फूरियर श्रृंखला एक श्रृंखला के रूप में एक विशिष्ट अवधि के साथ मनमाने ढंग से लिए गए कार्य का प्रतिनिधित्व है। सामान्य शब्दों में, इस समाधान को ऑर्थोगोनल आधार पर किसी तत्व का अपघटन कहा जाता है। फूरियर श्रृंखला में कार्यों का विस्तार इस परिवर्तन के गुणों के कारण विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए एक काफी शक्तिशाली उपकरण है, जब एक तर्क और दृढ़ संकल्प में अभिव्यक्ति को एकीकृत, विभेदित करने के साथ-साथ स्थानांतरित किया जाता है।
एक व्यक्ति जो उच्च गणित के साथ-साथ फ्रांसीसी वैज्ञानिक फूरियर के कार्यों से परिचित नहीं है, सबसे अधिक संभावना यह नहीं समझ पाएगा कि ये "पंक्तियाँ" क्या हैं और वे किस लिए हैं। इस बीच, यह परिवर्तन हमारे जीवन में काफी घना हो गया है। इसका उपयोग न केवल गणितज्ञों द्वारा किया जाता है, बल्कि भौतिकविदों, रसायनज्ञों, चिकित्सकों, खगोलविदों, भूकंपविज्ञानी, समुद्र विज्ञानी और कई अन्य लोगों द्वारा भी किया जाता है। आइए महान फ्रांसीसी वैज्ञानिक के कार्यों पर करीब से नज़र डालें, जिन्होंने अपने समय से पहले एक खोज की थी।
आदमी और फूरियर रूपांतरण
फूरियर श्रृंखला फूरियर रूपांतरण के तरीकों (विश्लेषण और अन्य के साथ) में से एक है। यह प्रक्रिया हर बार तब होती है जब कोई व्यक्ति ध्वनि सुनता है। हमारा कान स्वतः ही ध्वनि को परिवर्तित कर देता हैलहर की। एक लोचदार माध्यम में प्राथमिक कणों की दोलन गति विभिन्न ऊंचाइयों के स्वरों के लिए मात्रा स्तर के क्रमिक मूल्यों की पंक्तियों (स्पेक्ट्रम के साथ) में विघटित हो जाती है। इसके बाद, मस्तिष्क इस डेटा को हमारे परिचित ध्वनियों में बदल देता है। यह सब हमारी इच्छा या चेतना के अलावा अपने आप होता है, लेकिन इन प्रक्रियाओं को समझने के लिए उच्च गणित का अध्ययन करने में कई साल लगेंगे।
फूरियर ट्रांसफॉर्म के बारे में अधिक
फूरियर रूपांतरण विश्लेषणात्मक, संख्यात्मक और अन्य तरीकों से किया जा सकता है। फूरियर श्रृंखला किसी भी दोलन प्रक्रियाओं को विघटित करने के अंकीय तरीके को संदर्भित करती है - समुद्र के ज्वार और प्रकाश तरंगों से लेकर सौर (और अन्य खगोलीय पिंड) गतिविधि के चक्र तक। इन गणितीय तकनीकों का उपयोग करके, कार्यों का विश्लेषण करना संभव है, जो किसी भी ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व साइनसॉइडल घटकों की एक श्रृंखला के रूप में करते हैं जो न्यूनतम से अधिकतम तक जाते हैं और इसके विपरीत। फूरियर रूपांतरण एक ऐसा कार्य है जो एक विशिष्ट आवृत्ति के अनुरूप साइनसॉइड के चरण और आयाम का वर्णन करता है। इस प्रक्रिया का उपयोग बहुत जटिल समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है जो थर्मल, प्रकाश या विद्युत ऊर्जा के प्रभाव में होने वाली गतिशील प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं। इसके अलावा, फूरियर श्रृंखला जटिल दोलन संकेतों में निरंतर घटकों को अलग करना संभव बनाती है, जिससे चिकित्सा, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान में प्राप्त प्रयोगात्मक टिप्पणियों की सही व्याख्या करना संभव हो गया।
ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
इस सिद्धांत के जनकजीन बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर एक फ्रांसीसी गणितज्ञ हैं। इस परिवर्तन को बाद में उनके नाम पर रखा गया था। प्रारंभ में, वैज्ञानिक ने गर्मी चालन के तंत्र का अध्ययन और व्याख्या करने के लिए अपनी विधि लागू की - ठोस पदार्थों में गर्मी का प्रसार। फूरियर ने सुझाव दिया कि गर्मी की लहर के प्रारंभिक अनियमित वितरण को सरलतम साइनसॉइड में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक का अपना तापमान न्यूनतम और अधिकतम होगा, साथ ही साथ इसका अपना चरण भी होगा। इस मामले में, ऐसे प्रत्येक घटक को न्यूनतम से अधिकतम और इसके विपरीत मापा जाएगा। वक्र के ऊपरी और निचले शिखरों के साथ-साथ प्रत्येक हार्मोनिक्स के चरण का वर्णन करने वाले गणितीय कार्य को तापमान वितरण अभिव्यक्ति का फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। सिद्धांत के लेखक ने सामान्य वितरण फ़ंक्शन को कम कर दिया, जिसका गणितीय रूप से वर्णन करना मुश्किल है, आवधिक कोसाइन और साइन फ़ंक्शन की एक बहुत ही आसान-से-संभाल श्रृंखला है जो मूल वितरण को जोड़ती है।
परिवर्तन का सिद्धांत और समकालीनों के विचार
वैज्ञानिकों के समकालीनों - उन्नीसवीं सदी की शुरुआत के प्रमुख गणितज्ञों - ने इस सिद्धांत को स्वीकार नहीं किया। मुख्य आपत्ति फूरियर का यह दावा था कि एक सीधी रेखा या एक असंतत वक्र का वर्णन करने वाले एक असंतत कार्य को साइनसॉइडल अभिव्यक्तियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जो निरंतर हैं। एक उदाहरण के रूप में, हेविसाइड के "कदम" पर विचार करें: इसका मान शून्य के बाईं ओर और एक से दाईं ओर है। यह फ़ंक्शन सर्किट बंद होने पर समय चर पर विद्युत प्रवाह की निर्भरता का वर्णन करता है। उस समय के सिद्धांत के समकालीनों ने कभी इस तरह का सामना नहीं किया थाऐसी स्थिति जहां असंतत अभिव्यक्ति को निरंतर, सामान्य कार्यों, जैसे घातीय, साइनसॉइड, रैखिक या द्विघात के संयोजन द्वारा वर्णित किया जाएगा।
फूरियर सिद्धांत में फ्रांसीसी गणितज्ञों ने क्या भ्रमित किया?
आखिरकार, अगर गणितज्ञ अपने बयानों में सही थे, तो अनंत त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला को संक्षेप में, आप चरण अभिव्यक्ति का सटीक प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकते हैं, भले ही इसमें कई समान चरण हों। उन्नीसवीं सदी की शुरुआत में, ऐसा बयान बेतुका लग रहा था। लेकिन तमाम शंकाओं के बावजूद कई गणितज्ञों ने इस परिघटना के अध्ययन के दायरे का विस्तार करते हुए इसे तापीय चालकता के अध्ययन के दायरे से बाहर कर दिया है। हालांकि, अधिकांश वैज्ञानिक इस सवाल पर तड़पते रहे: "क्या एक साइनसॉइडल श्रृंखला का योग एक असंतत कार्य के सटीक मूल्य में परिवर्तित हो सकता है?"
फूरियर श्रृंखला का अभिसरण: उदाहरण
संख्याओं की अनंत श्रृंखला का योग करने के लिए जब भी आवश्यक हो तो अभिसरण का प्रश्न उठाया जाता है। इस घटना को समझने के लिए, एक क्लासिक उदाहरण पर विचार करें। क्या आप कभी दीवार तक पहुँच सकते हैं यदि प्रत्येक क्रमिक चरण पिछले एक के आकार का आधा हो? मान लीजिए कि आप लक्ष्य से दो मीटर दूर हैं, पहला कदम आपको आधे रास्ते के करीब लाता है, अगले एक को तीन-चौथाई के निशान के करीब लाता है, और पांचवें के बाद आप लगभग 97 प्रतिशत रास्ते को कवर करेंगे। हालाँकि, आप चाहे जितने भी कदम उठाएँ, आप एक सख्त गणितीय अर्थ में इच्छित लक्ष्य को प्राप्त नहीं करेंगे। संख्यात्मक गणनाओं का उपयोग करके, कोई यह साबित कर सकता है कि अंत में कोई जितना चाहे उतना करीब पहुंच सकता है।छोटी निर्दिष्ट दूरी। यह प्रमाण यह प्रदर्शित करने के बराबर है कि एक-आधे, एक-चौथाई, आदि का योग मान एक हो जाएगा।
अभिसरण का प्रश्न: दूसरा आ रहा है, या लॉर्ड केल्विन का उपकरण
बार-बार यह सवाल उन्नीसवीं सदी के अंत में उठाया गया था, जब फूरियर श्रृंखला का उपयोग उतार और प्रवाह की तीव्रता का अनुमान लगाने के लिए किया गया था। इस समय, लॉर्ड केल्विन ने एक उपकरण का आविष्कार किया, जो एक एनालॉग कंप्यूटिंग डिवाइस है जिसने सैन्य और व्यापारी बेड़े के नाविकों को इस प्राकृतिक घटना को ट्रैक करने की अनुमति दी। इस तंत्र ने ज्वार की ऊंचाइयों की एक तालिका से चरणों और आयामों के सेट और उनके संबंधित समय के क्षणों को निर्धारित किया, ध्यान से वर्ष के दौरान किसी दिए गए बंदरगाह में मापा जाता है। प्रत्येक पैरामीटर ज्वार की ऊंचाई की अभिव्यक्ति का एक साइनसोइडल घटक था और नियमित घटकों में से एक था। माप के परिणामों को लॉर्ड केल्विन के कैलकुलेटर में दर्ज किया गया था, जिसने एक वक्र को संश्लेषित किया था जिसने अगले वर्ष के लिए समय के एक समारोह के रूप में पानी की ऊंचाई की भविष्यवाणी की थी। बहुत जल्द दुनिया के सभी बंदरगाहों के लिए समान वक्र तैयार किए गए।
और अगर प्रक्रिया एक असंतत कार्य से टूट जाती है?
उस समय, यह स्पष्ट लग रहा था कि बड़ी संख्या में गिनती तत्वों के साथ एक ज्वारीय तरंग भविष्यवक्ता बड़ी संख्या में चरणों और आयामों की गणना कर सकता है और इस प्रकार अधिक सटीक भविष्यवाणियां प्रदान कर सकता है। फिर भी, यह पता चला कि यह नियमितता उन मामलों में नहीं देखी जाती है जहां ज्वारीय अभिव्यक्ति, जो इस प्रकार हैसंश्लेषित, एक तेज छलांग शामिल है, अर्थात यह असंतत था। इस घटना में कि समय की तालिका से डिवाइस में डेटा दर्ज किया जाता है, तो यह कई फूरियर गुणांक की गणना करता है। साइनसॉइडल घटकों (पाए गए गुणांक के अनुसार) के लिए मूल कार्य को बहाल किया जाता है। मूल और पुनर्स्थापित अभिव्यक्ति के बीच विसंगति को किसी भी बिंदु पर मापा जा सकता है। बार-बार गणना और तुलना करते समय, यह देखा जा सकता है कि सबसे बड़ी त्रुटि का मूल्य कम नहीं होता है। हालांकि, वे असंततता बिंदु के अनुरूप क्षेत्र में स्थानीयकृत हैं, और किसी अन्य बिंदु पर शून्य हो जाते हैं। 1899 में, येल विश्वविद्यालय के जोशुआ विलार्ड गिब्स द्वारा सैद्धांतिक रूप से इस परिणाम की पुष्टि की गई थी।
फूरियर श्रृंखला का अभिसरण और सामान्य रूप से गणित का विकास
फूरियर विश्लेषण एक निश्चित अंतराल में अनंत संख्या में बर्स्ट वाले भावों पर लागू नहीं होता है। सामान्य तौर पर, फूरियर श्रृंखला, यदि मूल कार्य वास्तविक भौतिक माप का परिणाम है, तो हमेशा अभिसरण करें। कार्यों के विशिष्ट वर्गों के लिए इस प्रक्रिया के अभिसरण के प्रश्नों ने गणित में नए वर्गों का उदय किया है, उदाहरण के लिए, सामान्यीकृत कार्यों का सिद्धांत। यह L. Schwartz, J. Mikusinsky और J. Temple जैसे नामों से जुड़ा है। इस सिद्धांत के ढांचे के भीतर, डिराक डेल्टा फ़ंक्शन (यह एक बिंदु के असीम रूप से छोटे पड़ोस में केंद्रित एक क्षेत्र के क्षेत्र का वर्णन करता है) और हेविसाइड जैसे अभिव्यक्तियों के लिए एक स्पष्ट और सटीक सैद्धांतिक आधार बनाया गया था। कदम । इस काम के लिए धन्यवाद, फूरियर श्रृंखला लागू हो गईसहज ज्ञान युक्त अवधारणाओं को शामिल करने वाले समीकरणों और समस्याओं को हल करना: बिंदु आवेश, बिंदु द्रव्यमान, चुंबकीय द्विध्रुव, साथ ही एक बीम पर एक केंद्रित भार।
फूरियर विधि
फूरियर श्रृंखला, हस्तक्षेप के सिद्धांतों के अनुसार, जटिल रूपों के सरल रूपों में अपघटन के साथ शुरू होती है। उदाहरण के लिए, गर्मी के प्रवाह में परिवर्तन को अनियमित आकार की गर्मी-इन्सुलेट सामग्री से बने विभिन्न बाधाओं के माध्यम से पारित होने या पृथ्वी की सतह में परिवर्तन - भूकंप, खगोलीय पिंड की कक्षा में परिवर्तन - के प्रभाव द्वारा समझाया गया है। ग्रह। एक नियम के रूप में, साधारण शास्त्रीय प्रणालियों का वर्णन करने वाले समान समीकरण प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग के लिए प्राथमिक रूप से हल किए जाते हैं। फूरियर ने दिखाया कि अधिक जटिल समस्याओं के समाधान देने के लिए सरल समाधानों को भी सारांशित किया जा सकता है। गणित की भाषा में, फूरियर श्रृंखला एक अभिव्यक्ति को हार्मोनिक्स - कोसाइन और साइनसॉइड के योग के रूप में प्रस्तुत करने की एक तकनीक है। इसलिए, इस विश्लेषण को "हार्मोनिक विश्लेषण" के रूप में भी जाना जाता है।
फूरियर श्रृंखला - "कंप्यूटर युग" से पहले की आदर्श तकनीक
कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के निर्माण से पहले, हमारी दुनिया की लहर प्रकृति के साथ काम करते समय फूरियर तकनीक वैज्ञानिकों के शस्त्रागार में सबसे अच्छा हथियार था। एक जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला न केवल उन सरल समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है जिन्हें सीधे न्यूटन के यांत्रिकी के नियमों पर लागू किया जा सकता है, बल्कि मौलिक समीकरण भी। उन्नीसवीं सदी में न्यूटनियन विज्ञान की अधिकांश खोज फूरियर की तकनीक से ही संभव हुई थी।
फूरियर सीरीज आज
फूरियर ट्रांसफॉर्म कंप्यूटर के विकास के साथएक नए स्तर पर उठाया। यह तकनीक विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग सभी क्षेत्रों में मजबूती से स्थापित है। एक उदाहरण एक डिजिटल ऑडियो और वीडियो सिग्नल है। इसकी प्राप्ति उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में एक फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा विकसित सिद्धांत के कारण ही संभव हो पाई। इस प्रकार, एक जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला ने बाहरी अंतरिक्ष के अध्ययन में एक सफलता बनाना संभव बना दिया। इसके अलावा, इसने अर्धचालक सामग्री और प्लाज्मा, माइक्रोवेव ध्वनिकी, समुद्र विज्ञान, रडार, भूकंप विज्ञान के भौतिकी के अध्ययन को प्रभावित किया।
त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला
गणित में, एक फूरियर श्रृंखला सरल कार्यों के योग के रूप में मनमानी जटिल कार्यों का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है। सामान्य मामलों में, ऐसे भावों की संख्या अनंत हो सकती है। इसके अलावा, गणना में उनकी संख्या को जितना अधिक ध्यान में रखा जाता है, अंतिम परिणाम उतना ही सटीक होता है। अक्सर, कोसाइन या साइन के त्रिकोणमितीय कार्यों को सबसे सरल के रूप में उपयोग किया जाता है। इस मामले में, फूरियर श्रृंखला को त्रिकोणमितीय कहा जाता है, और ऐसे भावों के समाधान को हार्मोनिक का विस्तार कहा जाता है। यह विधि गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। सबसे पहले, त्रिकोणमितीय श्रृंखला छवि के लिए एक साधन प्रदान करती है, साथ ही कार्यों का अध्ययन, यह सिद्धांत का मुख्य उपकरण है। इसके अलावा, यह गणितीय भौतिकी की कई समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। अंत में, इस सिद्धांत ने गणितीय विश्लेषण के विकास में योगदान दिया, गणितीय विज्ञान के कई महत्वपूर्ण वर्गों को जन्म दिया (इंटीग्रल्स का सिद्धांत, आवधिक कार्यों का सिद्धांत)। इसके अलावा, यह निम्नलिखित सिद्धांतों के विकास के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करता है: सेट, कार्यवास्तविक चर, कार्यात्मक विश्लेषण, और हार्मोनिक विश्लेषण की नींव भी रखी।
