कार्यों और उनके रेखांकन का अध्ययन एक ऐसा विषय है जिस पर हाई स्कूल पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर विशेष ध्यान दिया जाता है। गणितीय विश्लेषण की कुछ मूल बातें - विभेदीकरण - गणित में परीक्षा के प्रोफाइल स्तर में शामिल हैं। कुछ स्कूली बच्चों को इस विषय में समस्या होती है, क्योंकि वे फ़ंक्शन और व्युत्पन्न के ग्राफ़ को भ्रमित करते हैं, और एल्गोरिदम भी भूल जाते हैं। यह लेख मुख्य प्रकार के कार्यों और उन्हें हल करने के तरीके को कवर करेगा।
फ़ंक्शन मान क्या है?
गणित फलन एक विशेष समीकरण है। यह संख्याओं के बीच संबंध स्थापित करता है। फ़ंक्शन तर्क के मान पर निर्भर करता है।
फ़ंक्शन के मान की गणना दिए गए सूत्र के अनुसार की जाती है। ऐसा करने के लिए, किसी भी तर्क को प्रतिस्थापित करें जो x के स्थान पर इस सूत्र में मान्य मानों की श्रेणी से मेल खाता है और आवश्यक गणितीय संचालन करता है। क्या?
आप किसी फंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात कर सकते हैं,ग्राफ़ फ़ंक्शन का उपयोग कर रहे हैं?
किसी तर्क पर किसी फ़ंक्शन की निर्भरता के ग्राफिक प्रतिनिधित्व को फ़ंक्शन ग्राफ़ कहा जाता है। यह एक निश्चित इकाई खंड के साथ एक विमान पर बनाया गया है, जहां एक चर या तर्क का मान क्षैतिज भुज अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और ऊर्ध्वाधर समन्वय अक्ष के साथ संबंधित फ़ंक्शन मान।
तर्क का मान जितना अधिक होगा, ग्राफ़ पर उतना ही दाईं ओर होगा। और फ़ंक्शन का मान जितना बड़ा होगा, बिंदु उतना ही अधिक होगा।
यह क्या कहता है? फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान वह बिंदु होगा जो ग्राफ़ पर सबसे कम है। इसे चार्ट सेगमेंट पर खोजने के लिए, आपको चाहिए:
1) इस खंड के सिरों को खोजें और चिह्नित करें।
2) दृष्टि से निर्धारित करें कि इस खंड पर कौन सा बिंदु सबसे कम है।
3) जवाब में, इसका संख्यात्मक मान लिखिए, जिसे y-अक्ष पर एक बिंदु प्रक्षेपित करके निर्धारित किया जा सकता है।
डेरिवेटिव चार्ट पर चरम बिंदु। कहाँ देखना है?
हालांकि, समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी एक ग्राफ किसी फ़ंक्शन का नहीं, बल्कि उसके व्युत्पन्न का दिया जाता है। गलती से मूर्खतापूर्ण गलती करने से बचने के लिए, शर्तों को ध्यान से पढ़ना बेहतर है, क्योंकि यह इस बात पर निर्भर करता है कि आपको चरम बिंदुओं को कहां देखना है।
तो, व्युत्पन्न फलन की वृद्धि की तात्कालिक दर है। ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, व्युत्पत्ति स्पर्शरेखा के ढलान से मेल खाती है, जो सीधे दिए गए बिंदु पर खींची जाती है।
यह ज्ञात है कि चरम बिंदुओं पर स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।इसका मतलब है कि इसका ढलान 0 है।
इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि चरम बिंदुओं पर व्युत्पन्न x-अक्ष पर स्थित है या गायब हो जाता है। लेकिन इसके अलावा, इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन अपनी दिशा बदलता है। यही है, वृद्धि की अवधि के बाद, यह घटने लगता है, और व्युत्पन्न, तदनुसार, सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है। या इसके विपरीत।
यदि व्युत्पन्न धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है, तो यह अधिकतम बिंदु है। यदि नकारात्मक से यह सकारात्मक हो जाता है - न्यूनतम बिंदु।
महत्वपूर्ण: यदि आपको कार्य में न्यूनतम या अधिकतम बिंदु निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, तो जवाब में आपको एब्सिस्सा अक्ष के साथ संबंधित मान लिखना चाहिए। लेकिन अगर आपको फ़ंक्शन के मान को खोजने की आवश्यकता है, तो आपको सबसे पहले तर्क के संबंधित मान को फ़ंक्शन में स्थानापन्न करना होगा और इसकी गणना करनी होगी।
डेरिवेटिव का उपयोग करके चरम बिंदु कैसे खोजें?
विचार किए गए उदाहरण मुख्य रूप से परीक्षा के कार्य संख्या 7 को संदर्भित करते हैं, जिसमें एक व्युत्पन्न या एक प्रतिपक्षी के ग्राफ के साथ काम करना शामिल है। लेकिन USE का कार्य 12 - किसी खंड (कभी-कभी सबसे बड़ा) पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे मान को खोजने के लिए - बिना किसी चित्र के किया जाता है और गणितीय विश्लेषण में बुनियादी कौशल की आवश्यकता होती है।
इसे करने के लिए, आपको व्युत्पन्न का उपयोग करके चरम बिंदुओं को खोजने में सक्षम होना चाहिए। उन्हें खोजने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:
- फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
- इसे शून्य पर सेट करें।
- समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
- जांचें कि प्राप्त अंक चरम या विभक्ति बिंदु हैं।
ऐसा करने के लिए, एक आरेख बनाएं और आगेपरिणामी अंतराल खंडों से संबंधित संख्याओं को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करके व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करते हैं। यदि, समीकरण को हल करते समय, आपको दोहरे गुणन के मूल मिले, तो ये विभक्ति बिंदु हैं।
प्रमेय को लागू करते हुए, निर्धारित करें कि कौन से अंक न्यूनतम हैं और कौन से अधिकतम हैं।
डेरिवेटिव का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे मान की गणना करें
हालांकि, इन सभी क्रियाओं को करने के बाद, हम x-अक्ष के साथ न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं के मान पाएंगे। लेकिन किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात करें?
किसी विशेष बिंदु पर फंक्शन से संबंधित संख्या ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आपको इस सूत्र में तर्क के मान को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।
न्यूनतम और अधिकतम के अंक सेगमेंट पर फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के अनुरूप होते हैं। तो, फ़ंक्शन के मान को खोजने के लिए, आपको प्राप्त x मानों का उपयोग करके फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है।
महत्वपूर्ण! यदि कार्य के लिए आपको न्यूनतम या अधिकतम बिंदु निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, तो प्रतिक्रिया में आपको x-अक्ष के साथ संबंधित मान लिखना चाहिए। लेकिन यदि आपको फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आपको पहले तर्क के संगत मान को फ़ंक्शन में स्थानापन्न करना होगा और आवश्यक गणितीय संचालन करना होगा।
अगर इस सेगमेंट में कोई कमी नहीं है तो मुझे क्या करना चाहिए?
लेकिन बिना किसी चरम बिंदु वाले सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे खोजें?
इसका मतलब है कि उस पर फ़ंक्शन एकरस रूप से घटता या बढ़ता है। फिर आपको इस सेगमेंट के चरम बिंदुओं के मान को फ़ंक्शन में स्थानापन्न करने की आवश्यकता है। दो तरीके हैं।
1) गणना करने के बादव्युत्पन्न और अंतराल जिस पर यह सकारात्मक या नकारात्मक है, यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि किसी दिए गए खंड पर फ़ंक्शन घट रहा है या बढ़ रहा है।
उनके अनुसार, फ़ंक्शन में तर्क के अधिक या कम मान को प्रतिस्थापित करें।
2) बस दोनों बिंदुओं को फ़ंक्शन में स्थानापन्न करें और परिणामी फ़ंक्शन मानों की तुलना करें।
जिन कार्यों में व्युत्पन्न खोजना वैकल्पिक है
एक नियम के रूप में, यूएसई असाइनमेंट में, आपको अभी भी व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है। केवल कुछ अपवाद हैं।
1) परवलय।
परवलय का शीर्ष सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यदि एक < 0 है, तो परवलय की शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। और इसका शिखर अधिकतम बिंदु है।
यदि एक > 0 है, तो परवलय की शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, शीर्ष न्यूनतम बिंदु है।
परवलय के शीर्ष बिंदु की गणना करने के बाद, आपको इसके मान को फ़ंक्शन में स्थानापन्न करना चाहिए और फ़ंक्शन के संबंधित मान की गणना करनी चाहिए।
2) फलन y=tg x. या वाई=सीटीजी एक्स।
ये कार्य नीरस रूप से बढ़ रहे हैं। इसलिए, तर्क का मान जितना अधिक होगा, फ़ंक्शन का मान उतना ही अधिक होगा। इसके बाद, हम उदाहरण के साथ किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने का तरीका देखेंगे।
मुख्य प्रकार के कार्य
कार्य: फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान। चार्ट पर उदाहरण।
तस्वीर में आप अंतराल पर फलन f (x) के अवकलज का ग्राफ देखते हैं [-6; 6]. खंड के किस बिंदु पर [-3; 3] f(x) सबसे छोटा मान लेता है?
तो, शुरुआत के लिए, आपको निर्दिष्ट खंड का चयन करना चाहिए। उस पर, फ़ंक्शन एक बार शून्य मान लेता है और अपना संकेत बदलता है - यह चरम बिंदु है। चूँकि ऋणात्मक से अवकलज धनात्मक हो जाता है, इसका अर्थ है कि यह फलन का न्यूनतम बिंदु है। यह बिंदु 2 तर्क के मान से मेल खाता है।
उत्तर: 2.
उदाहरणों को देखना जारी रखें। कार्य: खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।
फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें y=(x - 8) ex-7 अंतराल पर [6; 8].
1. एक जटिल फलन का अवकलज लीजिए।
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ईx-7)=(x - 7) (ईx-7 )
2. परिणामी अवकलज को शून्य के बराबर करें और समीकरण को हल करें।
y' (x)=0
(x - 7) (ईx-7)=0
x - 7=0, या ईx-7=0
x=7; ईx-7 ≠ 0, कोई जड़ नहीं
3. फ़ंक्शन में चरम बिंदुओं के मान को और साथ ही समीकरण के प्राप्त मूलों को प्रतिस्थापित करें।
y (6)=(6 - 8) ई6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) ई7-7=-1ई0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) ई8-7=0ई1=0
उत्तर: -1.
इसलिए, इस लेख में, मुख्य सिद्धांत पर विचार किया गया था कि किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे प्राप्त किया जाए, जो कि विशेष गणित में USE कार्यों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आवश्यक है। साथ ही गणितीय के तत्वविश्लेषण का उपयोग परीक्षा के भाग सी से कार्यों को हल करते समय किया जाता है, लेकिन जाहिर है कि वे जटिलता के एक अलग स्तर का प्रतिनिधित्व करते हैं, और उनके समाधान के लिए एल्गोरिदम एक सामग्री के ढांचे में फिट होना मुश्किल है।
