हर छात्र ने एक गोल शंकु के बारे में सुना है और कल्पना करता है कि यह त्रि-आयामी आकृति कैसी दिखती है। यह लेख एक शंकु के विकास को परिभाषित करता है, इसकी विशेषताओं का वर्णन करने वाले सूत्र प्रदान करता है, और वर्णन करता है कि इसे कम्पास, प्रोट्रैक्टर और स्ट्रेटेज का उपयोग करके कैसे बनाया जाए।
ज्यामिति में गोलाकार शंकु
आइए इस आकृति की एक ज्यामितीय परिभाषा दें। एक गोल शंकु एक सतह है जो एक निश्चित सर्कल के सभी बिंदुओं को अंतरिक्ष में एक बिंदु से जोड़ने वाली सीधी रेखा खंडों द्वारा बनाई गई है। यह एकल बिंदु उस तल से संबंधित नहीं होना चाहिए जिसमें वृत्त स्थित है। यदि हम एक वृत्त के बजाय एक वृत्त लेते हैं, तो यह विधि भी एक शंकु की ओर ले जाती है।
वृत्त को आकृति का आधार कहते हैं, इसकी परिधि नियता है। बिंदु को डायरेक्ट्रिक्स से जोड़ने वाले खंडों को जेनरेटर या जनरेटर कहा जाता है, और जिस बिंदु पर वे प्रतिच्छेद करते हैं वह शंकु का शीर्ष होता है।
गोल शंकु सीधा और तिरछा हो सकता है। दोनों आंकड़े नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।
उनके बीच का अंतर यह है: यदि शंकु के शीर्ष से लंबवत वृत्त के केंद्र पर पड़ता है, तो शंकु सीधा होगा। उसके लिए लम्बवत, जिसे आकृति की ऊँचाई कहते हैं, उसकी धुरी का भाग है। एक तिरछे शंकु के मामले में, ऊंचाई और अक्ष एक न्यून कोण बनाते हैं।
आकृति की सरलता और समरूपता के कारण, हम आगे केवल एक गोल आधार वाले समकोण शंकु के गुणों पर विचार करेंगे।
रोटेशन का उपयोग करके आकार प्राप्त करना
शंकु की सतह के विकास पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह जानना उपयोगी है कि रोटेशन का उपयोग करके यह स्थानिक आकृति कैसे प्राप्त की जा सकती है।
मान लीजिए कि हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a, b, c हैं। उनमें से पहले दो पैर हैं, सी कर्ण है। आइए पैर a पर एक त्रिकोण रखें और इसे लेग b के चारों ओर घुमाना शुरू करें। कर्ण c तब एक शंक्वाकार सतह का वर्णन करेगा। यह सरल शंकु तकनीक नीचे चित्र में दिखाई गई है।
जाहिर है, लेग ए आकृति के आधार की त्रिज्या होगी, लेग बी इसकी ऊंचाई होगी, और कर्ण c एक गोल दाएं शंकु के जेनेट्रिक्स से मेल खाता है।
शंकु के विकास का दृश्य
जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, शंकु दो प्रकार की सतहों से बनता है। उनमें से एक फ्लैट बेस सर्कल है। मान लीजिए कि इसकी त्रिज्या r है। दूसरी सतह पार्श्व है और शंक्वाकार कहलाती है। मान लीजिए इसका जनित्र g के बराबर है।
अगर हमारे पास पेपर कोन है तो हम कैंची ले सकते हैं और उसका बेस काट सकते हैं। फिर, शंक्वाकार सतह को काट दिया जाना चाहिएकिसी भी जनरेटर के साथ और इसे विमान पर तैनात करें। इस प्रकार, हमने शंकु की पार्श्व सतह का विकास प्राप्त किया। मूल शंकु के साथ दो सतहों को नीचे चित्र में दिखाया गया है।
बेस सर्कल को नीचे दाईं ओर दर्शाया गया है। सामने की शंक्वाकार सतह को केंद्र में दिखाया गया है। यह पता चला है कि यह सर्कल के कुछ गोलाकार क्षेत्र से मेल खाता है, जिसकी त्रिज्या जेनरेटिक्स जी की लंबाई के बराबर है।
कोण और क्षेत्र स्वीप
अब हमें सूत्र मिलते हैं, जो ज्ञात पैरामीटर g और r का उपयोग करके, हमें शंकु के क्षेत्रफल और कोण की गणना करने की अनुमति देते हैं।
जाहिर है, आकृति में ऊपर दिखाए गए गोलाकार क्षेत्र के चाप की लंबाई आधार की परिधि के बराबर है, जो है:
l=2pir.
यदि g त्रिज्या वाले पूरे वृत्त का निर्माण किया जाता है, तो इसकी लंबाई होगी:
एल=2पीआईजी.
चूंकि लंबाई L 2pi रेडियन से मेल खाती है, तो जिस कोण पर चाप l टिकी हुई है, उसे संबंधित अनुपात से निर्धारित किया जा सकता है:
एल==>2pi;
एल==>.
तब अज्ञात कोण φ के बराबर होगा:
φ=2पाईएल/एल.
लंबाई l और L के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम शंकु की पार्श्व सतह के विकास के कोण के सूत्र पर पहुंचते हैं:
φ=2pir/g.
कोण φ यहां रेडियन में व्यक्त किया गया है।
एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल Sb निर्धारित करने के लिए, हम के ज्ञात मान का उपयोग करेंगे। हम एक और अनुपात बनाते हैं, केवल क्षेत्रों के लिए। हमारे पास है:
2पी==>pig2;
φ==> एसबी।
कहां से Sb व्यक्त करना है, और फिर कोण φ के मान को प्रतिस्थापित करें। हमें मिलता है:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=पाईआरजी.
शंक्वाकार सतह के क्षेत्रफल के लिए, हमने काफी कॉम्पैक्ट सूत्र प्राप्त किया है। Sb का मान तीन कारकों के गुणनफल के बराबर है: pi, आकृति की त्रिज्या और उसका जेनरेटर।
तब आकृति की पूरी सतह का क्षेत्रफल Sb और So (गोलाकार) के योग के बराबर होगा आधार क्षेत्र)। हमें सूत्र मिलता है:
S=Sb+ So=pir(g + r).
कागज पर शंकु की झाडू बनाना
इस कार्य को पूरा करने के लिए आपको एक कागज के टुकड़े, एक पेंसिल, एक चांदा, एक रूलर और एक कंपास की आवश्यकता होगी।
सबसे पहले, आइए 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज बनाएं। 3 सेमी के पैर के चारों ओर इसका घूर्णन वांछित शंकु देगा। आकृति में r=3 सेमी, h=4 सेमी, g=5 सेमी है।
एक कम्पास के साथ त्रिज्या r के साथ एक वृत्त खींचकर एक झाडू बनाना शुरू होगा। इसकी लंबाई 6pi सेमी के बराबर होगी। अब इसके आगे हम एक और वृत्त खींचेंगे, लेकिन त्रिज्या g के साथ। इसकी लंबाई 10pi सेमी के अनुरूप होगी। अब हमें एक बड़े वृत्त से एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड को काटने की आवश्यकता है। इसका कोण φ है:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o।
अब हम इस कोण को एक चांदा के साथ एक वृत्त पर रखते हैं जिसकी त्रिज्या g है और दो त्रिज्याएँ खींचते हैं जो वृत्ताकार त्रिज्यखंड को सीमित कर देंगे।
सोइस प्रकार, हमने त्रिज्या, ऊंचाई और जेनरेट्रिक्स के निर्दिष्ट मापदंडों के साथ शंकु का विकास किया है।
ज्यामितीय समस्या को हल करने का एक उदाहरण
गोला सीधा शंकु दिया है। ज्ञात है कि इसके पार्श्व स्वीप का कोण 120o है। इस आकृति की त्रिज्या और जनक ज्ञात करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि शंकु की ऊँचाई h 10 सेमी है।
कार्य मुश्किल नहीं है यदि हम याद रखें कि एक गोल शंकु एक समकोण त्रिभुज के घूर्णन की आकृति है। इस त्रिभुज से ऊँचाई, त्रिज्या और जनक के बीच एक स्पष्ट संबंध का अनुसरण होता है। आइए इसी सूत्र को लिखें:
जी2=एच2+ आर2।
हल करते समय उपयोग की जाने वाली दूसरी अभिव्यक्ति कोण का सूत्र है:
φ=2pir/g.
इस प्रकार, हमारे पास दो अज्ञात मात्राओं (r और g) से संबंधित दो समीकरण हैं।
दूसरे सूत्र से g व्यक्त करें और परिणाम को पहले में प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है:
g=2pir/φ;
ज2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1)।
कोण φ=120o रेडियन में 2pi/3 है। हम इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें r और g के लिए अंतिम सूत्र मिलते हैं:
आर=एच /√8;
जी=3एच /√8.
यह ऊंचाई मान को प्रतिस्थापित करने और समस्या प्रश्न का उत्तर प्राप्त करने के लिए बनी हुई है: आर 3.54 सेमी, जी ≈ 10.61 सेमी।
