पायथागॉरियन प्रमेय: कर्ण का वर्ग टाँगों के वर्ग के योग के बराबर होता है

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

हर छात्र जानता है कि कर्ण का वर्ग हमेशा पैरों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक वर्ग होता है। इस कथन को पाइथागोरस प्रमेय कहते हैं। यह सामान्य रूप से त्रिकोणमिति और गणित में सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है। इस पर अधिक विस्तार से विचार करें।

एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा

पाइथागोरस प्रमेय पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, जिसमें कर्ण का वर्ग वर्ग के पैरों के योग के बराबर होता है, हमें एक समकोण त्रिभुज की अवधारणा और गुणों पर विचार करना चाहिए, जिसके लिए प्रमेय मान्य है।

त्रिभुज तीन कोणों और तीन भुजाओं वाली एक सपाट आकृति है। एक समकोण त्रिभुज, जैसा कि इसके नाम का तात्पर्य है, में एक समकोण होता है, अर्थात यह कोण 90o होता है।

सभी त्रिभुजों के सामान्य गुणों से ज्ञात होता है कि इस आकृति के तीनों कोणों का योग 180^o है, जिसका अर्थ है कि एक समकोण त्रिभुज के लिए योग का योग दो कोण जो सही नहीं हैं, 180^o - है90^ओ=90^ओ. अंतिम तथ्य का अर्थ है कि समकोण त्रिभुज में कोई भी कोण जो समकोण नहीं है वह हमेशा 90^{o से कम होगा।}

समकोण के सम्मुख जो भुजा होती है उसे कर्ण कहते हैं। अन्य दो भुजाएँ त्रिभुज के पैर हैं, वे एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं, या वे भिन्न हो सकते हैं। त्रिकोणमिति से ज्ञात होता है कि त्रिभुज में एक भुजा जितना अधिक कोण पर स्थित होती है, उसकी लंबाई उतनी ही अधिक होती है। इसका मतलब यह है कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण (कोण 90^o के विपरीत स्थित है) हमेशा किसी भी पैर से बड़ा होगा (कोणों के विपरीत झूठ < 90^o)

पायथागॉरियन प्रमेय का गणितीय अंकन

यह प्रमेय कहता है कि कर्ण का वर्ग टाँगों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक पहले वर्ग होता है। इस सूत्र को गणितीय रूप से लिखने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें जिसमें भुजाएँ a, b और c क्रमशः दो पैर और कर्ण हों। इस मामले में, प्रमेय, जिसे कर्ण के वर्ग के रूप में कहा गया है, पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, को निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है: c²=a 2 ^{+ बी} 2^{। यहां से, अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण अन्य सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं: a=(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- ए}2^{) और सी=(ए}2 ^{+ बी}2^)।

ध्यान दें कि एक समकोण समबाहु त्रिभुज के मामले में, यानी a=b, सूत्रीकरण: कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येकवर्ग, गणितीय रूप से लिखा गया है: c²=a² + b²=2a ^{2, जिसका अर्थ समानता है: c=a√2.}

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

पाइथागॉरियन प्रमेय, जो कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक वर्ग है, प्रसिद्ध यूनानी दार्शनिक द्वारा इस पर ध्यान देने से बहुत पहले जाना जाता था। प्राचीन मिस्र के कई पपीरी, साथ ही बेबीलोनियों की मिट्टी की गोलियां, इस बात की पुष्टि करती हैं कि इन लोगों ने एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की विख्यात संपत्ति का उपयोग किया था। उदाहरण के लिए, मिस्र के पहले पिरामिडों में से एक, खफरे का पिरामिड, जिसका निर्माण 26वीं शताब्दी ईसा पूर्व (पाइथागोरस के जीवन से 2000 साल पहले) का है, को 3x4x5 समकोण त्रिभुज में पहलू अनुपात के ज्ञान के आधार पर बनाया गया था।

फिर प्रमेय का नाम अब ग्रीक के नाम पर क्यों रखा गया है? इसका उत्तर सरल है: पाइथागोरस इस प्रमेय को गणितीय रूप से सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति हैं। बचे हुए बेबीलोनियाई और मिस्र के लेखन में केवल इसके उपयोग का उल्लेख है, लेकिन कोई गणितीय प्रमाण प्रदान नहीं करते हैं।

ऐसा माना जाता है कि पाइथागोरस ने समरूप त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके विचाराधीन प्रमेय को सिद्ध कर दिया था, जिसे उन्होंने 90o कोण से समकोण त्रिभुज में ऊँचाई खींचकर प्राप्त किया था। कर्ण।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने का एक उदाहरण

एक साधारण समस्या पर विचार करें: एक झुकी हुई सीढ़ी L की लंबाई निर्धारित करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात है कि इसकी ऊँचाई H=3 हैमीटर, और दीवार से जिस पर सीढ़ी अपने पैर तक टिकी हुई है, दूरी P=2.5 मीटर है।

इस मामले में, एच और पी पैर हैं, और एल कर्ण है। चूँकि कर्ण की लंबाई टाँगों के वर्गों के योग के बराबर होती है, हम पाते हैं: L²=H² + P 2^{, जहां से एल=(एच}2 ^{+ पी}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 मीटर या 3 मीटर और 90.5 सेमी।}