आठवीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में दूसरी डिग्री के बहुपद के अध्ययन पर बहुत ध्यान दिया जाता है। यदि इस सामग्री को छात्र द्वारा खराब तरीके से महारत हासिल है, तो ओजीई और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की परीक्षा में प्रोफाइल स्तर और आधार दोनों पर समस्याएं अपरिहार्य हैं। द्विघात कार्यों से संबंधित अनिवार्य कौशल में रेखांकन की साजिश और विश्लेषण, समीकरणों को हल करना शामिल है।
एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन मानक स्कूल समस्याओं में से एक है। यह अंतराल विधि द्वारा असमानता को हल करने में सहायक है।
एक समीकरण के मूल ज्ञात करना
एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए सबसे पहले उसके मूल का पता लगाना है।
मूल वे संख्याएँ हैं जो बहुपद में एकपदी के योग को शून्य में बदल देती हैं, जो रेखांकन रूप से क्षैतिज अक्ष के साथ एक प्रतिच्छेदन जैसा दिखता है। वे विवेचक या विएटा के प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं।
त्रिपदीय कुल्हाड़ी का विभेदक2 + bx + c की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: D=b2m- 4ac।
मामले में जब विवेचक नकारात्मक न हो,जड़ों को इसके माध्यम से और बहुपद गुणांकों द्वारा व्यक्त किया जाता है:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-b - D)
यदि विवेचक शून्य है, x1और x2समान हैं।
कुछ त्रिपदों को हल करने के लिए, विएटा प्रमेय का उपयोग करना सुविधाजनक है:
x1 + x2 =-बी: ए; x1 × x2=c: a
प्रमेय को लागू करने के लिए एक निश्चित मात्रा में गणितीय अंतर्ज्ञान की आवश्यकता होती है। लब्बोलुआब यह है कि, दो अज्ञात के योग और उत्पाद को जानकर, इन नंबरों को उठाएं। यदि वे मौजूद हैं, तो वे विशिष्ट रूप से पाए जाते हैं (एक क्रमपरिवर्तन तक)।
आप सामान्य शब्दों में मूलों के योग और गुणनफल की गणना करके प्रमेय की वैधता को सत्यापित कर सकते हैं। x1 और x2 के फ़ार्मुलों की भी प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा जाँच की जाती है।
कारक नियम
यदि बहुपद के मूल हों तो समस्या को वास्तविक संख्याओं में हल किया जा सकता है। अपघटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
उदाहरण
समस्या: वर्ग त्रिपदों का गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
a) x2 - 6x + 5
समाधान: त्रिपद के गुणांक लिखिए:
ए=1; बी=-6; सी=5.
विएटा प्रमेय का उपयोग करना:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
यह देखा जा सकता है कि x1 =1, x2 =5.
यदि, प्रमेय की लिखित समानता के अनुसार,जड़ों को जल्दी से खोजना संभव है, आपको तुरंत विवेचक की गणना के लिए आगे बढ़ना चाहिए।
जड़ें मिल जाने के बाद, आपको उन्हें एक्सपेंशन फॉर्मूला में बदलने की जरूरत है:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
इस फॉर्म में दर्ज परिणाम को अंतिम माना जा सकता है।
ख) 2x2 + x - 1
समाधान:
ए=2, बी=1, सी=-1.
यदि अग्रणी गुणांक 1 से भिन्न है, तो विएटा प्रमेय को लागू करने में आमतौर पर विवेचक के माध्यम से हल करने में अधिक समय लगता है, तो चलिए इसकी गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं।
डी=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
सूत्र है:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1)।
सी)x2 - 8x + 16
समाधान:
ए=1; बी=-8; सी=16.
डी=0.
चूंकि विवेचक शून्य है, इसलिए हमारे पास जड़ों के संयोग का मामला है:
x1 =x2 =4.
हालांकि, यह स्थिति मूल रूप से उन लोगों से अलग नहीं है जिन पर पहले विचार किया गया था।
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
परिणाम अक्सर इस प्रकार लिखा जाता है: (x - 4)2.
d)x2 - 7x + 1
समाधान:
ए=1; बी=-7; सी=1.
डी=45.
यह उदाहरण पिछले वाले से इस मायने में अलग है कि विवेचक से एक तर्कसंगत जड़ नहीं निकाली जा सकती है। इसका अर्थ है कि बहुपद के मूल अपरिमेय हैं।
x1 =-1/2(7 + 45); x2 =-1/2(7 - 45)।
या समकक्ष, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
अंतिम विकल्प विस्तार लेखन के लिए उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। वरिष्ठ गुणांक को छोड़कर, जो यहाँ 1 के बराबर है, हमें प्राप्त होता है:
x2- 7x + 1=(x + 3.5 + 1/2√45)(x + 3.5 - 1/2√45)
उस मामले के लिए जब विवेचक नकारात्मक है, स्कूल पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर निम्नलिखित उत्तर पर्याप्त है: ट्रिनोमियल की कोई जड़ नहीं है और इसलिए, इसे कारक नहीं बनाया जा सकता है। ऐसे ट्रिनोमियल्स को इरेड्यूसिबल भी कहा जाता है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि हम केवल वास्तविक जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति के बारे में बात कर रहे हैं।
यदि सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र पर विचार किया जाए, तो किसी भी विवेचक के साथ वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन संभव है।
सामान्य गलतियाँ
1) एक बहुपद के अध्ययन की शुरुआत में, कई लोग गुणांकों को गलत तरीके से लिखते हैं, उदाहरण के लिए, वे अंकन में एकपदी के क्रम पर ध्यान देते हैं।
तो समीकरण 101 में प्रमुख कारक a 79x + 38x2 38 है, 101 नहीं जैसा आप सोच सकते हैं।
समीकरण के गुणांकों से जुड़ी एक और त्रुटि तथाकथित "चिह्न की हानि" है। उसी उदाहरण में, गुणांक b=-79, 79 नहीं।
2) मामले के लिए वीटा प्रमेय का उपयोग करने के लिए उपयोग करना जब ए=1, स्कूली बच्चे कभी-कभी इसके पूर्ण निर्माण के बारे में भूल जाते हैं। पहले पैराग्राफ से बहुपद में, यह मान लेना गलत है कि मूलों का योग 79 है, क्योंकि पहला गुणांक 1 से भिन्न है।
3) छात्रों के लिए कम्प्यूटेशनल त्रुटियां सबसे आम समस्या हैं। कई मामलों में, जाँच से इनसे बचने में मदद मिलती है।प्रतिस्थापन।
तीसरी डिग्री और उच्चतर के बहुपद
स्कूल में उच्च डिग्री वाले बहुपदों पर शायद ही कभी विचार किया जाता है, क्योंकि तीसरी डिग्री और उच्चतर के बहुपदों के लिए मूल खोजने की समस्या श्रमसाध्य है। तीसरी और चौथी डिग्री के बहुपद का विस्तार करने के लिए उच्च कम्प्यूटेशनल जटिलता के एल्गोरिदम हैं। पाँचवीं डिग्री और उससे अधिक के लिए, सामान्य रूप में मूलकों में समीकरण की अघुलनशीलता पर एक प्रमेय सिद्ध होता है।
इन बहुपदों के विशेष मामले, जिन्हें हाई स्कूल में माना जा सकता है, तर्कसंगत आसानी से चयनित जड़ों की उपस्थिति की विशेषता है। उत्तरार्द्ध की संख्या बहुपद की डिग्री से अधिक नहीं हो सकती है। कॉम्प्लेक्स प्लेन के साथ काम करते समय, उनकी संख्या बिल्कुल उच्चतम डिग्री के समान होती है।
विषम घात वाले बहुपद का हमेशा कम से कम एक वास्तविक मूल होता है। यह आलेखीय रूप से दिखाना आसान है - ऐसे बहुपद द्वारा दिए गए एक सतत फलन में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह 0 से होकर गुजरता है।
दो बहुपदों के सभी मूल संपाती होते हैं यदि और केवल यदि उनके गुणांक समानुपाती हों।
सामान्य तौर पर, जड़ों को खोजने की समस्या और एक अपघटन के निर्माण की समस्या को समान माना जा सकता है।
