गति की गतिकी और गतिकी के मात्रात्मक अध्ययन के लिए एक भौतिक बिंदु की जड़ता के क्षण और घूर्णन की धुरी के सापेक्ष एक कठोर शरीर के ज्ञान की आवश्यकता होती है। हम लेख में विचार करेंगे कि हम किस पैरामीटर के बारे में बात कर रहे हैं, और इसे निर्धारित करने के लिए एक सूत्र भी देंगे।

भौतिक मात्रा के बारे में सामान्य जानकारी

पहले, आइए एक भौतिक बिंदु और एक कठोर शरीर की जड़ता के क्षण को परिभाषित करें, और फिर दिखाएं कि इसका उपयोग व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में कैसे किया जाना चाहिए।

मास m वाले बिंदु के लिए संकेतित भौतिक विशेषता के तहत, जो r दूरी पर अक्ष के चारों ओर घूमता है, निम्न मान का अर्थ है:

मैं=एमआर².

जहां यह निम्नानुसार है कि अध्ययन किए गए पैरामीटर के माप की इकाई किलोग्राम प्रति वर्ग मीटर (किलोएम²) है।

यदि, एक अक्ष के चारों ओर एक बिंदु के बजाय, जटिल आकार का एक पिंड घूमता है, जिसके अंदर द्रव्यमान का मनमाना वितरण होता है, तो इसकी जड़ता का क्षण निर्धारित होता हैतो:

I=∫_m(r²dm)=ρ∫_V(r²dV)।

जहां शरीर का घनत्व है। अभिन्न सूत्र का उपयोग करके, आप किसी भी घूर्णन प्रणाली के लिए I का मान निर्धारित कर सकते हैं।

जड़ता के क्षण का रोटेशन के लिए ठीक वैसा ही अर्थ है जैसा द्रव्यमान का अनुवाद गति के लिए होता है। उदाहरण के लिए, हर कोई जानता है कि फर्श के एमओपी को उसके हैंडल से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर लंबवत घुमाने की तुलना में घुमाना सबसे आसान है। यह इस तथ्य के कारण है कि पहले मामले में जड़ता का क्षण दूसरे की तुलना में बहुत कम है।

मैं अलग-अलग आकार के पिंडों को महत्व देता हूं

भौतिकी में रोटेशन के लिए समस्याओं को हल करते समय, एक विशिष्ट ज्यामितीय आकार के शरीर के लिए जड़ता के क्षण को जानना अक्सर आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, एक सिलेंडर, गेंद या रॉड के लिए। यदि हम ऊपर लिखे गए सूत्र को I के लिए लागू करते हैं, तो सभी चिह्नित निकायों के लिए संबंधित अभिव्यक्ति प्राप्त करना आसान है। उनमें से कुछ के लिए सूत्र नीचे दिए गए हैं:

रॉड: मैं=1 / 12एमएल²;

सिलेंडर: I=1/2MR²;

क्षेत्र: I=2/5MR².

यहाँ मैं रोटेशन की धुरी के लिए दिया गया है, जो पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है। एक सिलेंडर के मामले में, अक्ष आकृति के जनरेटर के समानांतर है। अन्य ज्यामितीय निकायों के लिए जड़ता का क्षण और रोटेशन की कुल्हाड़ियों के स्थान के विकल्प संबंधित तालिकाओं में पाए जा सकते हैं। ध्यान दें कि I अलग-अलग आंकड़े निर्धारित करने के लिए, केवल एक ज्यामितीय पैरामीटर और शरीर के द्रव्यमान को जानना पर्याप्त है।

स्टेनर की प्रमेय और सूत्र

जड़ता का क्षण निर्धारित किया जा सकता है यदि घूर्णन की धुरी शरीर से कुछ दूरी पर स्थित हो। ऐसा करने के लिए, आपको इस खंड की लंबाई और उसके द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष पिंड का मान I_O पता होना चाहिए, जो कि नीचे वाले के समानांतर होना चाहिए सोच-विचार। पैरामीटर I_O और अज्ञात मान I के बीच संबंध स्थापित करना स्टीनर के प्रमेय में तय किया गया है। एक भौतिक बिंदु और एक कठोर शरीर की जड़ता का क्षण गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जाता है:

मैं=मैं_ओ+ एमएच²।

यहाँ M पिंड का द्रव्यमान है, h द्रव्यमान के केंद्र से रोटेशन की धुरी तक की दूरी है, जिसके सापेक्ष I की गणना करना आवश्यक है। यह अभिव्यक्ति अपने आप प्राप्त करना आसान है यदि आप I के लिए अभिन्न सूत्र का उपयोग करें और ध्यान रखें कि शरीर के सभी बिंदु दूरी पर हैं r=r₀ + h.

स्टेनर का प्रमेय कई व्यावहारिक स्थितियों के लिए I की परिभाषा को बहुत सरल करता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको लंबाई L और द्रव्यमान M की एक छड़ के लिए I खोजने की आवश्यकता है, जो एक अक्ष के संबंध में है जो इसके छोर से गुजरती है, तो स्टीनर प्रमेय को लागू करने से आप लिख सकते हैं:

मैं=मैं_ओ+ एम(एल / 2)²=1 / 12एमएल ²+ एमएल² /4=एमएल² / 3.

आप संबंधित तालिका को देख सकते हैं और देख सकते हैं कि इसमें एक पतली छड़ के लिए बिल्कुल यही सूत्र है जिसके अंत में रोटेशन की धुरी है।

क्षण समीकरण

घूर्णन भौतिकी में एक सूत्र होता है जिसे आघूर्ण का समीकरण कहते हैं। यह इस तरह दिखता है:

एम=मैंα.

यहाँ M बल आघूर्ण है, α कोणीय त्वरण है। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण और एक कठोर शरीर और बल का क्षण एक दूसरे से रैखिक रूप से संबंधित हैं। मान एम सिस्टम में त्वरण α के साथ घूर्णन गति बनाने के लिए कुछ बल एफ की संभावना निर्धारित करता है। एम की गणना करने के लिए, निम्नलिखित सरल अभिव्यक्ति का प्रयोग करें:

एम=एफडी.

जहां d पल का कंधा है, जो बल वेक्टर F से रोटेशन की धुरी की दूरी के बराबर है। भुजा d जितनी छोटी होगी, सिस्टम के रोटेशन को बनाने के लिए बल की क्षमता उतनी ही कम होगी।

अपने अर्थ में आघूर्णों का समीकरण न्यूटन के द्वितीय नियम से पूर्णतया सुसंगत है। इस मामले में, मैं जड़त्वीय द्रव्यमान की भूमिका निभाता हूं।

समस्या समाधान का उदाहरण

आइए एक ऐसी प्रणाली की कल्पना करें जो एक भारहीन क्षैतिज छड़ के साथ एक ऊर्ध्वाधर अक्ष पर तय किया गया एक सिलेंडर है। यह ज्ञात है कि घूर्णन की धुरी और सिलेंडर की मुख्य धुरी एक दूसरे के समानांतर हैं, और उनके बीच की दूरी 30 सेमी है। सिलेंडर का द्रव्यमान 1 किलो है, और इसकी त्रिज्या 5 सेमी है। 10 का बल एन रोटेशन के प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा आकृति पर कार्य करती है, जिसका वेक्टर सिलेंडर के मुख्य अक्ष से होकर गुजरता है। आकृति के कोणीय त्वरण को निर्धारित करना आवश्यक है, जिससे यह बल उत्पन्न होगा।

सबसे पहले, आइए I सिलेंडर की जड़ता के क्षण की गणना करें। ऐसा करने के लिए, स्टीनर प्रमेय लागू करें, हमारे पास है:

I=I_O+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210.05² + 10, 3²=0.09125 किग्राm².

पल समीकरण का उपयोग करने से पहले, आपको चाहिएबल एम का क्षण निर्धारित करें। इस मामले में, हमारे पास है:

एम=एफडी=100, 3=3 एनएम।

अब आप त्वरण निर्धारित कर सकते हैं:

α=एम/आई=3/0.09125 32.9 रेड/एस²।

गणित कोणीय त्वरण इंगित करता है कि प्रति सेकंड सिलेंडर की गति 5.2 चक्कर प्रति सेकंड बढ़ जाएगी।